第6节多元函数的极值与最值15853

1、1第六节第六节 多元函数的极值与最值多元函数的极值与最值 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内有定的某邻域内有定义，对于该邻域内异于义，对于该邻域内异于),(00yx的点的点),(yx：若恒有：若恒有),(),(00yxfyxf ，则称函数在，则称函数在),(00yx有有极大值极大值；若恒有若恒有),(),(00yxfyxf ， 则称函数在， 则称函数在),(00yx有有极极小值小值. . 一、多元函数的极值与最值一、多元函数的极值与最值极大值、极小值统称为极大值、极小值统称为极值极值. . 使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点. . 2(1)(2)

2、(3)例例1 1处有极小值处有极小值在在函数函数)0 , 0(4322yxz 例例处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz 例例处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz 3的图形的图形观察二元函数观察二元函数22eyxxyz 播放播放4的图形的图形观察二元函数观察二元函数22eyxxyz 5的图形的图形观察二元函数观察二元函数22eyxxyz 6的图形的图形观察二元函数观察二元函数22eyxxyz 7的图形的图形观察二元函数观察二元函数22eyxxyz 8的图形的图形观察二元函数观察二元函数22eyxxyz 9的图形的图形观察二元函数观察二元函数22eyxxyz 10的

3、图形的图形观察二元函数观察二元函数22eyxxyz 11的图形的图形观察二元函数观察二元函数22eyxxyz 12设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx具具有有偏偏导导数数，且且在在点点),(00yx处处有有极极值值，则则它它在在该该点点的的偏偏导导数数必必然然为为零零：0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. . 极值的求法极值的求法（称（称驻点驻点） 但但不不是是极极值值点点.驻点驻点或或不可导点不可导点极值点极值点注意注意：定理定理1 1（必要条件）（必要条件） 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？点点 是函数是函数 的不可导点，

4、不的不可导点，不是极值点是极值点33zxy)0 , 0(13设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内连续，的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，有一阶及二阶连续偏导数， 设设 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 定理定理2 2（充分条件）（充分条件）则则),(yxf在在点点),(00yx处处是是否否取取得得极极值值的的条条件件如如下下：令令 ayxfxx ),(00，byxfxy ),(00，cyxfyy ),(00， （1 1）02 acb时时具具有有极极值值，且且当当0 a时时有有极极大大值值，当当0 a时时有有极极小小值值； （2 2）02 ac

5、b时时没没有有极极值值； （3 3）02 acb时时可可能能有有极极值值, ,也也可可能能没没有有极极值值，还还需需另另作作讨讨论论 cbba负定负定正定正定14求求函函数数xyxyxyxf933),(2233 的的极极值值. . 求求得得驻驻点点：)2 , 1(),2 , 3(),0 , 1(),0 , 3( , , 二二阶阶偏偏导导数数为为：66, 0, 66 yffxfyyxyxx, , 例例4 4解解 063096322 yyfxxfyx令令cba acb 2)0, 3( )0, 1()2, 3( )2, 1(6 0 12 6 0 126 0 12 6 0 12 无无极值极值极极小小值

6、值- -5极极大大值值31无无极值极值1, 3 x2, 0 yf驻点驻点15二元函数的最值二元函数的最值 若根据实际问题若根据实际问题, ,目标函数有最大值目标函数有最大值( (或最小值或最小值),),而在定义区域而在定义区域内部内部有有唯一唯一的极大的极大( (小小) )值点值点, ,则可以断则可以断定该极大定该极大( (小小) )值点即为最大值点即为最大( (小小) )值点值点. . 设生产某种商品需原料设生产某种商品需原料a和和b，设设a的单价为的单价为2 2，数量为数量为x；而而b 的单价为的单价为1 1，数量为，数量为y，而产量为而产量为 例例5 5解解，yyxxz52102022

7、且商品售价为且商品售价为5,5,求最大利润求最大利润. . 利润函数为利润函数为 yxyyxxyxl 2)521020(5),(2216yxyyxxyxl 2)521020(5),(22令令， 0242004810 xlxlyx解得解得唯一唯一驻点驻点 ，2 . 1, 8 . 4 yx唯一唯一驻点驻点为极为极大值大值点点，.6 .229)2 . 1 , 8 . 4( l，yyxx24104851122 ,20,0,10 yyxyxxfcfbfa,02 acb,0 a即为即为最大值最大值点点，最大利润最大利润为为 17例例6 6解解 sincos222422421xxxxs ， cossinsi

8、n2sin2422xxx 其其中中 120 x, ,20 , , 18其其中中 120 x, ,20 , , 注注意意到到 0sin, 0 x, ,化化简简后后解解得得 3, 8 x, , 由由实实际际问问题题可可知知, ,s 必必有有最最大大值值, ,且且内内部部唯唯一一驻驻点点, ,故故当当3, 8 x时时, ,槽槽的的截截面面积积最最大大, ,348 最最大大s. . ， cossinsin2sin2422xxxs 0)sin(coscos2cos240cossin2sin4sin242222xxxsxxsx令令19解解例例7 7总利润为总利润为 )258000(yxqpqcrl 800

9、0)25( yxqp,8000)25(2000003 . 01 . 05 . 1 yxyxpp208000)25(2000003 . 01 . 05 . 1 yxyxppl令令,0)75(1000003 . 01 . 05 . 2 yxpplp,01)25(200003 . 09 . 05 . 1 yxpplx01)25(600007 . 01 . 05 . 1 yxpply解得解得,750 p3555540 x(元元)，1066662300 xy(元元) 最最佳佳经经营营时时的的产产量量为为 711112000003 . 001 . 005 . 100 yxpq(件件) 此此时时企企业业获获

10、得得的的最最大大利利润润为为 21253348000)25(),(0000000 yxqpyxpl(元元) 21 用铁皮做一个有盖的长方形水箱用铁皮做一个有盖的长方形水箱, ,要求容积为要求容积为v, ,问怎么做用料最省？问怎么做用料最省？ 二、条件极值与拉格朗日乘数法二、条件极值与拉格朗日乘数法设设水水箱箱的的长长、宽宽、高高分分别别为为zyx, ,则则 目目标标函函数数：)( 2zxyzxys , , 约约束束条条件件：xyzv , , 实际问题中实际问题中, ,目标函数的自变量除了受到定义目标函数的自变量除了受到定义域的限制外域的限制外, , 往往还受到一些附加条件的约束往往还受到一些附

11、加条件的约束, ,这类这类极值问题称极值问题称条件极值条件极值问题问题. . 例例8 8解解 即表面积最小即表面积最小. . ，xyvz 代入目标函数代入目标函数, ,化为无条件极值问题：化为无条件极值问题： xyz22目目标标函函数数化化为为：)( 2yvxvxys , , 0, 0 yx 令令 0)(20)(222yvxsxvysyx, , 求得唯一驻点求得唯一驻点3vyx , ,从而从而3vz , , 内部唯一驻点内部唯一驻点, ,且由实际问题且由实际问题s有最大值有最大值, ,故做成立方故做成立方体表面积最小体表面积最小. . 这种做法的缺点：这种做法的缺点： 1.1.变量之间的平等关

12、系和对称性被破坏；变量之间的平等关系和对称性被破坏； 2.2.有时隐函数有时隐函数显化显化困难甚至不可能困难甚至不可能. . 23 要要找找函函数数),(yxfz 在在条条件件0),( yx 下下的的可可能能极极值值点点，解解出出 , yx，其其中中yx,就就是是可可能能的的极极值值点点的的坐坐标标.拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法其其中中 为为参参数数， 引入拉格朗日函数引入拉格朗日函数),(),();,(yxyxfyxf 令令,0),(0),(),(0),(),( yxfyxyxffyxyxffyyyxxx 若这样的点唯一若这样的点唯一, ,由实际问题由实际问题, ,可直接确定此即所求的点可直

13、接确定此即所求的点. .24如如果果目目标标函函数数是是三三元元函函数数),(zyxf, ,且且约约束束条条件件有有两两个个, , 0),( zyxg, ,0),( zyxh, , 则构造拉格朗日函数为则构造拉格朗日函数为 . ),(),(),(),;,(zyxhzyxgzyxfzyxl 令令,0),(0),(),(),(),(0),(),(),(0),(),(),( zyxhzyxgzyxhzyxgzyxfzyxhzyxgzyxfzyxhzyxgzyxfzzzyyyxxx 25 用铁皮做一个有盖的长方形水箱用铁皮做一个有盖的长方形水箱, ,要求容积为要求容积为v, ,问怎么做用料最省？问怎么

14、做用料最省？ 例例8 8目目标标函函数数：)( 2zxyzxys , , 约约束束条条件件：xyzv , , 解解构构作作拉拉格格朗朗日日函函数数 )()( 2vxyzzxyzxyl , , 令令 vxyzxyyxlxzzxlyzzylzyx0)(20)(20)(2 , , 解解得得唯唯一一驻驻点点3vzyx , , 由实际问题由实际问题, ,即为最小值点即为最小值点. . 设设水水箱箱的的长长、宽宽、高高分分别别为为zyx, ,则则 xyz26 在实际问题中在实际问题中, ,经常要求某多元函数在已知区经常要求某多元函数在已知区域域d内的最大值和最小值内的最大值和最小值. .根据实际情况根据实

15、际情况, ,我们往往我们往往可以判断最大值或最小值在区域可以判断最大值或最小值在区域d的内部达到，若的内部达到，若函数在函数在d内仅有一个驻点，则可以断定，该驻点就内仅有一个驻点，则可以断定，该驻点就是最大值点或最小值点是最大值点或最小值点. . 27在在周周长长为为p2的的一一切切三三角角形形中中, ,求求出出面面积积最最大大的的三三角角形形. . 设设三三角角形形的的三三条条边边长长分分别别为为zyx, , 则则面面积积为为 )()(zpypxpps , , 约约束束条条件件: : pzyx2 , , 目目标标函函数数取取为为：)()(),(zpypxpzyxf , , 令令 pzyxyp

16、xplzpxplzpyplzyx20)(0)(0)( , , 例例9 9解解，)2()()(pzyxzpypxpl 解得唯一驻点解得唯一驻点 ，pzyx32 即即做成做成正三角形时面积最大正三角形时面积最大. . 28用用一一根根长长为为p2的的铁铁丝丝做做一一个个网网兜兜边边框框： 五五边边形形( (正正) ): : 222752. 051025251pp ； 圆圆：2223183. 0/ pprs , ,最最大大. . 三角形中三角形中, ,以正三角形面积为最大以正三角形面积为最大: : .1925. 09322pp 四边形中四边形中, ,以正方形面积为最大：以正方形面积为最大： .25.

17、 04122pp 29解解xyo6 yxd例例1010先求函数在先求函数在d内的驻点，内的驻点， 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx解方程组解方程组 06)268()1 , 2()1 ,2(2 yxyyfaxx4)438()1 , 2()1 ,2(2 xyxxfbxy,82)1 , 2()1 ,2(2 xfcyy,02 acb,0 a. 4)1 , 2( 是极大值是极大值所以所以 f30 xyo6 yxd再再求求),(yxf在在 d边边界界上上的的最最值值， 在在边边界界0 x和和0 y上上0),( yxf, 是是极极大大值值 4)1 ,2( f在在边边

18、界界6 yx上上，即即xy 6， 得得 4, 021 xx， ,2|64 xxy,64)2 , 4( f 比比较较后后可可知知4)1 , 2( f为为最最大大值值, 64)2 , 4( f为最小值为最小值., )6(223xx )2)(6(2 xxz)60( x,0)4(6 xxz, )4(),(2yxyxyxfz 31例例1111解解目目标标函函数数 414380),(yxyxq ， 约约束束条条件件 4000002000600 yx, , 或或 2000103 yx, , ，)2000103(804143 yxyxl 32由由，)2000103(804143 yxyxl 200010301

19、020036043434141yxyxlyxlyx ，3103 yx，yx10 ,50,500 yx由实际问题，此即最佳分配方案由实际问题，此即最佳分配方案. . 33设两种产品的需求量设两种产品的需求量21,qq分别为分别为112 . 024pq ， 2205. 010pq ( (21, pp为其价格为其价格),),总成本为总成本为 )(403521qqc , ,问如何定价，才能获取最大利润？问如何定价，才能获取最大利润？ 解法解法1),(),(21221121qqcqpqpqql ,139605. 02 . 01232222121 pppp 01 . 01204 . 0322121plpl

20、pp,12080 21 pp例例1212因驻点唯一因驻点唯一，且由问题的实际含义可知必有最大利润，且由问题的实际含义可知必有最大利润， 34设两种产品的需求量设两种产品的需求量21,qq分别为分别为112 . 024pq ， 2205. 010pq ( (21, pp为其价格为其价格),),总成本为总成本为 )(403521qqc , ,问如何定价，才能获取最大利润？问如何定价，才能获取最大利润？ 因驻点唯一因驻点唯一，且由问题的实际含义可知必有最大利润，且由问题的实际含义可知必有最大利润， 解法解法2cpqpqqql 221121),(,3520160580222211 qqqq010801

21、1 qlq,8 1 q04016022 qlq,4 2 q212211404035)20200()5120(qqqqqq ,80 1 p,120 2 p例例121235练习：练习：p317 习题八习题八36附录、最小二乘法附录、最小二乘法37例例 价格与供给量的观察数据见下表：价格与供给量的观察数据见下表：x (元元) 2 3 4 5 6 810 12 14 16y (吨吨) 15 20 25 30 35 45 60 80 80 110散点图散点图由图可以看出，由图可以看出，x 与与 y 之间存在一定的相关关系，之间存在一定的相关关系，且这种关系是线性关系且这种关系是线性关系.0204060801001200510152038,bxay niiibxaybaq12)(),(达到最小达到最小. .上述估计上述估计a, ,b的方法称为的方法称为最小二乘法最小二乘法. .lse (least square estimation)求线性经验公式求线性经验公式( (回归直线方程回归直线方程) )使使39ba,的的求求解解： niiibxaybaq12)(),( 0)(20)(211 niiiiniiixbxaybqbxayaq niniiiiyxbxaxnynbxnna112)( 称为称为