无穷小量和无穷大量

1、一、无穷小量一、无穷小量1、定义、定义:极限为零的变量称为无穷小量极限为零的变量称为无穷小量.5 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 设设f在某在某u(x0)内有定义内有定义,若若 则称则称f为当为当xx0时的无穷小量。时的无穷小量。 0)(lim0 xfxx)( )1()(0 xxoxf 记为记为若函数若函数g在某在某u(x0)内有界，则称内有界，则称g为为xx0时的有界量。时的有界量。 )( )1()(0 xxoxf 记为记为 类似可定义类似可定义xx0+, xx0-,x+, x以及以及x时的无穷小量与有界量。时的无穷小量与有界量。 任何无穷小量都是有界量任何无穷小量都是有界量。例例1，

2、0sinlim )1(0 xx；即即时时的的无无穷穷小小，是是当当) 0 ( (1) sin 0sin xoxxx1sinlim2 xx ，0 ；) 2 ( (1) sin xoxxxsinlim ，0 。) ( (1) sin xox注意注意（1）无穷小是一种）无穷小是一种变量变量,不能与不能与很小很小的的数数混淆混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的常数）零是可以作为无穷小的唯一的常数., 0)1( )2( nxnn)1()1(onxnn 。)( n问：问：无穷小是否为无穷小是否为很小的数很小的数？很小的数很小的数是否为无穷小？是否为无穷小？二、无穷小量与极限的关系二、无穷小量与极限的关系

3、。变化过程，有变化过程，有的的对自变量对自变量(1)()( lim oatfatft 同一同一定理定理1 1意义：意义： （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小量无穷小量);).1(,)()(20oaxfxxf误误差差为为式式附附近近的的近近似似表表达达在在）给给出出了了函函数数（ 三、无穷小量的性质三、无穷小量的性质性质性质1 有限个有限个相同类型的相同类型的无穷小量的和、差、积仍是无穷小量的和、差、积仍是 无穷小量无穷小量.性质性质2 （同一过程中的同一过程中的）有界量有界量与无穷小量的乘积是与无穷小量的乘积是无穷小无穷小，即即 o(1)o(1)=

4、o(1).用迫敛性可以证明。用迫敛性可以证明。证法证法1：证法证法2。时时，恒恒有有，使使得得当当，则则对对mxxx )(00 0 202来来证证。这这种种自自变变量量的的变变化化过过程程仅仅对对 0 xx ，恒恒有有时时，则则当当，取取 | )()(| |-| 0 ,min 021xxuxx性质性质2 （同一过程中的同一过程中的） o(1)o(1)=o(1).即即 o(1)o(1)=o(1).)( )1()(0 xxoxu 设设)( )1()(0 xxox 设设)( ,o(1) )()( 0 xxxxu 。时，恒有时，恒有使得当使得当即即mxuxxm )( 0 , 0 , 0 101 )1(

5、1sin )1(0，时时，例例如如，当当oxoxx ；，即即01sin lim (1) 1 sin 0 xxoxxx， (1) 1arctan )1(1tan rc )1( 22oxxoxaox 。即即01 tan lim 20 xarcxx注意注意无穷多个无穷多个无穷小量无穷小量的代数和的代数和未必未必是无穷小；是无穷小； 无穷多个无穷多个无穷小量无穷小量的乘积的乘积未必未必是无穷小是无穷小. .; ,1 , ,51 ,41 ,31 ,21 1, :)1(nxn，例例如如不不是是无无穷穷小小。， )()()2()1( knnnnxxxy; ,1-1 , ,41 ,31 ,21 1, 2, :

6、)2(nxn; ,2-1 , ,31 ,21 1, 2, 3, :)3(nxn; ,11 , ,4- ,3- ,2- 1,- , :)( n-kkkkkkxkn不不是是无无穷穷小小。， )()()2()1( knnnnxxxz四、无穷小量阶的比较四、无穷小量阶的比较无穷小量之比无穷小量之比的极限（的极限（0/0）可以出现各种情况：）可以出现各种情况：出现不同情况的原因是无穷小趋向于零的出现不同情况的原因是无穷小趋向于零的速度速度不同不同.例如例如,xxx20limxxxsinlim0201sinlimxxxx.1sin,sin,02都是无穷小都是无穷小时时当当xxxxxx ; 2快得多快得多比

7、比 xx;sin大致相同大致相同与与xx不可比不可比., 0 , 1 xxx1sin1lim0 .不存在且无界不存在且无界观察各极限观察各极限型）型）（0020limxxx; 2慢得多慢得多比比 xx, 设当设当xx0时，时，f与与g均为无穷小量，均为无穷小量，1若若 则称当则称当xx0时时 , f为为g的的高阶高阶无无穷小量穷小量,或称或称g为为f的的低阶低阶无穷小量，记作无穷小量，记作 , 0)()(lim0 xgxfxx)( )()(0 xxxgoxf 例如，当例如，当x0时，时，x, x2, , xn (n为正整数为正整数)等都等都是无穷小量，有是无穷小量，有)0( )(1 xxoxk

8、kxxxsincos1lim0 2cos2sin22sin2lim20 xxxx . 02tanlim0 xx)0( )(sincos1 xxox故故若存在若存在正数正数k和和l，使得在某，使得在某u(x0)上有上有 ,|)()(|lxgxfk 则称则称f与与g为当为当xx0时的时的同阶同阶无穷小量。无穷小量。 , 0)()(lim0 cxgxfxx特别当特别当f与与g必为同阶无穷小量。必为同阶无穷小量。 )( )()( ,|)()(|0 xxxgoxflxgxf 则记则记若若2.注注 若若f(x),g(x)是同阶无穷小量，则可记作是同阶无穷小量，则可记作f(x)=o(g(x),但若但若 f(

9、x)=o(g(x),则则f(x)与与g(x)不一定是同阶无穷小量。不一定是同阶无穷小量。20cos1limxxx 2202sin2limxxx .21 )0( )(cos12 xxox故故)0( )(1sin xxoxx|1sin|xxx|1sin|x , 1 并并不不是是同同阶阶无无穷穷小小量量。与与但但xxx1sin. 0)()(lim)()( xgxfxgoxf.|)()(|)()(lxgxfxgoxf 反之不然。反之不然。),()()()(xgoxfxgoxf )()( )()(xgoxfxgoxf 属于属于函数类函数类0)()(lim| )()( xgxfxfxgo)(,|)()(|

10、)()(0 xuxlxgxfxfxgoo 3若若 则称当则称当xx0时时 , f与与g是等价无是等价无穷小量，记作穷小量，记作 , 1)()(lim0 xgxfxx f(x)g(x) (xx0).注：并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较。注：并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较。 例如，当例如，当x0时，时，x sin 1/x和和x2都是无穷小量，都是无穷小量， xxxxx1sin11sin2 但但当当x0时不是有界量，时不是有界量， xxxxx1sin1sin2 当当x0时不是有界量，时不是有界量， 故当故当x0时，时，x sin 1/x和和x2不能比较。不能比较。，03li

11、m20 xxx，1sinlim0 xxx高阶的无穷小，高阶的无穷小，是比是比时，时，当当xxx302；即即)0( )3(2 xxox).0( sinxxx例例1例例.1lim0 xexx 求求解解xexx1lim0 1 xeu)1ln(lim0uuu uuu10)1ln(lim1 eln1 . 1 .1)1ln(0 xexxxx ，时时，当当常用等价无穷小常用等价无穷小: :时时，当当 0 x，xxxxxx)1ln(arctanarcsintansin )0(1)1(,21cos1,12 aaxxxxxeax五、等价无穷小量在求极限问题中的作用五、等价无穷小量在求极限问题中的作用 定理定理 3

12、 设函数设函数f,g,h在在u(x0)内有定义，且有内有定义，且有 f(x)g(x) (xx0).bxgxhbxfxhxxxx )()(lim,)()(lim200则则）若）若（,)()(lim,)()(lim100axhxgaxhxfxxxx 则则）若）若（证（证（2）)()()()(lim)()(lim00 xgxfxfxhxgxhxxxx )()(lim)()(lim00 xgxfxfxhxxxx .1bb 推论推论 .limlim, 则则设设证证 lim lim 1lim.lim 证毕证毕 1lim例例5 5.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02

13、xxxxx 时时当当22021)2(limxxx 原原式式. 8 例例6 6.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 错错 注意：注意：只可对乘积中的无穷小因子作等价无穷小代换只可对乘积中的无穷小因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小项不能随意作等价无穷小量，对于代数和中各无穷小项不能随意作等价无穷小量代换。代换。作作 业业 p66. 1 (4) 2 (2) 六、无穷大量六、无穷大量

14、定义定义2 设函数设函数f在某在某u(x0)内有定义，若内有定义，若.| )(|),();(, 0, 000gxfxuxuxgoo 有有 则称函数则称函数f当当xx0时有非正常极限时有非正常极限，记作，记作.)(lim0 xfxx 若将若将“|f(x)|g”换成换成“f(x)g”或或“f(x)g”,则分别则分别称称f当当xx0时有非正常极限时有非正常极限或或，分别记作，分别记作和和 )(lim0 xfxx.)(lim0 xfxx类似可定义其他极限过程类似可定义其他极限过程 的非正常极限。的非正常极限。定义定义 3 对于自变量对于自变量x的某种趋向（或的某种趋向（或n时），所有以时），所有以，或

15、或为非正常极限的函数（包括数列），都称为无为非正常极限的函数（包括数列），都称为无穷大量。穷大量。:)(lim0 xfxx如如.)(),;(, 0, 00gxfxuxgo 有有 :)(lim xfx如如.)(,|, 0, 0gxfmxmg 有有至此，我们定义了极限的全部至此，我们定义了极限的全部24种情形。种情形。),)(,)(,| )(|,|)(| ),0( , 0gxfgxfgxfaxfg 刻画函数极限值情况。刻画函数极限值情况。,|,),;(),;(),;( ),0( , 0000mxmxmxxuxxuxxuxmooo 刻画自变量变化情况。刻画自变量变化情况。 )(lim? axfx。种

16、极限过程的任何一种种极限过程的任何一种其中？可以是其中？可以是6注意注意（1）无穷大量是变量）无穷大量是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;（3）无穷大量是一种特殊的无界变量）无穷大量是一种特殊的无界变量,但是但是无界变量未必是无穷大量无界变量未必是无穷大量.)(lim20认为极限存在认为极限存在）切勿将）切勿将（ xfxx. 1 11 1l li im m证证明明1 1xx例例1 1证证0 0. .m m对对任任给给定定的的,11mx 要使要使, ,m m1 11 10 0只只要要 x, ,m m1 1(m)(m)可取可取,110时时当当mx .11mx 就有就有.11lim1 xx

17、11 xy。 - - lnln limlim : :试证试证 0 00 0 xx例2例2证证0 0. .m m对对任任给给定定的的 , ,e ee ee em m l ln n 由由m mm m l ln n xxx. .e e( (m m) )可可取取 m m , ,- -m m l ln n 恒恒有有 时时, , 0 0 当当 xx。 xx l ln nl li im m 0 00 0七、无穷小与无穷大的关系七、无穷小与无穷大的关系定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大量的倒数为无穷无穷大量的倒数为无穷小量小量; ;恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量恒不为零的无穷小量的倒数为

18、无穷大量. .证证.)(lim0 xfxx设设,1)(0, 0, 00 xfxx恒有恒有时时使得当使得当.)(1 xf即即.)(1,0为无穷小为无穷小时时当当xfxx . 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且设设反之反之,1)(0, 0, 00mxfxxm 恒有恒有时时使得当使得当.)(1mxf 从而从而.)(1,0为无穷大为无穷大时时当当xfxx , 0)( xf由由于于意义：意义： 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷都可归结为关于无穷小的讨论小的讨论.注注 对无穷大量也可以比较它们趋于无穷大对无穷大量也可以比较它们趋于无穷大的速度，定义的速度，定义高（低、同）阶无

19、穷大高（低、同）阶无穷大以及以及等等价无穷大价无穷大；也可以进行；也可以进行等价无穷大量替换等价无穷大量替换。例例3时不是无穷大量。时不是无穷大量。但但上无界，上无界，在任意在任意证明证明0)0(1cos1)( xuxxxgo分析分析有界，即有界，即在某在某若若); 0()( ouxg.| )(|),; 0(, 0mxguxmo 有有 但但有有只要只要取取),; 0(,21,2100 ouxnnx ,22cos2)(0 nnnxg .| )(|,20mxgmn 不可能不可能而当而当 证明证明则则取取,21,2max, 0, 0 mnm .| )(|),; 0(2100mxgunxo 且且则则

20、上无界。上无界。在任意在任意即即)0()(ouxg时不是无穷大量。时不是无穷大量。但但上无界，上无界，在任意在任意证明证明0)0(1cos1)( xuxxxgo,2/1, 0, 11 nxg取取取取,2/1 n只要只要),; 0(1 oux 有有.10| )(|1gxg 而而.)(lim0 xgx故故即即若若,)(lim0 xgx.| )(|),; 0(, 0, 0gxguxgo 有有 时不是无穷大量。时不是无穷大量。但但上无界，上无界，在任意在任意证明证明0)0(1cos1)( xuxxxgo证明证明八、曲线的渐近线八、曲线的渐近线定义定义: :. )(: 渐渐近近线线的的一一条条为为的的距

21、距离离趋趋向向于于零零，则则称称到到某某直直线线点点无无限限远远离离原原点点时时，沿沿曲曲线线若若点点cllpxfycp 1.1.垂直渐近线垂直渐近线.)()(lim)(lim)(lim0000直直渐渐近近线线垂垂的的一一条条就就是是那那么么或或或或如如果果xfyxxxfxfxfxxxxxx 的的渐渐近近线线。可可利利用用极极限限求求曲曲线线)(xfy 。或或不能是不能是。但。但或或可以是可以是这里这里 0 x 即动点沿着上下方向无限远离原点时，动点即动点沿着上下方向无限远离原点时，动点到直线到直线x=x0距离趋于距离趋于0。例如例如,)3)(2(1 xxy有垂直渐近线两条有垂直渐近线两条: :. 3, 2 xx求垂直渐近线，一般关注分式中分母为求垂直渐近线，一般关注分式中分母为0的点。的点。,)3)(2(1lim2 xxx,)3)(2(1lim3 xxx2.2.水平渐近线水平渐近线.)()()(lim)(lim 水水平平渐渐近近线线的的一一条条就就是是那那么么为为常常数数或或如如果果xfybybbxfbxfxx 例如例如,arctanxy 有水平渐近线两条有水平渐近线两条: :.2,2 yy 即动点沿着左右方向无限远离原点时，动点即动点沿着左右方向无限远离原点时，动点到直