【人教A版】高中数学选修11同步辅导与检测 章末复习课

1、起章末复习课整合整合网网络构建络构建警示警示易错提醒易错提醒1关注圆锥曲线关注圆锥曲线“定义定义”的三点应用的三点应用(1)在求轨迹方程时在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则则根据圆锥曲线定义根据圆锥曲线定义，写出所求的轨迹方程写出所求的轨迹方程(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成三角形问题时涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成三角形问题时，常常用定义结合解三角形的知识来解决用定义结合解三角形的知识来解决(3)在求有关抛物线的最值问题时在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把焦点的距离转常利用定义把焦点的距离转化为到准线的距离化为到准线的距

2、离，结合几何图形结合几何图形，利用几何意义去解决利用几何意义去解决2研究圆锥曲线几何性质的两个注意点研究圆锥曲线几何性质的两个注意点(1)应把不是标准方程的化为标准方程形式；应把不是标准方程的化为标准方程形式；(2)有字母的注意分类讨论有字母的注意分类讨论3.直线与圆锥曲线的位置关系易错点直线与圆锥曲线的位置关系易错点(1)直线与圆锥曲线交点问题直线与圆锥曲线交点问题(或弦长问题或弦长问题)， 易忽视直线的斜率是易忽视直线的斜率是否存在否存在，以及以及是否大于是否大于 0.(2)中点弦问题使用中点弦问题使用“点差法点差法”，易忽视直线存在的条件易忽视直线存在的条件专题专题 1圆锥曲线定义的应用

3、圆锥曲线定义的应用圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源源”， 对于圆锥对于圆锥曲线的有关问题曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识要有运用圆锥曲线定义解题的意识， “回归定义回归定义”是一种重要的解题策略是一种重要的解题策略在高考试题中在高考试题中， 有关圆锥曲线的问题很多都需要利用圆锥曲线的有关圆锥曲线的问题很多都需要利用圆锥曲线的定义求解在选择题、填空题中应用得更多一些定义求解在选择题、填空题中应用得更多一些例例 1一动圆与两圆一动圆与两圆： x2y21 和和 x2y26x50 相外切相外切 求求动圆圆心的轨迹动圆圆心的轨迹解：解：x

4、2y21 是以原点为圆心是以原点为圆心，半径为半径为 1 的圆；的圆；x2y26x50 化为标准方程为化为标准方程为(x3)2y24，是圆心为是圆心为 a(3，0)，半径为半径为 2 的的圆圆设所求动圆圆心为设所求动圆圆心为 p，动圆半径为动圆半径为 r，如图如图，则则|po|r1，|pa|r2|pa|po|1|ao|3，符合双曲线的定义符合双曲线的定义，结合图形可知结合图形可知，动圆圆心的轨迹为双曲线的一支动圆圆心的轨迹为双曲线的一支归纳升华归纳升华当题设出现两定点当题设出现两定点，设为设为 a、b，要通过平面几何知识要通过平面几何知识，找出动找出动点点 p 与它们的关系与它们的关系，即即|

5、pa|pb|为定值为定值，还是还是|pa|pb|为定值为定值，再根据圆锥曲线定义解决问题再根据圆锥曲线定义解决问题变式训练变式训练f1，f2是椭圆是椭圆x2a2y2b21(ab0)的两焦点的两焦点，p 是椭是椭圆上任一点圆上任一点， 从任一焦点引从任一焦点引f1pf2的外角平分线的垂线的外角平分线的垂线， 垂足为垂足为 q，则点则点 q 的轨迹为的轨迹为()a圆圆b椭圆椭圆c双曲线双曲线d抛物线抛物线解析解析： 延长垂延长垂线线f1q交交f2p的延长线于的延长线于点点a， 如图所示如图所示， 则则apf1是等腰是等腰三角形三角形，所以所以 |pf1|ap|，从而从而|af2|ap|pf2|pf

6、1|pf2|2a.由题意知由题意知 o 是是 f1f2的中点的中点， q 是是 af1的中点的中点， 连接连接 oq， 则则|oq|12|af2|a.所以所以 q 点的轨迹是以原点点的轨迹是以原点 o 为圆心为圆心，半径为半径为 a 的圆的圆答案：答案：a专题专题 2求圆锥曲线方程求圆锥曲线方程圆锥曲线的轨迹与方程是本章命圆锥曲线的轨迹与方程是本章命题的重点题的重点， 解决此类问题解决此类问题， 一要一要准确理解圆锥曲线的定义准确理解圆锥曲线的定义， 熟练掌握标准方程的特征熟练掌握标准方程的特征； 二要熟练掌握二要熟练掌握求曲线方程的常用方法求曲线方程的常用方法定义法与待定系数法定义法与待定系

7、数法求曲线方程的一般步骤是求曲线方程的一般步骤是“先定位先定位，后定量后定量”， “定位定位”是指确是指确定焦点的位置及对称轴定焦点的位置及对称轴， “定量定量”是指确定参数的大小是指确定参数的大小例例 2已知中点在原点已知中点在原点，一焦点为一焦点为 f(0，5 2)的椭圆被直线的椭圆被直线 l：y3x2 截得的弦的中点的横坐标为截得的弦的中点的横坐标为12，求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程解：解：由题意可设所由题意可设所求椭圆方程为求椭圆方程为y2a2x2b21(ab0)，该椭圆与直线该椭圆与直线 l 交于两点交于两点 a(x1，y1)，b(x2，y2)由由y2a2x2b21 及及 y3x

8、2 得得(a29b2)x212b2xb2(4a2)0.则则 x1x212b2a29b2.由由已知得已知得x1x2212，即即12b2a29b21，所以所以 a23b2.又因为又因为 a2b2c250，则则 a275，b225.此时此时，方程方程根的判别式根的判别式0，方程方程有两实根有两实根 x1，x2，符合要求符合要求故所求椭圆的方程为故所求椭圆的方程为x225y2751.归纳升华归纳升华1当焦点位置不确定时当焦点位置不确定时，要分情况讨论要分情况讨论，也可以设为一般形式也可以设为一般形式：椭圆方程为椭圆方程为 ax2by21(a0，b0，ab)；双曲线方程为双曲线方程为 ax2by21(a

9、b0)；抛物线方程可设为；抛物线方程可设为 y22px(p0)或或 x22py(p0)2与已知双曲线与已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)共渐近线的双曲线方程共渐近线的双曲线方程可设为可设为x2a2y2b2(0)；已知所求双曲线为等轴双曲线已知所求双曲线为等轴双曲线，其方程可设其方程可设为为 x2y2(0)变式训练变式训练已知双曲线与椭圆已知双曲线与椭圆 x24y264 共焦点共焦点，它的一条它的一条渐近线方程渐近线方程 x 3y0，求双曲线的方程求双曲线的方程解：解：法一法一：椭圆：椭圆 x24y264，即即x264y2161，其焦点是其焦点是(4 3，0)设双曲线方程为设双曲线方程为

10、x2a2y2b21(a0， b0)， 其渐近线方程是其渐近线方程是 ybax.又因为双曲线的一条渐近线方程为又因为双曲线的一条渐近线方程为 x 3y0，所以所以ab 3.又由又由 a2b2c248，解得解得 a236，b212.所以所以 所求双曲线方程为所求双曲线方程为x236y2121.法二法二： 由双曲线与椭圆共焦点由双曲线与椭圆共焦点， 可设双曲线方程为可设双曲线方程为x264y2161(1664)因为双曲线的一条渐近线方程为因为双曲线的一条渐近线方程为 x 3y0，即即 y13x，所以所以166413，所以所以 28.故所求双曲线方程为故所求双曲线方程为x236y2121.专题专题 3

11、直线与圆锥曲线的关系直线与圆锥曲线的关系近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置压轴题的位置，且选择题且选择题、填空题也有涉及填空题也有涉及有关直线与圆锥曲线的有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等弦长等，分析这类问题时分析这类问题时，往往往利用数形结合的思想往利用数形结合的思想、 设而不求的方法设而不求的方法、 对称的方法以及根与系数对称的方法以及根与系数的关系等的关系等例例 3(2016全国全国卷卷)在直角坐标系在直角坐标系 xoy 中中， 直线直线 l：

12、yt(t0)交交 y 轴于点轴于点 m，交抛物线交抛物线 c：y22px(p0)于点于点 p，m 关于点关于点 p 的对的对称点为称点为 n，连接连接 on 并延长交并延长交 c 于点于点 h.(1)求求|oh|on|.(2)除除 h 以外以外，直线直线 mh 与与 c 是否有其他公共点？说明理由是否有其他公共点？说明理由解：解：(1)如图如图，由已知得由已知得 m(0，t)，pt22p，t.又又 n 为为 m 关于点关于点 p 的对称点的对称点，故故 nt2p，t，故直线故直线 on 的方程为的方程为 yptx，将其代入将其代入 y22px 整理得整理得 px22t2x0，解得解得 x10，

13、x22t2p.因此因此 h2t2p，2t.所以所以 n 为为 oh 的中点的中点，即即|oh|on|2.(2)直线直线 mh 与与 c 除除 h 以外没有其他公共点理由如下：以外没有其他公共点理由如下：直线直线 mh 的方程为的方程为 ytp2tx，即即 x2tp(yt)代入代入 y22px 得得 y24ty4t20，解得解得 y1y22t，即直线即直线 mh 与与 c 只有一个公共点只有一个公共点，所以除所以除 h 以外以外，直线直线 mh 与与 c 没有其他公共点没有其他公共点归纳升华归纳升华解决此类解析几何题的关键解决此类解析几何题的关键： 一是一是“对称对称”引路引路， 利用线段中点利

14、用线段中点的坐标公式即可快速求出两线段长的比值的坐标公式即可快速求出两线段长的比值； 二是二是“转化转化”桥梁桥梁， 即会即会利用分析法利用分析法， 把判断直线与抛物线是否有其他公共点的问题转化为判把判断直线与抛物线是否有其他公共点的问题转化为判断直线与断直线与 c 的位置关系问题的位置关系问题变式训练变式训练已知斜率为已知斜率为 1 的直线的直线 l 过椭圆过椭圆x24y21 的右焦点的右焦点，交椭圆于交椭圆于 a，b 两点两点，求弦求弦 ab 的长的长解：解：因为因为 a24，b21，所以所以 c a2b2 3，所以右焦点的坐标为所以右焦点的坐标为( 3，0)，所以直线所以直线 l 的方程

15、为的方程为 yx 3.由由yx 3，x24y21，消去消去 y 并整理并整理，得得 5x28 3x80.设直线设直线 l 与椭圆的交点为与椭圆的交点为 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则则 x1x28 35，x1x285，所以所以|ab| 1k2（x1x2）24x1x2 28 35248585，即弦即弦 ab 的长为的长为85.专题专题 4分类讨论思想分类讨论思想分类讨论思想是高中数学中解题的重要思想分类讨论思想是高中数学中解题的重要思想， 解析几何中许多问解析几何中许多问题都涉及分类讨论题都涉及分类讨论，如轨迹方程中轨迹类型的确定如轨迹方程中轨迹类型的确定、最值问题最值问题、参数参数问题

16、等都可能遇到因为变量范围不同而结果不同的情形问题等都可能遇到因为变量范围不同而结果不同的情形， 因此要对因此要对变变量分类讨论，才能确定量分类讨论，才能确定在圆锥曲线的问题中在圆锥曲线的问题中， 有很多由公式有很多由公式、 运算等引起的分类讨论运算等引起的分类讨论 分分类的原则是标准一致、不重不漏类的原则是标准一致、不重不漏例例 4当当 m1 时时，讨论方程讨论方程 mx2(2m)y21 表示的曲线形表示的曲线形状状解解：(1)当当 m0 时时，方程表示焦点在方程表示焦点在 y 轴上的双曲线轴上的双曲线y212mx21m1；(2)当当 m0 时时，方程表示两条平行于方程表示两条平行于 x 轴的

17、直线轴的直线 y22；(3)当当 0m1 时时， 方程表示焦点在方程表示焦点在 x 轴上的椭圆轴上的椭圆x21my212m1； (4)当当 m1 时时，方程表示圆方程表示圆 x2y21.归纳升华归纳升华在解决圆锥曲线问题时在解决圆锥曲线问题时， 常将某一对象划分为若干既有联系又有常将某一对象划分为若干既有联系又有区别的部分区别的部分，然后分别解决然后分别解决，从而达到解决问题的目的从而达到解决问题的目的分类讨论思分类讨论思想的应用主要表现在想的应用主要表现在： (1)直线斜率存在或不存在引起的分类讨论直线斜率存在或不存在引起的分类讨论 (2)曲线类型不确定引起的分类讨论曲线类型不确定引起的分类讨论(3)已知条件不确定引起的分类讨已知条件不确定引起的分类讨论论(4)字母参数的不确定性引起的分类讨论等解决此类问题的关字母参数的不确定性引起的分类讨论等解决此类问题的关键是键是“化整为零化整为零， 各个击破各个击破”， 即将即将“整体问题整体问题”化为化为“部分问题部分问题”变式训练变式训练设设 f1，f2为椭圆为椭圆x29y241 的两个焦点的两个焦点，p 是椭圆是椭圆上的一点上的一点，已知已知 p，f1，f2是一个直角三角形的三个顶点是一个直角三角形的三个顶点，且且|pf1|pf2|，求求|pf1|pf2|的值的值解：解：由已知得由已知得|pf1|