第七章 多元函数积分学基础

1、l第一节 二重积分的概念与性质l第二节 二重积分的计算l第三节 二重积分的应用l第四节 数学实验五 用mathematica求偏导和计算二重积分第七章 多元函数积分学基础 在本章中，将把一元函数定积分的概念及其性质推广到多元函数的情形，这就是二重积分、三重积分和曲线积分，积分的范围不再是定积分中x轴上的一个区间，而分别是一个平面区域、一个空间区域与一条曲线.下面首先学习有关二重积分知识.二重积分是本章基础部分，同是也是本章的重点内容.一、实例1.曲顶柱体的体积,( , )( , )0,(7-1)oxyzxoyddzzfx ysf x ydsd 在空间直角坐标系中 以在平面上的有界闭区域 为底

2、以 的边界曲线为准线 母线平行于 轴的柱面为侧面 以表示的曲面 为顶 这里且在 上连续 的几何体称为以曲面 为顶 区域 为底的曲顶住体 见图图7-1 曲顶柱体oxyz( , )zf x yd( , ),f x y由于曲顶柱体的高是变动的 因此它的体积不能直接用公式体积=底面积 高来计算.为此,可采用类似于求曲边梯形面积的方法来研究曲顶柱体的体积123(1),(1,2, ),(1,2, ),(1,2, ).niiidniniinnivin用有限条曲线把闭区域 任意分割为 个小闭区域同时表示第 个小闭区域的面积 再以每个小闭区域为底将曲顶柱体划分为 个小曲顶柱体 其中第 个小曲顶体的体积记为(2)

3、( ,)(72),( ,)iiiiiiip x yvf x y 在每个小闭区域中任取一点见图可以近似地等于以为底 以为高的平顶柱体的体积,即( ,)iiiivf x y1(3)(,),niiiinf x yv 把 个小平顶柱体体积相加得它就是曲顶柱体体积 的近似值 即图7-2 曲顶柱体划分di()iip x y( , )zf x yxyzo1( ,)niiiivf x y11(4),( ,)()0,( ,),niiiiniiiidf x yvnf x yv对闭区域 的分割不断加细加密就越来越近曲顶柱体的体积 .当 个小闭区域的最大直径 指有界闭区域上任意两点的最大距离时的极限就是即01lim(

4、 ,)niiiivf x y2.非均匀薄片的质量,( , )( , ),.dp x yx ym设有一块密度不均匀的薄片在它上面任一点处的面密度为求这块薄片的质量对于面密度均匀的薄片的质量有计算公式质量=面积 面密度,m现在面密度是变量.因此,所求质量 不能直接由上述公式来计算 但因为在很小的区域内面密度变化很小 近似于均匀密度,所以采用划分的方法来计算.123(1),(1,2, ),.niidninim用有限条曲线把闭区域 任意分割为 个小闭区域同时表示第 个小闭区域的面积 其对应质量为(2)( ,),( ,)( ,),iiiiiiiiiip x ymp x yx y在每个小闭区域中任取一点可

5、以近似地等于以为面积 以处密度为的均匀面密度的质量 即( ,)iiiimx y1(3)( ,),niiiinx ym把 块小闭区域的质量近似值相加得它就是非均匀薄片的质量 近似值 即1( ,)niiiimx y11(4),( ,),0,( ,),niiiiniiiidx ymnx ym对闭区域 的分割不断加细加密就越来越接近于薄片的质量当 个小闭区域的最大直径时的极限就是即01lim( ,)niiiimx y,在许多实际问题的研究中 像上面两实例一样 最终都可归为和式极限 所以有必要对这一形式的极限进行讨论 从而抽象出二重积分的定义.二、二重积分的定义1( , )(1,2, ).( ,)( ,

6、),( , )( , )iiniiiiiidf x yddninx yf x yf x ydf x y d义 设是有界闭区域 上的有界函数,将 任意分割为个小闭域同时它也表示其面积在每个小区域上任取一点并做和式若当各个小闭区域的直径中的最大值 趋于零时,这个和式的极限存在,则称此极限为函数在闭区域 上的二重积分,记作,即定01( , )lim( ,)niiiidf x y df x y,( , ),( , ),.f x yf x y ddxyd式中叫作被积函数叫作被积表达式叫作面积元素与 叫作积分变量叫作积分区域( , ),( , ).df x y df x yd如果存在 那么称在区域 上可积

7、根据二重积分的定义,前面两个实例可分别写成二重积分形式如下.( , )vzf x yd曲顶柱体的体积 等于曲顶在其底所在闭区域 上的二重积分( , )dvf x y d( , )mx yd非均匀薄片的质量 等于其密度在面积区域 上的二重积分( , )dmf x y d关于二重积分的定义的几点说明:(1),dxydxyx yddxdyddxdy 因为二重积分的存在与闭区域 的划分方式无关 所以可以用平行于 轴和 轴的直线划分区域这样 每个小区域大体上为小矩形.若把小矩形的边长分别记作则于是面积元素可改写为即并且(2)( , )0,;( , )0,( , )f x yf x yxoyf x yd当

8、被积函数时 二重积分的几何意义是曲顶柱体的体积 当被积函数时 柱体在平面下方二重积分为负值 而二重积分的绝对值仍然为柱体的体积.所以在闭区域上的二重积分的数值都可用它在各个部分区域上的曲顶柱体体积的代数和来表示,这就是二重积分的几何意义.三、二重积分的性质 由于二重积分和定积分都是和式极限,所以它们有着相似的特征,下面给出二重积分的基本性质.质 被积函数中的常数因子可以提到二重积分号外面,即性1( , )( , )ddkf x y dkf x y d质 有限个函数的代数和的二重积分,等于各个函数的二重积分的代数和,例如性2 ( , )( , )( , )( , )dddf x yg x y d

9、f x y dg x y d,dd质 如果闭区域 被有限条曲线为有限个部分闭区域 那么在 上的二重积分等于各个部分区域上的二重积分的和.例如性31212( , )( , )( , ),()dddf x y df x y df x y dddd这一性质表示二重积分对积分区域具有可加性.,( , )1,df x yd质 如果在闭区域 上为 的面积 那么性41dddd,1,.这一性质的几何意义很明显 因为高为的平顶柱体的体积 在数值上就等于柱体的底面积,( , )( , ),df x yg x y质 如果在闭区域 上那么有不等式性5( , )( , )ddf x y dg x y d,特别地由于(

10、, )( , )( , )f x yf x yf x y则又有不等式( , )|( , )|ddf x y df x yd( , ),mmf x ydd质设和 分别为在闭区域 上的最大值和最小值是 的面积,则有不等式性6 ( , )dmf x y dm()( , ),( , )f x yddd 质 二重积分的中值定理 设函数在闭区域 上连续是 的面积 则在 内至少存在一点使得下列等式成立性7( , )( , )df x y df ( , ),. 中值定理的几何意义为:对于任意的曲顶柱体,必存在一个以曲顶柱体的底为底,以过其底上某一点的那条高为高的平顶柱体 它的体积等于这个曲顶柱体的体积23()

11、(),1.ddxy dxy ddxyxy 比较二重积分与其中 由 轴轴及直线围成例12373,01,()() ,dxyxyxy 如图所示 在 上任点有则由性质5得23()()ddxy dxy d解图7-3 例1示意图oxy1xy1d22(1),;01,02.dixyddxy 利用二重积分的性质估计积分的值其中 是矩形闭区域例222116,2,6dxyd 因为在 上有而 的面积为所以由性质可得22(1)12dxyd2解思考题1.,0 ;二重积分的几何意义是什么? 其中df x y df x,y答案2.,1.,已知则的值为多少?df x yf x y d答案3.应用对称性计算二重积分时应注意些什么

12、?答案课堂练习题2lnln.1.根据二重积分性质比较积分与( 是矩形闭区域35,01)的大小ddxy dxyddxy答案2.(01,01).利用二重积分的性质估计积分i=是矩形区域的值的范围dxy xy ddxy答案 在实际应用时,用二重积分的定义和性质去计算二重积分是十分复杂和困难的.本节将介绍一种实用的计算方法,此种方法主要是把二重积分的计算化成连续计算的两次定积分,即二次积分.一、在直角坐标系下计算二重积分,( , )0,( , ),( , ).df x yf x y ddf x y由二重积分的几何意义可知 当时的值等于以区域 为底 以曲面为顶的曲顶柱体的体积12( )( ),;(74)

13、dxyx axb设底面区域 为见图10200010200()000()0 , ,(),()(, )()(, ),xxa bxxxxxxzf xya xf xy dyxabxxx 在区间上任意选定一点过该点作垂直于 轴平面截曲顶柱体得一截面 此截面为一个以区间为底以曲线为曲边的曲边梯形(见图7-5),由定积分的几何意义可得截面积因为是 与 之间的任意点 所以把 记为可得在 处的截面面积为图7-4 积分区域ooabd( )2xyabd( )2xyxyxy( )a积分区域( )b积分区域1020()()( )( ,),()xxa xfx y dyaxb由已知平行截面面积计算体积的公式可得曲顶柱体的体

14、积为( )bava x dx21( )( )( , )bxaxf x y dy dx xyzob0 xa1( )yx2( )yx( , )zf x yd图7-5 截面图形,.,( , ),( )( )(),yxyxf x yyyxxxxabyx12 上式表明 计算二重积分时 可以化为先对再对 的二次积分来计算先对 积分时 把 看作常量只看作 的函数 并对计算从到的定积分,然后把计算结果 关于 的函数 再对 计算从 到 的定积分.从而得到把二重积分化为先对再对的二次积分公式为即有21( )( )( , )( , )bbxaaxdf x y ddxf x y dy 21( )( )( , )( ,

15、 )bxaxdf x y dxdydxf x y dy 12,( )( ),(76),dyxy cydxy 类似地 若底面区域 为见图则可得到把二重积分化为先对 再对 的二次积分公式图7-6 积分区域oxycd1( )xyd2( )xyoxycdd1( )xy2( )xy( )a积分区域( )b积分区域21( )( )( , )( , )dycydf x y dxdydxf x y dx关于公式的几点说明:(1),( , )0,(7 10),(711)zf x y 在上述结论中 假设实际上式式的成立不受此条件限制(2),:.dxyddd 应用公式时 积分区域 必须满足以下条件 平行于 轴或轴的

16、直线与区域 的边界曲线的交点不多于两个若不具备此条件,把区域 分成若干小闭区域(见图7-7),使每个小闭区域都能满足上述条件,然后应用公式算得各部分区域上的二重积分,则它们的和就为闭区域 上的二重积分.图8-7 积分区域分割xyo323(3),1,01.dxx yy dxdydxy 计算其中 是矩形闭区域:0例11132332300(3)(3)dxx yy dxdydxxx yy dy ()d画出积分区域见图7-8113224003124x yx yydx13203124xxdxx解图7-8 例1示意图o11xyd,.,yxxyyx在把二重积分化为二次积分时 可以先对

17、 积分 再对 积分 也可以先对 积分 再对 积分当积分区域为矩形时由于两次分限均为常量 所以先对 积分还是先对 积分,在计算时都很方便.但当积分区域为其他形状时,选择积分次序是否恰当将直接影响计算的难易程度.(32 ),2.dxy dxdydxy 计算其中 是由两坐标轴及直线所围成的闭区域例2(79)2,02,dyxx 画出积分区域见图可表示为:0解x图7-9 例2示意oy2xy222200(32 )(32 )xdxy dxdydxxy dy 222003xxyydx220( 224)xxdx2320220433xxx (123 ),:,2 ,2.dxy dxdydyx yxx 计算其中 是由

18、三条直线所围成的区域例3(7 10):2 ,02.dxyxx画出积分区域见图可表示为220(123 )(123 )xxdxy dxdydxxy dy 22203122xxxyydx22230033114422x dxx解o242yxyx2x (2,4)(2,2)2xy710图 例3示意图22(),:2,2.dxyx dxdydyyxyx 计算其中 是由三条直线所围成的区域例4(7 11)d画出积分区域见图:,02.2ydxyy区域 可表示为2222202()()yydxyx dxdydyxyx dx 2322021132yyxy xxdy2320193248yydy22430019116968

19、3yy方法一解图7-11 例4示意图a121xy2yx2y yxdo1212,(712).:2 ,01,:2,12.dd ddxyxxdxyx 区域分成两部分见图表示为表示为方法二图7-12 例4示意图b xy12122yxyx(1,2)(2,2)2y 2d1do22()dxyx dxdy122222()()ddxyx dxdyxyx dxdy1222222201()()xxxdxxyx dydxxyx dy 22122323011133xxxx yyxydxx yyxydx12323201104832333xxdxxxxdx12434320151186333xxxxxx 1513236由此可

20、见,计算时恰当选择积分次序将使运算简便.二、在极坐标系下计算二重积分在计算二重积分时,如果其被积函数和积分区域的边界曲线用极坐标表示比较简单,那么应考虑在极坐标系下进行计算.cossinxryr由极坐标变换公式( ),( , )( cos , sin ),.drrf x yf rrd 积分区域 的边界曲线可化为被积函数可变为下面研究如何用极坐标表示面积元素,.dxyddxdy由于二得积分的值与区域 的划分式无关,因此在直角坐标系中采用了平行于 轴和 轴的直线划分区域 使得面积元素,()( =),(7-13),oddrn 在极坐标系下,可采用相似方法,假设从极点 出发且穿过区域内部的射线与区域

21、的交点不多于两点 用一族以极点为心的同心圆常量 和一族从极点出发的射线常量 将区域分成 个小闭区域 见图这些小闭区域的面积可近似地看作小矩形面积,即713d图 在极坐标系下分割1( )rr2( )rrrrrr ()rrr r drdrd所以面积元素为,这样 就可把直角坐标系下的二重积分化为极坐标系下的二重积分( , )( cos , sin )ddf x y dxdyf rrrdrd,.,.r在计算时 仍然要把它化为二次积分下面介绍先对 积分 再对 积分的方法(1)(7 14),:dd极点在区域 之外 见图这时 闭区域 可表示为图7-14 极点在d之外ab1( )rr2( )rrd12( )(

22、 ),rrr 则有21( )( )( cos , sin )( cos , sin )rrdf rrrdrddf rrrdr(2)(7 15)d极点在区域 的边界上 见图( ),drr 这时,闭区域 可表示为0则有图7-15 极点在边界上rod( )rr(3)(7 16)d极点在区域 之内 见图,:( ),02 ,drr这时 闭区域 可表示为 0则有2( )00( cos , sin )( cos , sin )rdf rrrdrddf rrrdr图7-16 极点在d内dor( )rr( cos , sin )df rrrdrd( )0( cos , sin )rdf rrrdr2222,:4

23、.xydeddxy 计算其中 是圆形区域例52,:re被积函数用极坐标表示为积分区域用极坐标表示为2,02 .r0所以22222200 xyrrddedre ddre dr2220012red224400111(1)222ede4(1)e解222222,:,(0)dxy ddaxybba计算其中 是环形闭区域例6 , r被积函数用极坐标表示为,02 ,rb积分区域用极坐标表示所以222220baddxy dr drddr dr223220011()33bardba d22222012()()33baba解思考题1.重积分化为累次积分后,其上限是否可以小于下限?为什么?答案2.当二重积分的被积函

24、数是绝对值函数时,如何计算它的值?答案,.3.试由二重积分公式写出极坐标系下二重积分公式df x y d答案课堂练习题221.,14. 将二重积分化为极坐标系下二次积分 其 为圆环域df x y ddxy答案2.1,: 22, 11.43计算二重积分dxyddxy 答案二重积分在实际在有着广泛的应用.本节将介绍它在求几何体的体积,平面薄片的质量以及平面薄片的重心等方面的应用.一、体积由二重积分的几何意义可知,曲顶柱体的体积可以用二重积分表示.因此可以利用二重积分计算几何体的体积.2229,(0).xyzz 求半球体的体积例1,(7 17) 由对称性可知 所求体积为它位于第一卦限部分 见图的体积

25、的4倍.解229,zxyxoyd它在第一卦限部分可以看作以为顶 以其在平面投影 为底的曲顶柱体.所以,半球体半体积为2249dvxy dxdy图7-17 例1示意图oxyzd2,.03,0.2rr这时 被积函数用极坐标表示为 9-积分区域用极坐标表示为则32220044dvr rdrddr rdr9-9-333222222000042(9)(9)3dr drrd 9-220042736183d220,0106.xyxyzxyz 求由平面及所围成的柱体被平面及抛物面截得的几何体的体积例2227 18,6,:01,01zxydyxx 如见图所示 该几何体可以看作以为曲顶 以区域为底的曲顶柱体.所以

26、解图7-18 例2示意图zxyod1111123320001417625333xyx yydxxxxdx14320125171733236xxxx11222200(6)(6)xdvxy dxdydxxy dy 求两个截面半径为1dm的圆柱直交时所围成的几何体的体积.例3222211xyxz 如 图 7-19所 示 ,建 立 坐 标 系 ,则 两 个 柱 面 方 程 为和221,:01,01zxdyxx由对称性可知,所求体积为它第一卦限部分的8倍,它在第一卦限部分可以看作以为曲顶 以区域为底的曲顶柱体.所以,所求几何体的体积为解图7-19 例3示意图oxyz21122008181xdvx ddx

27、x dy211122000818(1)xx ydxxdx13201168()33xxdm二、平面薄片的质量d 由第一节引例和二重积分定义可知,平面薄片的质量等于面密度在区域 上的二重积分.因此,可以用二重积分计算平面薄片的质量.222 (0)2,( , )=,dx yxy 设平面薄片所占的闭区域 由螺线与直线 =0及 =围成 它的密度为求这薄片的质量.2例4.d由二重积分的物理意义可知,薄片的质量为面密度在区域 上的二重积分所以( , )dmx y d解,02 ,0,22又因为被积函数用极坐标表示为积分区域为所以( , )dmx y d2200dd ddd 23222000144dd44525

28、04540三、平面薄片的重心.n一个物体可以看作是由 个质点组成的质点系由静力学可知,这个质点第的重心坐标为1111,nniiiiyixinniiiim xm ymmxymmmm,.yxmmmyx式中为质点系质量,与分别为质点第对 轴和 轴的静力矩,( , ),dx y设平面薄片的面积区域为面密度为由二重积分的概念和意义可知( , ),( , ),( , )yxdddmx y dmxx y dmyx y d所以( , ),( , )ddxx y dxx y d( , )( , )ddyx y dyx y d,().,aad特别地 若平面薄片是均匀的 则面密度为常量总质量为为区域 的面积 这时

29、它的重心坐标为11,ddxxdyydaa,.,dd此时 它的重心完全取决于区域 的形状因此 均匀薄片的重心也叫该薄片所点的平面图形 的形心.22( , )( , )=,.dyxyxx yx yx y 设平面薄片所占的闭区域 由抛物线及直线所围成,它在点处的面密度为求此薄片的重心例52:,01,dxyxx如图7-20所示,区域 为所以解图7-20 例5示意图yxod112yxyx13302( , )xyxddmxx y dx yddxx ydy 211325700111222xxx ydxxxdx1680111121648xx22( , )xddmyx y dx y d221122230013x

30、xxxdxx y dyx ydx 115869001111133182754xxdxxx12202xxdmx yddxx ydy 2122012xxx ydx14601122xxdx1570111101435xx3535,4854yxmmxymm故 35 35,.48 54所以该薄片的重心坐标为6xy 求由坐标轴与直线2所围成的三角形均匀薄片的形心.例6:062 ,039.dyxxa 如图7-21所示,其区域 为图形面积所以36 200119xdxxddxxdya 解图7-21 例6示意图od26xy63xy36 20019xxydx3201(62)9xx dx3230123193xx36 2

31、00119xdyyddxydya 6 232001192xydx3201(18 122)9xx dx323012186293xxx,(1,2).所以 所求薄片的形心坐标为思考题1.利用二重积分求体积的根据是什么?答案2.均匀薄板的质量是如何用二重积分表示的?答案3.熟悉定积分递推公式,并牢记.答案课堂练习题,1,0,.yx xy 1.设薄片所占的闭区域d是由 = 2所围成 求该均匀薄片的质量答案22222212.11,.选用适当的坐标表示积分是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域 并且将其化为二次积分dxyddxyxy答案一、学习mathematica命令 mathematica的求多元

32、函数的偏导数命令与前面学习的求一元函数的导数命令一样，调用格式为(x,y,z),x( , , )(x,y,z),x,y,x,( , , )xxyzffx y zffx y zd 求d 求高阶偏导数 mathematic求二重积分的命令与前面学习的求定积分的命令一样,调用格式为integrate f(x,y),x,a,b,y,c,b( , )bdacdxf x y dy 求二重积分二、偏导数计算2sin2zxy 求的偏导数.例1解in1:=dx2*sin2y,xout1=2xsiny2in2:=dx2*sin2y,yout2=2x cos2y2222332322331,.zzzzzzx yxyxyxy xx yyx 设求及例2解2in3:=dx3*y2-3x*y3-x*y+1,x,xout3=6xy22in4:=dx3*y2-3x