人教版高中数学选修11课后提升作业 二十 3.2.1 Word版含解析

1、高中数学选修精品教学资料课后提升作业 二十几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分) 1.(2016·丽江高二检测)函数f(x)=x,则f(3)等于()a.36b.0c.12xd.32【解析】选a.因为f(x)=(x)=12x,所以f(3)=123=36.【规律总结】求函数在某点处导数的方法函数f(x)在点x0处的导数等于f(x)在点x=x0处的函数值.在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出导函数,再将x0代入导函数求解,不能先代入后求导.2.若y=lnx,则其图象在x=2处的切线斜率是()a.1b.0c.2d.12【解析】

2、选d.因为y=1x,所以当x=2时,y=12,故图象在x=2处的切线斜率为12.3.已知函数f(x)=x3的切线的斜率等于3,则切线有()a.1条b.2条c.3条d.不确定【解析】选b.因为f(x)=3x2=3,解得x=±1.切点有两个,即可得切线有两条.【补偿训练】若曲线y=x3+x-2在点p0处的切线平行于直线4x-y+1=0,则点p0的一个坐标是()a.(0,-2)b.(1,1)c.(-1,-4)d.(1,4)【解析】选c.因为y=3x2+1=4,所以x=±1,所以y=0或-4,所以p0的坐标为(1,0)或(-1,-4).4.给出下列四个导数式:(x4)=4x3;(2

3、x)=2xln2;(lnx)=-1x;1x=1x2.其中正确的导数式共有()a.2个b.3个c.4个d.5个【解析】选a.根据导数的基本公式求导,再判断即可.(x4)=4x3;(2x)=2xln2;(lnx)=1x;1x=-1x2,故正确.【补偿训练】下列各式中正确的是()a.(lnx)=xb.(cosx)=sinxc.(sinx)=cosxd.(x-8)=-18x-9【解析】选c.因为(lnx)=1x,(cosx)=-sinx,(x-8)=-8x-9=-8x9,所以a,b,d均不正确,c正确.5.(2016·南宁高二检测)质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s=5t,则质点在t=

4、4时的速度为()a.12523b.110523c.25523d.110523【解析】选b.s=15t -45.当t=4时,s=15·1544=110523.6.函数y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴围成三角形的面积为()a.94e2b.2e2c.e2d.e22【解析】选d.因为y|x=2=e2,所以切线方程为y-e2=e2(x-2).当x=0时,y=-e2,当y=0时,x=1.故切线与坐标轴围成三角形面积为12×|-e2|×1=e22.7.(2016·福州高二检测)设函数f(x)=logax,f(1)=-1,则a=()a.3b.2c.1e

5、d.e【解析】选c.因为f(x)=1xlna,所以f(1)=1lna=-1.所以lna=-1.所以a=1e.8.(2016·宝鸡高二检测)已知直线y=kx是曲线y=ex的切线,则实数k的值为()a.1eb.-1ec.-ed.e【解析】选d.设切点为(x0,ex0).y=ex,当x=x0时,y=ex0,所以过切点的切线方程为y-ex0=ex0(x-x0),即y=ex0x+(1-x0)ex0,又y=kx是切线,所以k=ex0,(1-x0)ex0=0,所以x0=1,k=e.【延伸探究】若将本题中的曲线“y=ex”改为“y=lnx”,则实数k=()a.1eb.-1ec.-ed.e【解析】选a

6、.设切点为(x0,lnx0).y=1x,当x=x0时,y=1x0,所以过切点的切线方程为y-lnx0=1x0(x-x0),即y=1x0x+lnx0-1,所以lnx0-1=0,k=1x0,所以x0=e,k=1e.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2016·兴义高二检测)设曲线y=xn+1(nn*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lgxn,则a1+a2+a99的值为.【解析】y=(n+1)xn,曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得xn=nn+1.an=lgxn=lgnn+1=lgn-lg(n+1),则a1+a2+a99

7、=lg1-lg2+lg2-lg3+lg99-lg100=-lg100=-2.答案:-210.(2016·广州高二检测)在平面直角坐标系xoy中,若曲线y=lnx在x=e(e为自然对数的底数)处的切线与直线ax-y+3=0垂直,则实数a的值为.【解析】因为y=lnx的导数为y=1x,即曲线y=lnx在x=e处的切线斜率为k=1e,由于切线与直线ax-y+3=0垂直,则a·1e=-1,解得a=-e.答案:-e【补偿训练】函数f(x)=lnx的图象在x=1处的切线方程是.【解析】f(x)=1x,f(1)=1,所以切点为(1,0),根据点斜式写出方程:y=x-1.答案:y=x-1三

8、、解答题(每小题10分,共20分)11.求下列函数的导数.(1)y=x8.(2)y=1x4.(3)y=3x.(4)y=2x.(5)y=log2x.(6)y=cos2-x.【解题指南】(1)利用幂函数公式求导.(2)转化为幂函数求导.(3)转化为幂函数求导.(4)利用指数函数求导.(5)利用对数函数求导.(6)先化简再求导.【解析】(1)y=(x8)=8x8-1=8x7.(2)y=1x4=(x-4)=-4x-5.(3)y=(3x)=(x13)=13x13-1=13x-23.(4)y=(2x)=2xln2.(5)y=(log2x)=1xln2.(6)因为y=cos2-x=sinx,所以y=(sin

9、x)=cosx.【规律总结】1.公式记忆:对于公式(ax)=axlna与(logax)=1xlna记忆较难,又易混淆,要注意区分公式的结构特征,既要从纵的方面(lnx)与(logax)和(ex)与(ax)区分,又要从横的方面(logax)与(ax)区分,找出差异记忆公式.2.求导注意点:(1)应用导数公式时不需对公式说明,掌握这些公式的基本结构和变化规律直接应用即可.(2)需要根据所给函数的特征,恰当地选择公式.(3)对一些函数求导时,要弄清一些函数的内部关系,合理转化后再求导,如y=3x2,y=1x3,可以转化为y=x23,y=x-3后再求导.【补偿训练】求下列函数的导数.(1)y=a2(a

10、为常数).(2)y=x12.(3)y=x-5.(4)y=lgx.【解析】(1)因为a为常数,所以a2为常数,所以y=(a2)=0.(2)y=(x12)=12x11.(3)y=(x-5)=-5x-6=-5x6.(4)y=(lgx)=1xln10.12.(2016·烟台高二检测)求过曲线y=cosx上点p3,12且与在这点的切线垂直的直线方程.【解析】因为y=cosx,所以y=-sinx,曲线在点p3,12处的切线斜率是y|x=3=-sin3=-32.所以过点p且与切线垂直的直线的斜率为23,所以所求的直线方程为y-12=23x-3,即2x-3y-23+32=0.【误区警示】已知与曲线上

11、某点的切线垂直这一条件具有双重含义:一是所求直线与切线垂直;二是所求直线也过此点.在确定与切线垂直的直线方程时,应注意函数在切点处的导数y是否为零,当y=0时切线平行或重合于x轴,过切点p垂直于切线的直线斜率不存在.【能力挑战题】已知直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相交于a,b两点,o是坐标原点,试在抛物线的弧aob上求一点p,使abp的面积最大,并求最大值.【解题指南】解答本题的关键点是注意到|ab|是定值,通过图形分析使abp的面积最大,只需点p到ab的距离最大,即点p是抛物线的平行于ab的切线的切点.【解析】设p(x0,y0),过点p作与ab平行的直线为l,如图,设直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相交于a(x1,y1),b(x2,y2),联立方程组,得x-2y-4=0,y2=x得x2-12x+16=0,x1+x2=12,x1x2=16,所以|ab|=1+k2|x1-x2|=1+14(x1+x2)2-4x1x2=52144-64=10,要使abp的面积最大,只要点p到ab的距离最大,而p点是抛物线的弧aob上的一点,因此点p是抛物线上平行于直线ab的切线的切点