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文档简介
1、2021-2022学年中考数学压轴题专题训练01全等三角形中的辅助线做法及常见题型(含解析)1如图,在中,是的中点,且,点在上,点在上(1)求证:;(2)若,求四边形的面积【详解】(1)证明:,是等腰直角三角形,为中点,平分,在和中,(2),S四边形CEDF,是的中点,S四边形CEDF=12如图,中,点D在边上,且 (1)求证:;(2)点E在边上,连接交于点F,且,求的度数(3)在(2)的条件下,若,的周长等于30,求的长【详解】(1)证明:BDC90°ABD,BDC=ABD+A, A90°ABDBDCBDA180°, BDA180°BDC90°
2、;ABD ABDA90°ABDDBAB解:(2)如图1,作CHBE,连接DH,AFDABC,AFDABDBAE,ABCABDDBC,BAEDBC由(1)知,BADBDA,又EACBADBAE,CADBDBC,CAECAECEBECH,BEEHCHEH即BHCEAEABBD,BDHABEBEDHBECD,CHDHCDDCH为等边三角形ACB 60°(3)如图2,过点A作AOCE,垂足为ODHAE,CAECDH60°,AECDHC60°ACE是等边三角形设ACCEAEx,则BE16x,DHAE,BFEBDH,ABF的周长等于30,即ABBFAFABx=30,
3、解得AB16在RtACO中,AC,AO,BO16在RtABO中,AO2BO2AB2,即解得(舍去)ACAF113已知:在和中,(1)如图,若求证:求证:的度数图(2)如图,若,的大小为_(直接写出结果,不证明)图【详解】解:(1),在和中,;(2)如图,同理可得:,故答案为:,4如图,在中,于点,点是线段上一点,且,连接交于点(1)求证:;(2)若,求的周长【详解】解:(1)证明:ADBC,ADC=ADB=90°,在ACD和BED中,ACDBED(SAS),DAC=CBF;(2)ADBC,AD=BD=3,DAC=CBF,DAC+C=CBF+C=90°,AFB=90°
4、;,BAF的周长为:AB+BF+AF=5在ABC中,BAC=90°,AC=AB,点D为直线BC上的一动点,以AD为边作ADE(顶点ADE按逆时针方向排列),且DAE=90°,AD=AE,连接CE(1)如图1,若点D在BC边上(点D与BC不重合),求证:ABDACE;求证:(2)如图2,若点D在CB的延长线上,若DB=5,BC=7,则ADE的面积为_(3)如图3,若点D在BC的延长线上,以AD为边作等腰RtADE,DAE=90°,连结BE,若BE=10,BC=6,则AE的长为_【详解】(1)BAC=DAE,BAD=CAE,又AB=AC,AD=AE,ABDACE,AB
5、DACE,ABD=ACE,BD=CE,ABD+ACB=ACE+ACB=DCE=90°,;(2)过点A作AFDE于点FADAE,点F是DE的中点,DAE90°,AFDE,同理可证ABDACE,ADBAEC,DBEC,DB5,BC7,EC5,DC12,DAE90°,ADEAED90°,ADCCDEAED90°,AECAEDCDE90°,即CEDCDE90°,ECD90°,DE2CE2CD225144169,DE0,DE13,AF,ADE的面积为DEAF×13×;(3)由(1)可知:ABDACE,BD
6、CE,ABDACE,BCE=ACB+ACE=ACB+ABD=90°,RtBCE中,BE10,BC6,CE8,BDCE8,CD862,RtDCE中,DE=,ADE是等腰直角三角形,AE=6如图在中,为的中点(1)写出点到的三个顶点、的距离的大小关系(2)如果点、分别在线段、上移动,移动中保持,请判断的形状,并证明你的结论(3)当点、分别在、上运动时,四边形的面积是否发生变化?说明理由【详解】(1)连接OA,中,为的中点,(2)是等腰直角三角形,证明如下:,为的中点,在与中,是等腰直角三角形(3)四边形的面积保持不变,理由如下:由(2)可得: =,的面积保持不变四边形的面积保持不变7如图
7、,直线与轴、轴分别交于、两点,直线与轴、轴分别交于、两点,与直线交于点(1)填空:点的坐标是(_,_),点的坐标是(_,_);(2)直线与直线的位置关系_;(3)线段的长为_;(4)在第一象限是否存在点,使得是等腰直角三角形,请直接写出所有满足条件的点的坐标_【详解】(1)令,令,则,解得,; 令,令,则,解得,;(2)直线与直线垂直,理由如下:,在和中, , , , 直线与直线垂直;(3)解得,点M的坐标为, 线段的长为;(4)假设存在点P,使得是等腰直角三角形,若AB为斜边,过点P分别作x轴和y轴的垂线,分别交x轴于点E,y轴于点F,是等腰直角三角形, , 在和中, ,设点P的坐标为,则
8、,解得此时点P的坐标为;若AB边为直角边,过点P作轴交x轴于点G,是等腰直角三角形, , 在和中, ,此时P的坐标为,过点P作轴交y轴于点H,是等腰直角三角形, , 在和中, ,此时P的坐标为,综上所述,点P的坐标为或或8如图1,两个不全等的等腰直角三角形和叠放在一起,并且有公共的直角顶点将图1中的绕点顺时针旋转,在图2中作出旋转后的OAB(保留作图痕迹,不写作法,不证明);在图1中,你发现线段的数量关系是_,直线 相交成 角(填“锐”、“钝”或“直”);将图1中的绕点顺时针旋转一个锐角, 得到图,这时(2)中的两个结论是否仍成立?作出判断并说明理由; 若将绕点继续旋转更大的角时,结论仍然成立
9、吗?作出判断,不必说明理由【详解】解:(1)如图所示(2)等腰直角三角形和叠放在一起,如图1,OC=OD,OA=OBAC=BD,故答案为:;直(3)将图1中的绕点顺时针旋转一个锐角,的两个结论成立;理由如下:旋转一个锐角后, 在和中,延长交于E,交于,又将绕点继续旋转更大的角时,结论仍然成立理由同上9问题背景:我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于,那么它所对的直角边等于斜边的一半即:如图(1),在中,则探究结论:小明同学对以上结论作了进一步研究(1)如图(1),作边上的中线,得到结论:为等边三角形;与之间的数量关系为_(2)如图(2),是的中线,点D是
10、边上任意一点,连接,作等边,且点P在的内部,连接试探究线段与之间的数量关系,写出你的猜想并加以证明(3)当点D为边延长线上任意一点时,在(2)中条件的基础上,线段与之间存在怎样的数量关系?直接写出答案即可【详解】(1),为边上的中线,是等边三角形,(2)证明:如图,连接,都是等边三角形,;(3)当点D为边延长线上任意一点时,同(2)中的方法可证10如图1,在RtABC中,A90°,ABAC,点D,E分别在边AB,AC上,ADAE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点(1)观察猜想:图1中,线段PM与PN的数量关系是 ,位置关系是 ;(2)探究证明:把ADE绕点A逆时针方
11、向旋转到图2的位置,连接MN,BD,CE,判断PMN的形状,并说明理由;(3)拓展延伸:把ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD4,AB10,请直接写出PMN面积的最大值【详解】解:(1)点,是,的中点,点,是,的中点,故答案为:,;(2)是等腰直角三角形由旋转知,利用三角形的中位线得,是等腰三角形,同(1)的方法得,同(1)的方法得,是等腰直角三角形;(3)方法1:如图2,同(2)的方法得,是等腰直角三角形,最大时,的面积最大,且在顶点上面,最大,连接,在中,在中,方法2:由(2)知,是等腰直角三角形,最大时,面积最大,点在的延长线上,11在ABC中,ACB=90°,AC=BC,直线
12、MN经过点C,且ADMN于D,BEMN于E(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:ADCCEB;DE=AD+BE;(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,直接写出DE、AD、BE的关系为:_;(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并加以证明【详解】(1)证明:如下图:ACB=90°,ACD+BCE=90°,而ADMN于D,BEMN于E,ADC=CEB=90°,BCE+CBE=90°,ACD=CBE在ADC和CEB中,ADCCEB,AD=CE,DC=BE,DE=DC+CE=BE+AD;(2)证明:在ADC和CEB中,ADCCEB,AD=CE,DC=BE,DE=CECD=ADBE;(3)DE=BEAD易证得ADCCEB,AD=CE,DC=BE,DE=CDCE=BEAD12(1)(方法探索)如图,在等边中,点在内,且,求的长小敏在解决这个问题时,想到了以下思路:如图,把绕着点顺时针旋转得到,连接,分别证明和是特殊三角形,从而得解请在此思路提示下,求出PB的长解:把绕着点顺时针旋转得到,连接,请接着写下去:(2)(
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