高中数学人教A版选修11教学案：第一章 1.4 全称量词与存在量词 Word版含答案

1、起核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材 p21p25的内容，回答下列问题(1)观察教材 p21“思考”中的 4 个语句：这 4 个语句中是命题的有哪几个？提示：(1)(2)不是命题；(3)(4)是命题语句(3)和语句(1)之间有什么关系？提示：语句(3)在语句(1)的基础上，用短语“对所有的”对变量 x 进行限定语句(4)和语句(2)之间有什么关系？提示：语句(4)在语句(2)的基础上，用短语“对任意一个”对变量 x 进行限定(2)观察教材 p22“思考”中的 4 个语句：这 4 个语句都是命题吗？提示：(1)(2)不是命题；(3)(4)是命题语句(3)和语句(1)之间有什么关系

2、？提示：语句(3)在语句(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量 x 的取值进行限定语句(4)和语句(2)之间有什么关系？提示：语句(4)在语句(2)的基础上，用“至少有一个”对变量 x 的取值进行限定(3)写出教材 p24“探究”中三个命题的否定提示：命题(1)的否定：存在一个矩形不是平行四边形；命题(2)的否定：存在一个素数不是奇数 ；命题(3)的否定：x0r，x202x017dxm，p(x)成立解析：选 bb 选项中有存在量词“存在”，故 b 项是特称命题，a 和 c 不是命题，d是全称命题2判断下列命题是全称命题还是特称命题：(1)负数没有对数；(2)至少有一个整数，它既能被 2 整除

3、，又能被 5 整除；(3)xx|x 是无理数，x2是无理数；(4)x0z，log2x00.解：(1)和(3)为全称命题(2)和(4)为特称命题思考 1如何判定一个全称命题的真假？名师指津： 要判定一个全称命题是真命题， 必须对限定集合 m 中的每个元素 x 验证 p(x)成立；但要判定一个全称命题是假命题，只要能举出集合 m 中的一个 xx0，使得 p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)思考 2如何判定一个特称命题的真假？名师指津：要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合 m 中，找到一个 xx0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题讲一讲2(1)下列命题中的

4、假命题是()ax0r，lg x00bx0r，tan x01cxr，x30dxr，2x0(2)判断下列命题的真假：任意两向量 a，b，若 ab0，则 a，b 的夹角为锐角；x0，y0为正实数，使 x20y200；在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点 p.尝试解答(1)当 x0 时，x30，故选项 c 为假命题(2)因为 ab|a|b|cosa，b0，所以 cosa，b0，又 0a，b，所以0a，b12；(2)0，0，使 cos(00)cos0cos0；(3)x，yn，都有 xyn.解：(1)真命题因为 x2x112x12214140.所以 x2x112恒成立(2)真命题例如，0

5、4，02，符合题意(3)假命题例如，x1，y5，xy4n.讲一讲3写出下列命题的否定，并判断其真假(1)p：xr，x2x140;(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：x0r，x204x060；(4)s：至少有一个实数 x，使 x310.尝试解答(1)：x0r，x20 x0140，真命题(4)：xr，x310，假命题因为 x1 时，x310.(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再

6、依据规则来写出命题的否定练一练4判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出这些命题的否定：(1)有一个奇数不能被 3 整除；(2)xz，x2与 3 的和不等于 0；(3)有些三角形的三个内角都为 60；(4)每个三角形至少有两个锐角；(5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线解：(1)是特称命题，否定为：每一个奇数都能被 3 整除(2)是全称命题，否定为：x0z，x20与 3 的和等于 0.(3)是特称命题，否定为：任意一个三角形的三个内角不都为 60.(4)是全称命题，否定为：存在一个三角形至多有一个锐角(5)是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”

7、，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线讲一讲4若命题“x1，)，x22ax2a”是真命题，求实数 a 的取值范围尝试解答法一：由题意，x1，)，令 f(x)x22ax2，则 f(x)a 恒成立，所以 f(x)(xa)22a2a 可转化为x1，)，f(x)mina 恒成立，而x1，)，f(x)min2a2，a1，（1a）22a2，a0，a1，f（1）0，即2a1 或3af(x)(或 af(x)max(或 af(x0)(或 af(x)min(或 af(x)max)练一练5若存在 x0r，使 ax202x0a0，求实数 a 的取值范围解：当 a0 时，显然存在 x0r，使 ax202

8、x0a0 时，需满足44a20，得1a1，故 0a0c任意无理数的平方必是无理数d存在一个负数 x，使1x2解析：选 a只有 a，c 两个选项中的命题是全称命题；且 a 显然为真命题因为 2是无理数，而( 2)22 不是无理数，所以 c 为假命题2以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()a锐角三角形的内角是锐角或钝角b至少有一个实数 x，使 x20c两个无理数的和必是无理数d存在一个负数 x，使1x2解析：选 ba 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；b 中 x0 时，x20，所以 b 既是特称命题又是真命题；c 中因为 3( 3)0，所以 c 是假命题；d 中对于任一个负数 x，都有

9、1x0，所以 d 是假命题3有下列四个命题：xr，2x23x40；x1，1，0，2x10；x0n，使 x20 x0；x0n*，使 x0为 29 的约数其中真命题的个数为()a1b2c3d4解析：选 c对于，这是全称命题，由于(3)24240恒成立，故为真命题；对于，这是全称命题，由于当 x1 时，2x10 不成立，故为假命题；对于，这是特称命题，当 x00 或 x01 时，有 x20 x0成立，故为真命题；对于，这是特称命题，当 x01 时，x0为 29 的约数成立，所以为真命题题组 2全称命题、特称命题的否定4命题“x0，)，x3x0”的否定是()ax(，0)，x3x0bx(，0)，x3x0

10、cx00，)，x30 x00dx00，)，x30 x00解析：选 c全称命题：x0，)，x3x0 的否定是特称命题：x00，)，x30 x00b不存在 xz，使 x22xm0cxz，使 x22xm0dxz，使 x22xm0解析：选 d特称命题的否定为全称命题，否定结论故选 d.6命题 p：“有些三角形是等腰三角形”，则是()a有些三角形不是等腰三角形b所有三角形是等边三角形c所有三角形不是等腰三角形d所有三角形是等腰三角形解析：选 c在写命题的否定时，一是更换量词，二是否定结论更换量词：“有些”改为“所有”，否定结论：“是等腰三角形”改为“不是等腰三角形”，故为“所有三角形不是等腰三角形”故选

11、 c.7 命题“xr， 使得 x22x50”的否定是_解析：“xr，使得 x22x50”的否定为“xr，使得 x22x50”答案：xr，使得 x22x50题组 3全称命题、特称命题的应用8已知命题“x0r，2x20(a1)x0120”是假命题，则实数 a 的取值范围是_解析：由题意可得“对xr，2x2(a1)x120 恒成立”是真命题，令(a1)240，得1am(x21)，q：x0r，x202x0m10，且 pq 为真，求实数 m 的取值范围解：由命题 p 为真可知 2xm(x21)恒成立，即 mx22xm0 恒成立，所以m0，44m20，解得 m1.由命题 q 为真可得44(m1)0，解得

12、m2，因为 pq 为真，所以 p 真且 q 真，所以由m1，m2，得2m1，所以实数 m 的取值范围是2，1)能力提升综合练1已知命题 p：x1，x2r，(f(x2)f(x1)(x2x1)0，则是()ax1，x2r，(f(x2)f(x1)(x2x1)0bx1，x2r，(f(x2)f(x1)(x2x1)0cx1，x2r，(f(x2)f(x1)(x2x1)0dx1，x2r，(f(x2)f(x1)(x2x1)0解析：选 c命题 p 的否定为“x1，x2r，(f(x2)f(x1)(x2x1)0c若 lg x20，则 x1dx0z，使 14x03解析：选 ba 中，若 sin asin b，不一定有 a

13、b，故 a 为假命题，b 显然是真命题；c 中，若 lg x20，则 x21，解得 x1，故 c 为假命题；d 中，解 14x3 得14x34，故不存在这样的 x0z，故 d 为假命题3已知命题 p：xr，2x22x120，则下列结论成立的是()解析：选 df(x)x2bxcxb22cb24，对称轴为 xb20，所以 f(x)在0，)上为增函数，命题 p 是真命题令 x04z，则 log2x020，所以命题 q 是真命题，为假命题，p()为真命题故选 d.5命题 p：x0r，x202x050 是_(填“全称命题”或“特称命题”)，它是_命题(填“真”或“假”)，它的否定为：_解析：命题 p：x

14、0r，x202x050 恒成立，所以命题 p 为假命题，命题 p 的否定为：xr，x22x50.答案：特称命题假xr，x22x506已知 a0，函数 f(x)ax2bxc.若 x0满足关于 x 的方程 2axb0，则下列四个命题中假命题的序号是_xr，f(x)f(x0)；xr，f(x)f(x0)；xr，f(x)f(x0)；xr，f(x)f(x0)解析：由题意：x0b2a为函数 f(x)图象的对称轴方程，所以 f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数 x，都有 f(x)f(x0)，因此xr，f(x)f(x0)是错误的答案：7已知 p：存在实数 x，使 4x2xm10 成立，若是假命题，求实数 m

15、 的取值范围解：为假命题，p 为真命题即关于 x 的方程 4x2xm10 有解由 4x2xm10，得 m2x12x2x12x2.即 m 的取值范围为(，28已知 p：“x1，2，x2a0”，q：“x0r，使 x202ax02a0”若命题“p 且 q”是真命题，求实数 a 的取值范围解：p 为真时，x2a0，即 ax2.x 1，2时，上式恒成立，而 x21，4，a1.q 为真时，(2a)24(2a)0，即 a1 或 a2.p 且 q 为真命题，p，q 均为真命题a1 或 a2.即实数 a 的取值范围是a|a1 或 a2.命题真假的判断是高考命题的重要内容之一， 是高考的热点题型 这类题一般涉及一

16、般命题真假的判断、含有逻辑联词的命题真假的判断、含有量词的命题真假的判断、命题的四种形式的真假的判断等 并且这些内容一般不会单独命题， 往往与其他相关的数学知识结合起来进行考查，且主要以选择题、填空题的形式进行考查典例 1(1)已知命题 p：函数 f(x)2sin2x3 的图象关于 x6对称，命题 q：函数 f(x)2sin2x3 向右平移6个单位，所得函数图象关于原点对称，则下列选项中是假命题的是()(2)下列命题中是假命题的是()ax0，2 ，xsin xbx0r，sin x0cos x02cxr，3x0dx0r，lg x00解析：(1)f6 2sin23 32，f(x)的图象不关于 x6

17、对称故 p 为假命题平移后所得函数为 y2sin2x6 32sin 2x，易知此函数为奇函数，函数图象关于原点对称，q 为真命题()()为假命题(2)根据三角函数的定义和三角函数线，可以证明：当 x0，2 时，xsin x故选项 a为真命题；对 xr，sin xcos x 2sinxx4 2， 2，因此不可能存在 x0r，使sin x0cos x02，故选项 b 为假命题；因为指数函数的值域为(0，)，所以对xr，3x0，故选项 c 为真命题；当 x01 时， lg x0lg 10，故选项 d 为真命题答案：(1)d(2)b对点训练1给出以下命题，其中为真命题的是_函数 yax(a0，a1)与

18、函数 ylogaax(a0，a1)的定义域相同；若函数 ysin(2x)的图象关于 y 轴对称，则2；函数 y(x1)2与 y2x1在区间0，)上都是增函数；若不等式|x4|0.解析：因为 ylogaaxx，其定义域为 r，与 yax的定义域相同，所以为真命题；若函数 ysin(2x)的图象关于 y 轴对称，则应有2k(kz)，不一定总有2，故为假命题；函数 y(x1)2在区间0，)上不是增函数，所以为假命题；因为|x4|的最小值等于 0，所以当 a0 时，不等式|x4|a 的解集为空集，因此当不等式|x4|0，故为真命题答案：1.充分条件、必要条件的判断问题，在高考试题中几乎是每年都考，也是

19、近几年高考的一个热点题型，一般以选择题、填空题的形式进行考查，并且与其他数学知识的考查融合在一起因此必须准确地理解充分条件、必要条件、充要条件的含义，并能判断所给条件是结论的何种条件，还要能够利用充要条件解决问题，例如寻求某个结论的充要条件、求参数的取值范围等2命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：(1)充分不必要条件，即 pq，而 qp.(2)必要不充分条件，即 pq，而 qp.(3)充要条件，既有 pq，又有 qp.(4)既不充分也不必要条件，既有 pq，又有 qp.3充分条件与必要条件的判断(1)直接利用定义判断： 即“若 pq 成立， 则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的

20、必要条件” (条件与结论是相对的)(2)利用等价命题的关系判断：“pq”的等价命题是“”即“若”成立，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件 p 和结论 q 都是集合，那么若 pq，则p 是 q 的充分条件；若 pq，则 p 是 q 的必要条件；若 pq，则 p 是 q 的充要条件典例 2(1)在abc 中，角 a，b，c 所对应的边分别为 a，b，c，则“ab”是“sinasin b”的()a充要条件b充分不必要条件c必要不充分条件d既不充分也不必要条件(2)集合 ax|x|4，xr，bx|x5”是“ab”的()a充分不必要条件b必要不

21、充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件(3)“关于 x 的不等式 x22axa0 的解集为 r”的一个必要不充分条件是()a0a1b0a13c0a1da13解析：(1)由正弦定理，知 ab2rsin a2rsin b(r 为abc 外接圆的半径)sin asin b故选 a.(2)ax|x|4，xrax|4x4，所以 aba4，而 a5a4，且a4a5，所以“a5”是“ab”的充分不必要条件(3)要使不等式 x22axa0 的解集为 r，应有(2a)24a0，即 4a24a0，所以0a0 的解集为 r”的充要条件，因此一个必要不充分条件是 0a1.答案：(1)a(2)a(3)c对点训练2设

22、ar，则“a1”是“函数 f(x)(a1)x2(a21)x1 为偶函数”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件解析：选 a当 a1 时，f(x)1 是偶函数；但当 f(x)(a1)x2(a21)x1 为偶函数时，有 a210，故 a1.因此“a1”是“函数 f(x)(a1)x2(a21)x1 为偶函数”的充分不必要条件3给定两个命题 p，q，若是 q 的必要不充分条件，则 p 是綈 q 的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件解析：选 a因为是 q 的必要不充分条件，所以是 p 的必要不充分条件，即 p是的充分不必要条件4已知向量

23、a(x1，2)，b(2，1)，则 ab 的充要条件是()ax12bx1cx5dx0解析：选 d由 ab 知 ab0，即 2(x1)20，所以 x0；而当 x0 时，a(1，2), b(2，1)，必有 ab.所以 ab 的充要条件是 x0.1.设命题 p 为真，对应的参数取值范围的集合为 a，则命题 p 为假的集合为ra.设命题 q 为真，对应的参数取值范围的集合为 b，则命题 q 为假的集合为rb.2已知命题中含有逻辑联结词时，应结合真值表，由复合命题的真假性推出其中的命题 p，q 的真假，再建立参数应满足的不等式(组)求得取值范围3由全称命题或特称命题的真假求参数范围时，要对问题进行转化，借

24、助恒成立问题、存在性问题的求解策略进行求解典例 3若命题 p：xr，ax24xa2x21 是真命题，则实数 a 的取值范围是()aa3 或 a2ba2ca2d2a0，164（a2） （a1）0，即a2，a2a60，解得 a2.典例 4已知 a0，a1，设命题 p：函数 yloga(x3)在(0，)上单调递减，命题q：函数 yx2(2a3)x1 的图象与 x 轴交于不同的两点如果 pq 真，pq 假，求实数a 的取值范围解：对于命题 p：当 0a1 时，函数 yloga(x3)在(0，)上单调递增若 p 为真命题，则 0a1.对于命题 q：若函数 yx2(2a3)x1 的图象与 x 轴交于不同的

25、两点，则(2a3)240，即 4a212a50，解得 a52.a0，若 q 为真命题，则 0a52.若 q 为假命题，则12a1 或 1a52.pq 为真，pq 为假，p 与 q 一真一假若 p 真 q 假，则0a1，12a1 或 1a52，解得12a1，0a52，解得 a52.综上所述，实数 a 的取值范围是12，152，.对点训练5设集合 ax|2ax0，命题 p：1a，命题 q：2a.若 pq 为真命题，pq 为假命题，求 a 的取值范围解：若 p 为真命题，则2a11.若 q 为真命题，则2a22.依题意，得 p 假 q 真，或 p 真 q 假，即02或a1，0a2，解得 10.求实数

26、 p 的取值范围解：在区间1，1上至少存在一个实数 c，使得 f(c)0 的否定是在1，1上的所有实数 x，都有 f(x)0 恒成立又由二次函数的图象特征可知，f（1）0，f（1）0，即42（p2）2p2p10，42（p2）2p2p10，即p1 或 p12，p32或 p3.p32或 p3.故 p 的取值范围是3，32 .一、选择题1 “1x2”是“x2”成立的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件解析：选 a“1x2”可以推得“x2”，即满足充分性，但由“x2”得不出“1x1 000，则为()ann，2n1 000bnn，2n1 000cnn，2n1 000dnn

27、，2nb，则1a1b，若2x0，则(x2)(x3)0，则下列说法正确的是()a的逆命题为真b的逆命题为真c的逆否命题为真d的逆否命题为真解析：选 d的逆命题为若1ab，若 a2，b3，则不成立故 a 错；的逆命题为若(x2)(x3)0，则2x0 是假命题，故 b 错；为假命题，其逆否命题也为假命题，故 c 错；为真命题，其逆否命题也为真命题，d 正确5 “sincos”是“cos 20”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件解析： 选acos 20等价于cos2sin20， 即cossin.由cossin可得到 cos 20，反之不成立，故选 a.6已知命题 p

28、：若实数 x，y 满足 x3y30，则 x，y 互为相反数；命题 q：若 ab0，则1a1b.下列命题 pq，pq，中，真命题的个数是()a1b2c3d4解析：选 b易知命题 p，q 都是真命题，则 pq，pq 都是真命题，是假命题7 “a0”是“方程 ax210 至少有一个负根”的()a必要不充分条件b充分不必要条件c充要条件d既不充分也不必要条件解析：选 c方程 ax210 至少有一个负根等价于 x21a有实根，故 a2”是“x23x20”的充分不必要条件解析：选 c选项 c 中，pq 为真，则 p，q 中至少一个为真9已知命题 p：若不等式 x2xm0 恒成立，则 m14；命题 q：在a

29、bc 中，ab 是sin asin b 的充要条件，则()ap 假 q 真b “p 且 q”为真c “p 或 q”为假d假真解析：选 b易判断出命题 p 为真命题，命题 q 为真命题，所以为假，为假结合各选项知 b 正确10f(x)，g(x)是定义在 r 上的函数，h(x)f(x)g(x)， “f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的()a充要条件b充分不必要条件c必要不充分条件d既不充分也不必要条件解析：选 b若 f(x)，g(x)均为偶函数，则 h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x)，所以 h(x)为偶函数若 h(x)为偶函数，则 f(x)，g(x)不一定均为偶函数

30、可举反例说明，如 f(x)x，g(x)x2x2，则 h(x)f(x)g(x)x22 为偶函数11下列命题中不正确的是()aa，br，ananb，有an是等差数列ba，br，anan2bn，使an是等差数列ca，b，cr，snan2bnc，有an是等差数列da，b，cr，snan2bnc，使an是等差数列解析：选 c显然 a、b 两项正确，当 c0 时，若 snan2bnc，则an不是等差数列；当 c0 时，若 snan2bnc，则an是等差数列，因此 c 项错误，d 正确12有下列命题：“若 xy0，则 x0 且 y0”的否命题；“矩形的对角线相等”的否命题；“若 m1，则 mx22(m1)x

31、m30 的解集是 r”的逆命题；“若 a7是无理数，则 a 是无理数”的逆否命题其中正确的是()abcd解析：选 d的逆命题为“若 x0 且 y0，则 xy0”为真，故否命题为真；的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假；的逆命题为“若 mx22(m1)xm30 的解集为 r，则 m1”当 m0 时，解集不是 r，应有m0，1.是假命题；原命题为真，逆否命题也为真二、填空题13命题“若 al，则 bm”的逆否命题是_解析：逆否命题既否定其条件又否定其结论，然后交换其顺序答案：若 bm，则 al14已知 p：x22x30，q：xn.若“pq”“”都是假命题，则 x 的值组成的集合为_解析：

32、因为“pq”为假， “”为假，所以 q 为真，p 为假故x22x30，xn，即3x1，xn.因此 x 的值可以是 0，1.答案：0，115已知命题 p：mr，m10 恒成立，若 pq为假命题，则实数 m 的取值范围是_解析：因为 pq 为假命题，所以 p，q 中至少有一个为假命题而命题 p：mr，m10 恒成立必定为假命题，所以m2410，解得 m2 或 m2.又命题 p：mr，m10 为真命题，所以 mb，则 2a2b1”的否命题为“若 ab，则 2a2b1”；“任意 xr，x210”的否定是“存在 xr，x21b”是“sin asin b”的充要条件其中正确的命题是_(填序号)解析：“p

33、且 q”为假命题，则 p 和 q 至少有一个是假命题，故错；由否命题和全称命题的否定可知都正确；利用正弦定理可以证明在abc 中， “ab”是“sin asin b”的充要条件是正确的答案：三、解答题17为圆周率，a，b，c，dq，已知命题 p：若 abcd，则 ac 且 bd.(1)写出并判断真假；(2)写出 p 的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假解：(1)：“若 abcd，则 ac 或 bd”因为 a，b，c，dq，又 abcd，所以(ac)dbq，则 ac 且 bd.故 p 是真命题，所以是假命题(2)逆命题：“若 ac 且 bd，则 abcd”真命题否命题：“若 abcd，则 ac 或 bd”真命题逆否命题：“若 ac 或 bd，则 abcd”真命题18写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由(1)q：所有等边三角形都是等腰三角形；(2)r：x0r，x202x020；(3)s：至少有一个实数 x0，使 3x010.解：(1)：至少存在一个等边三角形不是等腰三角形，假命题这是由于原命题是真命题(