第6节空间直线及方程

1、第六节一、空间直线方程一、空间直线方程 二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间直线及其方程 第七七章 一、空间直线方程一、空间直线方程xyzo01111dzcybxa02222dzcybxa1 2 l因此其一般式方程1 1. 一般式方程一般式方程 直线可视为两平面交线，(不唯一)机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(0000zyxm2. 对称式方程对称式方程故有说明说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.mxx000yyxx设直线上的动点为 则),(zyxmnyy0pzz0此式称为直线的对称式方程对称式方程(也称为点向式方程点向式方程)直线方

2、程为s已知直线上一点),(0000zyxm),(zyxm例如, 当,0, 0时pnm和它的方向向量 , ),(pnms smm/0机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 参数式方程参数式方程设得参数式方程 :tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 1.用对称式及参数式表示直线解解: :先在直线上找一点.043201 zyxzyx632zyzy再求直线的方向向量2,0zy令 x = 1, 解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点 .)2,0, 1(故.s, ) 1, 1, 1 (1n)3, 1,2(2n21ns,ns21n

3、ns机动 目录 上页 下页 返回 结束 故所给直线的对称式方程为参数式方程为tztytx32 41t41x1y32z解题思路解题思路: 先找直线上一点;再找直线的方向向量.)3, 1,4(21nns312111kji机动 目录 上页 下页 返回 结束 2l1l二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系1. 两直线的夹角两直线的夹角 则两直线夹角 满足21, ll设直线 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(锐角)的方向向量分别为212121ppnnmm212121pnm222222pnm),(, ),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s机动 目录 上页 下页 返回 结束

4、 特别有特别有:21) 1(ll 21/)2(ll0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. . 求以下两直线的夹角解解: 直线直线二直线夹角 的余弦为(请看p332 例2 )13411:1zyxl0202:2zxyxl cos22从而4的方向向量为1l的方向向量为2l) 1,2,2() 1(1)2()4(212221)4(1222) 1()2(2) 1,4, 1 (1s2010112kjis 机动 目录 上页 下页 返回 结束 当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;l2. 直线与平面的夹角直线

5、与平面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线 l 的方向向量为 平面 的法向量为则直线与平面夹角 满足.2222222cbapnmpcnbma直线和它在平面上的投影直),(pnms ),(cban ),cos(sinnsnsns sn机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别有特别有: :l) 1(/)2(l0pcnbmapcnbmans/ns解解: : 取已知平面的法向量421zyx则直线的对称式方程为0432zyx直的直线方程. 为所求直线的方向向量. 132垂 ) 1,3,2(nn例例3. 求过点(1,2 , 4) 且与平面机动 目录 上页 下页 返回 结束 )1 ,2, 1(a,11231:

6、1zyxlil设直线解：解：,2上在因原点lo12:2zyxl相交,求此直线方程 .的方向向量为过 a 点及 的平2l面的法向量为则所求直线的方向向量方法方法1 利用叉积. ),2, 1( isi, n,1nss所以oasn2121112kjikji333一直线过点 且垂直于直线 又和直线例例4.noa2l2s机动 目录 上页 下页 返回 结束 设所求直线与的交点为512231zyx12000zyx0000,2yzyx待求直线的方向向量方法方法2 利用所求直线与l2 的交点 .即故所求直线方程为 2l),(000zyxb则有2l) 1 , 2 , 1 (anss1333123kji)523(3

7、kji),(000zyxb机动 目录 上页 下页 返回 结束 0) 1()2(2) 1(3000zyx78,716,78000zxy512231zyx0000,2yzyx将代入上式 , 得由点法式得所求直线方程而) 1, 2, 1(000zyxab)5,2,3(731l)715,76,79(ab2l) 1 , 2 , 1 (a),(000zyxb机动 目录 上页 下页 返回 结束 平面束平面束01111dzcybxa02222dzcybxa设有两不平行平面：机动 目录 上页 下页 返回 结束 1：2：则交线方程为xyzo1 2 ll01111dzcybxa02222dzcybxa1111222

8、2()0,(3)a xb yc zda xb yc zd三元方程：机动 目录 上页 下页 返回 结束 111222,a b ca b c与121212,aa bb cc对于任意的不成比例.所以，对任意，不全为零. 从而（3）表示一个平面.11112222111122220,(1):0,(2)()0,(3)a xb yc zdla xb yc zda xb yc zda xb yc zd机动 目录 上页 下页 返回 结束 在l上任取一点p，则p点的坐标同时满足(1),(2)两个平面方程，因此也满足方程(3).所以，方程是(3)通过l的平面.反之，通过直线l的任意平面(2)除外)均包含在由方程(3

9、)所表示的平面族内.11112222111122220,(1):0,(2)()0, (3)a xb yc zdla xb yc zda xb yc zda xb yc zd通过直线l的所有平面的全体称为平面束.方程（3）就是通过l的平面束方程.实际上,该平面束缺少了一个平面，就是平面(2).方程(3)可改写成：12121212()()()()0,(4)aa xbbycczdd机动 目录 上页 下页 返回 结束 11112222111122220,(1):0,(2)()0,(3)a xb yc zdla xb yc zda xb yc zda xb yc zd12121212()()()()0,

10、(4)aa xbbycczdd例例5 5.求直线0 xyz0 xyz解解: :过直线1010 xyzxyz 1010 xyzxyz 该平面与(1)(1)( 1)( 1)0,(1)xyz 的平面束方程为其中是待定常数，机动 目录 上页 下页 返回 结束 在平面上的投影直线方程.垂直的条件是(1)(1)( 1)0 从而=-1， 将其带入到（1）式的投影方程100yzxyz 1. 空间直线方程空间直线方程一般式对称式参数式0022221111dzcybxadzcybxatpzztnyytmxx000pzznyymxx000)0(222pnm 内容小结内容小结 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,1111111pzznyymxxl：直线0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxl：212121ppnnmm2. 线与线的关系线与线的关系直线夹角公式:),(1111pnms ),(2222pnms 021ss21ll 21/ ll021ss2121cosssss 机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 0dzcybxacpbnam平面 :l l / 夹角公式：0cpbnamsin,pzznyymxx3. 面与线间的关系面与线间的关系直线 l :),(cban ),(pn