635函数展开为幂级数11

1、1泰勒泰勒)(taylor公式公式 设)(xf在点x 的某一邻域内具有直到) 1( n阶的导数，则在该邻域内有2)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf )()(! )()(xrxxnxfnnn其中1) 1()(! ) 1()()(nnnxxnfxr（xx 与介于之间） 。复复 习习2 2. .麦麦克克劳劳林林( (maclaurin) )公公式式 在上式中令0 x，得： 2! 2)0()0()0()(xfxffxf )(! )0()(xrxnfnnn， 1) 1(! ) 1()()(nnnxnfxr（x与介于0之间） 。6 63 35 5 函数展开为幂级数函数展开为幂级数一、泰勒一

2、、泰勒)(taylor级数级数 前面讨论了幂级数的收敛域及其和函数的性质，下面讨论相反的问题，即给定函数)(xf，是否能找到这样一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定函数，若能找到这样的幂级数，则称函数)(xf在该区间内能展开成幂级数。定义定义 设)(xf在点x的某邻域内具有任意阶导数，则称幂级数nnnxxnxf)(! )()(0为)(xf在点x处的泰勒级数泰勒级数，记为)(xfnnnxxnxf)(! )()(0。)(xf在点0 x处的泰勒级数，称为)(xf的麦克劳林级数麦克劳林级数记为)(xfnnnxnf! )0()(0。 当函数)x(f在ox的某邻域内具有任意阶导数时，其在ox处

3、的泰勒级数是否收敛？若收敛，是否一定以)x(f为和函数？对此，有如下定理：定定理理 设)(xf在x的某邻域)(xn内具有任意阶导数， 则)(xf在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要 条件是)(xf在x处的泰勒公式的余项)(xrn满足 0)(limxrnn，)(xnx。证明:设)(xf在x处的某邻域)(xn内能展开成泰勒级数，即 0)()(!)()(nnnxxnxfxf， )(xnx nnnxxnxfxxxfxfxs)(! )()()()()(1。 则)()()(1xrxsxfnn。)(xf在x处的泰勒公式为)()(!)()()()()(xrxxnxfxxxfxfxfnnn )(xnx)(xf在

4、x处的泰勒级数在)(xnx内收敛于)(xf )()(lim1xfxsnn 0)()(lim)(lim1xsxfxrnnnn.定理成立。 )(xfnnnxxnxf)(!)(0，)(xnx称为)(xf在x处的泰泰勒勒展展开开式式。 当0 x时，得)(xf的麦克劳林展开式麦克劳林展开式： nnxnfxfxffxf!)0(! 2)0()0()0()()(2，)0(nx。二、二、函数展开为幂级数函数展开为幂级数1 1直接展开法直接展开法把)(xf展开成x的幂级数，其步骤如下：（1）求出)0()(nf， , 2 , 1 , 0n（2）写出)(xf的maclaurin级数 nnxnfxfxff!)0(!2)

5、0()0()0()(2， 并求出其收敛半径 r 和收敛域 b；（3）求出1) 1(! ) 1()()(nnnxnfxr（x与在0之间） ，bx；（4）若0)(limxrnn，则 nnxnfxfxffxf!)0(!2)0()0()0()()(2，bx。例 1将函数xexf)(展开成的x幂级数。解： （1）xnexfxfxfxf )()()()()( ， 1)0()0()0()0(0)( effffn， （2）xe的maclaurin级数为 ! 3! 2132nxxxxn, ) ,(x.（3）1)!1()(nnxnexr， （在 0 与x之间） 。)!1()!1()(11nxexnexrnxnn，

6、xe相对于 n 是一个常数，又级数11)!1(nnnx收敛，0)!1(lim1nxnn， 0)(limxrnn，从而0)(limxrnn，) ,(x.（4） ! 3! 2132nxxxxenx ，) ,(x.解： （1）), 2, 1( , )2sin()()(nnxxfn，,0)0(, 1)0(,0)0( fff,0)0(, 1)0()4( ff （2）xsin的maclaurin级数为! ) 12() 1(! 7! 5! 3121753nxxxxxnn ，) ,(x.例 2.将函数xxfsin)(展开成的 x幂级数。（4）! ) 12() 1(!7! 5! 3sin121753nxxxxx

7、xnn) ,(x.（3）122)!12(2) 12(sin)(nnxnnxr（在 0 与x之间） 。 )!12()(122nxxrnn， 而级数112)!12(nnnx收敛，0)!12(lim12nxnn，0)(lim2xrnn，从而0)(lim2xrnn，) ,(x.2 2间接展开法间接展开法 利用已知函数的幂级数展开式，经过适当的运算（如四则运算、变量代换，逐项求导、逐项积分等） ，求出所给函数的幂级数展开式的方法称为间接展开法。例 3将函数xxfcos)(展开成幂级数例 4将函数)1ln()(xxf展开成的 x幂级数。例 5.将函数xxfarctan)(展开成x的幂级数。例 6将函数22

8、2)(xxxxf展开成 x 的幂级数。例 7将xxfln)(展开成2x的幂级数。例 8将函数xxf2sin)(展开成 x 的幂级数。四四、几几个个常常用用函函数数的的幂幂级级数数展展开开式式! 3! 2132nxxxxenx ， ) ,(x；! ) 12() 1(! 3sin1213nxxxxnn ， ) ,(x； ! )2() 1(! 21cos22nxxxnn ， ) ,(x；nxxxxnn 12) 1(2)1ln(， x（1，1 2) 1(! 211)1 (xmmmxxm nxnmmmmn) 1()2)(1(!1 ，x（1，1） 此式称为二项式展开式二项式展开式，右端的级数称为二项式级数

9、二项式级数。其端点的敛散性与m有关。 例如当0m时，收敛区间为1，1， 当01m时，收敛区间为（1，1。特殊情况：特殊情况： 当21m时，4328642531642314212111xxxxx) 11(x 当21m时，43286427531642531423121111xxxxx) 11( !)!2(!)!12() 1(11xxnnnnn例 9将函数xxfarcsin)(展开成的 x幂级数。例10将函数 展开成x的幂级数 )1ln()(2xxxf例 11将)321ln()(2xxxf展开成x的幂级数。例 12将函数xxfsin)(展开成)4(x的幂级数。 解：! ) 12() 1(! 7! 5

10、! 3sin12753nxxxxxxnn， ) ,(x.例 3将函数xxfcos)(展开成幂级数 逐项求导得： ! )2() 1(! 6! 4! 21cos2642nxxxxxnn， ) ,(x.解：xxf11)(，而x11=nnxxxx) 1(132，) 11(x. 上述展开式对1x也成立，这是因为上式右端的幂级数当1x时收敛，而)1ln(x在1x处有定义且连续。当1x时，有11) 1(41312112lnnn 。1) 1(432)1ln(1432nxxxxxxnn ) 11(x.例 4将函数)1ln()(xxf展开成的 x幂级数。将上式从x 0到逐项积分，得例 5.将函数xxfarctan

11、)(展开成x的幂级数。 解：211)(arctanxx221642) 1(1nnxxxx， ) 1 , 1(x.dttxx 0 2110arctanarctan12) 1(753121753nxxxxxnn， 1 , 1x.12) 1(753arctan121753nxxxxxxnn， 1 , 1x.例 6将函数222)(xxxxf展开成 x 的幂级数。解：)21 (21)1 (131.)2)(1 (2)(2222xxxxxxxxxxf， 011nnxx， ) 11(x，002) 1()2(211nnnnnnxxx，)22(x，2) 1(213)(002nnnnnnxxxxf20121) 1(

12、1 31nnnnx，) 11(x。例 7将xxfln)(展开成2x的幂级数。解：)221ln(2ln)221 (2ln)22ln(lnxxxx 11) 1()1ln(nnnnxx， （11x） 112)2() 1(2lnlnnnnnnxx，（1221x） 即（40 x） 。例 8将函数xxf2sin)(展开成 x 的幂级数。 解法解法 1：xxxxf2cos2121)2cos1 (21sin)(2， ! )2() 1(cos20nxxnnn ，) ,(x. 022! )2(2) 1(2121)(nnnnnxxf nnnnxn21121 ! )2(2) 1(，) ,(x。解解法法 2：xxxf2

13、sin)(sin)(2112121! ) 12(2) 1(nnnnnx，) ,(x。 12121! )2(2) 1()(nnnnnxxf，) ,(x。问：如何将) 1, 0()(aaaxfx展开成x的幂级数？解：211)(arcsin)(xxxf，而2x118642864275316425314231211xxxx) 11(xxxfarcsin)(9753986427531764253154231321xxxxx例 9将函数xxfarcsin)(展开成的 x幂级数。) 11( ) 12( !)!2(!)!12() 1(1121xxnnnxnnn解：2211 )1ln()(xxxxf， 而nnx

14、nnxxx242212!)!2(!)!12() 1(4221211)1 () 11( !)!2(!)!12() 1(112xxnnnnn，dxxnnxxxxfnxnn1022!)!2(!)!12() 1()1ln()(112) 12( !)!2(!)!12() 1(nnnxnnnx，) 11(x。例10将函数 展开成x的幂级数 )1ln()(2xxxf例 11将)321ln()(2xxxf展开成x的幂级数。解：)31ln()1ln()31)(1ln()(xxxxxf， 11) 1()1ln(nnnnxx， （ 11x） 。1113)3() 1()31ln(nnnnnnxnnxx， （ 3131x） 。11123) 1()321ln()(nnnnnnxnnxxxxf nnnnxn11 3) 1(， （ 3131x） 。问：如何将)1ln()(2xxxf展开成x的幂级数？例 12将函数xxfsin)(展开成)4(x的幂级数。解