泰勒公式简介

1、yunnanuniversity2. 泰勒公式泰勒公式1. 1. 近似计算近似计算可微，则有可微，则有在在若若0)(xxfy ）（0),()(0 xxoxxfy于是于是.|,)(0充充分分小小）（xxxfy),()(00 xfxxfy又又一、利用导数作近似计算一、利用导数作近似计算是用计算方法得到一定精度的计算结果是用计算方法得到一定精度的计算结果.|,)()()(000充分小）充分小）（故故xxxfxfxxfyxo0 xxx0yxy)(xfy yunnanuniversity2. 泰勒公式泰勒公式，则则有有，设设00 xxxxxx这就是利用导数作近似计算的公式这就是利用导数作近似计算的公式.

2、 它表明，当)()(0000 xxxfxfyxx线线充充分分接接近近时时，可可以以用用切切与与充分小时，有充分小时，有且且当当|00 xx .)0()0()(xffxf.|),)()()(0000充充分分小小）（xxxxxfxfxf的的纵纵坐坐标标在在即即曲曲线线近近似似地地代代替替曲曲线线xxfyxfy)().(的的纵纵坐坐标标的的切切线线在在近近似似等等于于其其在在xxfxxf)(,()(00).)()(000 xxxfxfyunnanuniversity2. 泰勒公式泰勒公式例1. 如图，加工圆锥台时计算刀架应取角 .s1d2d.22tan2121sddsdd因 一般相当小，故.tan0

3、cos10tantan2，即，即解：解：于是于是从而从而sdd2tan21sddsdd21216 .2823 .57,（弧度）（弧度）.3 .571弧度弧度.（角角度度）yunnanuniversity2. 泰勒公式泰勒公式例2. 开方的近似计算.2111|1)(xxxxxfy很小，则很小，则，若，若设设常用近似公式（常用近似公式（ 充分小）：充分小）： | x,sinxx ,11nxxn.1xex,tanxx ,111xx.)1ln(xx yunnanuniversity2. 泰勒公式泰勒公式例3. 计算 的近似值.3131,29sin解：解：)130sin(29sin)180()6(cos

4、6sin.4849. 01802321查表得查表得 0.4848)1806sin(.1801302900 xxxx，333333335615)561(56513108.5)56311(53yunnanuniversity2. 泰勒公式泰勒公式2.2.误差估计误差估计例如：设计一根轴长度120毫米，加工后量得120.03毫米， 误差为 毫米.03. 0|03.120120| 设计一个键销长度12毫米，加工后量得12.03毫米， 误差为 毫米.03. 0|03.1212| 称这种误差为称这种误差为绝对误差绝对误差，表明了一个量与它的近似值之间，表明了一个量与它的近似值之间的差值，反映了某种近似程度

5、的差值，反映了某种近似程度.是估计近似值与精确值的差是估计近似值与精确值的差yunnanuniversity2. 泰勒公式泰勒公式 上例中，尽管他们的绝对误差相等，但明显地，轴长（120毫米）的精度要比键销（12毫米）的精度高。可见，一个量的近似精度依赖于其绝对误差和这个量本身的大小，故需计算绝对误差占总长度的百分比. 例如：轴：键销： 称这样的百分比为相对误差相对误差. 显然，轴长精度比键销长的精度高得多. 一般地，有定义：%,025. 0%10003.12003. 0%,25. 0%10003.1203. 0yunnanuniversity2. 泰勒公式泰勒公式def :|aaaa，则则的

6、的近近似似值值是是若若一一个个量量.%100叫叫做做相相对对误误差差叫叫做做绝绝对对误误差差，而而a，则则有有误误差差时时，计计算算，若若由由对对于于函函数数xxyxxfy)(值值有有绝绝对对误误差差由由此此算算出出的的 y| )()(|xfxxfy|,)(|xxf很小时）很小时）（当（当|x和相对误差和相对误差%.100|)(|)(|xfxxfyyyunnanuniversity2. 泰勒公式泰勒公式例例4. 多次测量一根圆钢多次测量一根圆钢, 测得其直径的平均值为测得其直径的平均值为d50毫米，毫米， 绝对误差不超过绝对误差不超过0.05毫米毫米. 试计算其截面积试计算其截面积, 并估计其

7、误并估计其误差差.解：解：s的的绝对误差：绝对误差：相对误差：相对误差：截截面面积积为为圆圆面面积积,42ds,925. 305. 0502|2|2毫毫米米dds,5 .1962)50(422毫毫米米s%2 . 05001422dddssyunnanuniversity2. 泰勒公式泰勒公式二、二、taylor 公式公式简单函数简单函数多项式多项式复杂的函数复杂的函数近似近似表示表示充充分分小小时时，有有，当当考考虑虑|)(xxfy ),()0()0()(xoxffxf从而点点的的在在是是即即一一次次多多项项式式0)()0()0()(1xxfxffxp).0()0( ),0()0(.11fpf

8、p一一阶阶近近似似.)0()0()(xffxfyunnanuniversity2. 泰勒公式泰勒公式为提高近似精度，可用二次多项式,)()(22102xaxaaxpxf（二阶近似二阶近似）).0()0(),0()0(),0()0(222fpfpfp 且一般地，可用 n 次多项式,)()(2210nnnxaxaxaaxpxf（n阶近似阶近似）且).0()0(,),0()0(),0()0()()(nnnnnfpfpfpyunnanuniversity2. 泰勒公式泰勒公式,)(,10阶阶逐逐次次求求导导，直直到到对对为为确确定定系系数数nxpaaann，得得并并令令0 x),0()0(),0()0

9、(10fapfapnn).0(!)0(,),0(! 2)0()()(2nnnnnfanpfap .!)0(,! 2)0(),0(),0()(210nfafafafann 即阶阶近近似似式式的的在在从从而而得得nxxf0)(.!)0(!2)0()0()0()()(2nnxnfxfxffxf yunnanuniversity2. 泰勒公式泰勒公式例5. . 1)0(,)(,)()()(nxnxfexfexf 上述公式表明，近似式阶数越高，近似程度越好.？.!212nxxxenx.,!1! 2111, 1的的近近似似值值可可求求令令enexyunnanuniversity2. 泰勒公式泰勒公式the

10、orem阶阶连连续续导导数数，则则点点有有直直到到在在若若10)(nxxf),(!)0(! 2)0()0()0()()(2xrxnfxfxffxfnnn ,)!1()()(1)1(nnnxnfxr.0之间）之间）与与在在（其中（其中x为为的幂函数展开式，又称的幂函数展开式，又称点关于点关于在在称为称为xxxf0)(taylor公式（也称马克劳林公式（也称马克劳林 ( maclaurin ) 公式），公式），式中式中 叫做叫做 lagrange 余项余项.)(xrnyunnanuniversity2. 泰勒公式泰勒公式证明证明：作辅助函数作辅助函数2)(! 2)()()()()(txtftxtf

11、tfxft .)(!)()(nntxntf上上连连续续且且或或在在则则0,0)(xxt.)(!)()(,0)()()0()1(nnntxntftxxr，再作辅助函数再作辅助函数,)()(1ntxtyunnanuniversity2. 泰勒公式泰勒公式利用cauchy定理，得.0)!1()()(1)1(之之间间与与在在，xxnfxrnnnlagrange 余项余项还可写为：.10)!1()()(1)1(），（nnnxnxfxr又.00)()()1(），（xxfxxrnnn因此余项又可表示为称为皮亚诺皮亚诺(peano)余项余项.).()(nnxoxryunnanuniversity2. 泰勒公式

12、泰勒公式注注1： cauchy 余项余项).10(,!)()1 ()(1)1(nnnnxnxfxr注注2：由余项可见，不论缩小x或增大阶数n都可提高精度.的的幂幂函函数数展展开开点点关关于于在在一一般般地地，00)(xxxxxf公公式式：点点的的在在式式，即即taylorxxf0)(200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf ),()(!)(00)(xrxxnxfnnnyunnanuniversity2. 泰勒公式泰勒公式lagrange 余项余项.,)()!1()()(010)1(之之间间）在在（xxxxnfxrnnn或peano 余项余项).)(0nnxxoxr(.10

13、,)()!1()()(1000)1(）（nnnxxnxxxfxryunnanuniversity2. 泰勒公式泰勒公式例5 中,公式的taylorex,)!1(! 2112nnxxnenxxxe之之间间）与与在在（x0, 1x,)!1(!1! 2111nene).10(误差误差为.)!1(3)!1()!1(nnene,103如如即即可可！只只须须6,10)!1(33nnyunnanuniversity2. 泰勒公式泰勒公式例6.0,sin)(xxxf)!12() 1(! 5! 3sin1253nxxxxxnn.10),)23(sin()!32(32）（nxnxn, 12,) 1(,2, 0)0

14、(),2sin()()()(nknkfkxxfnkkyunnanuniversity2. 泰勒公式泰勒公式)!2() 1(! 4! 21cos242nxxxxnn).10),cos()!22() 1(221（xnxnn. 0,cos)(xxxf, 12, 0,2,) 1()0()(nknkfnk),2cos()()(kxxfkyunnanuniversity2. 泰勒公式泰勒公式例7. 0),(,)1 ()(xrxxf2! 2) 1(1)1 (xxx).(!) 1() 1(nnxoxnn,)1)(1() 1()()(nnxnxf),1() 1()0()(nfnyunnanuniversity2

15、. 泰勒公式泰勒公式特别，有有, n.! 2) 1(1)112nnnxnxxnnnxx（二项式展开公式二项式展开公式有有时时当当,1),() 1(11132nnnxoxxxxx).(11132nnxoxxxxxyunnanuniversity2. 泰勒公式泰勒公式例8. 0),1ln()(xxxf,)1 ()!1()1()(1)(nnnxnxf432)1ln(432xxxxx).() 1(1nnnxonx)!.1() 1()0(1)(nfnnyunnanuniversity2. 泰勒公式泰勒公式例9.61)(24的的马马克克劳劳林林展展式式求求xxxf解：解：)3121(51612224xxx

16、x31115121110122xx).()3() 1()3(31 (15122222nnnxoxxx)2()2(21 (1012222nxxxyunnanuniversity2. 泰勒公式泰勒公式例10.1ln)1()(的的泰泰勒勒展展式式在在求求xxxxf解：解：于于是是的的马马克克劳劳林林展展式式在在，则则求求令令.0)1ln(ln) 1(1tttxxtx)1ln(ln)1(ttxx)()1(11nknkktotkt).) 1() 1() 1(1111nnkkkxoxkyunnanuniversity2. 泰勒公式泰勒公式例11. 计算计算4202coslimxexxx.121)(121lim:4440 xxoxx原原式式解解)(! 4! 21cos44222xoxxexx)()2(! 2121 (4222xoxx).(12144xox yunnanunive