高中数学 阶段质量检测二新人教A版必修2

1、阶段质量检测（二）(a卷学业水平达标) (时间120分钟，满分150分)一、选择题(共10小题，每小题6分，共60分)1下列说法不正确的是()a空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形b同一平面的两条垂线一定共面c过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内d过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直答案：d2(浙江高考)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面()a若mn，n，则mb若m，则mc若m，n，n则md若mn，n，则m答案：c3.如图在四面体中，若直线ef和gh相交，则它们的交点一定()a在直线db上b在直线ab上c在直线cb上d都不对答案：a4.

2、如图所示，在正方体abcd­a1b1c1d1中，若e是a1c1的中点，则直线ce垂直于()aacbbdca1dda1d1答案：b5给定下列四个命题：若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中为正确的命题的是()a和 b和 c和d和答案：d6正方体ac1中，e，f分别是dd1，bd的中点，则直线ad1与ef所成角的余弦值是()a. b. c. d.答案：c7在四面体abcd中，已知棱ac的长为，其余各棱长都为1，则二面

3、角a­cd­b的余弦值为()a. b. c. d.答案：c8设，为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列三个说法：若，则；若，l，则l；若l，m，n，l，则mn.其中正确的说法个数是()a3 b2 c1 d0答案：b9如图，四边形abcd中，adbc，adab，bcd45°，bad90°，将abd沿bd折起，使平面abd平面bcd，构成四面体abcd，则在四面体abcd中，下列结论正确的是()a平面abd平面abcb平面adc平面bdcc平面abc平面bdcd平面adc平面abc答案：d10已知平面平面，l，在l上取线段ab4，ac，b

4、d分别在平面和平面内，且acab，dbab，ac3，bd12，则cd的长度为()a13 b. c12 d15答案：a二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11.如图所示，在四棱锥p­abcd中，pa底面abcd，且底面各边都相等，m是pc上的一动点，当点m满足_时，平面mbd平面pcd.(只要填写一个你认为正确的即可)答案：bmpc(其他合理即可)12设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列四个说法：若ab，a，b，则b；若a，则a；若a，则a或a；若ab，a，b，则.其中正确的个数为_答案：313在空间四边形abcd中，adbc2，e，f分别是ab，cd的中点，ef

5、，则异面直线ad与bc所成角的大小为_答案：60°14将正方形abcd沿对角线bd折成直二面角a­bd­c，有如下三个结论acbd；acd是等边三角形；ab与平面bcd成60°的角；说法正确的命题序号是_答案：三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分10分)如图，在梯形abcd中，adbc，abbc，abbc1，pa平面abcd，cdpc，(1)证明：cd平面pac；(2)若e为ad的中点，求证：ce平面pab.证明：(1)pa平面abcd，cd平面abcd，pacd.又cdpc，papcp，cd平面pa

6、c.(2)adbc，abbc，abbc1，bac45°，cad45°，ac.cd平面pac，cdca，ad2.又e为ad的中点，aebc1，ae綊bc，四边形abce是平行四边形，ceab.又ab平面pab，ce平面pab，ce平面pab.16(本小题满分12分)(山东高考)如图，几何体eabcd是四棱锥，abd为正三角形，cbcd，ecbd.(1)求证：bede；(2)若bcd120°，m为线段ae的中点，求证：dm平面bec.证明：(1)取bd的中点o，连接co，eo.由于cbcd，所以cobd，又ecbd，eccoc，co，ec平面eoc，所以bd平面eoc

7、，因此bdeo，又o为bd的中点，所以bede.(2)法一：取ab的中点n，连接dm，dn，mn，因为m是ae的中点，所以mnbe.又mn平面bec，be平面bec，所以mn平面bec.又因为abd为正三角形所以bdn30°，又cbcd，bcd120°，因此cbd30°，所以dnbc.又dn平面bec，bc平面bec，所以dn平面bec.又mndnn，故平面dmn平面bec.又dm平面dmn，所以dm平面bec.法二：延长ad，bc交于点f，连接ef.因为cbcd，bcd120°，所以cbd30°.因为abd为正三角形，所以bad60°

8、;，abc90°，因此afb30°，所以abaf.又abad，所以d为线段af的中点连接dm，由于点m是线段ae的中点，因此dmef.又dm平面bec，ef平面bec，所以dm平面bec.17(本小题满分12分)在四棱锥p­abcd中，abcacd90°，baccad60°，pa平面abcd，e为pd的中点，pa2，ab1.(1)求四棱锥p­abcd的体积v；(2)若f为pc的中点，求证：平面pac平面aef.解：(1)在rtabc中，ab1，bac60°，bc，ac2.在rtacd中，ac2，cad60°，cd2

9、，ad4.s四边形abcdab·bcac·cd×1××2×2.又pa平面abcd，且pa2，v××2.(2)证明：pa平面abcd，pacd.又accd，paaca，cd平面pac.cdpc.e为pd的中点，f为pc的中点，efcd，则efpc.paac2，f为pc的中点，afpc.afeff，pc平面aef.pc平面pac，平面pac平面aef.18(本小题满分12分)如图，正方形abcd和四边形acef所在的平面互相垂直，efac，ab，ceef1.(1)求证：af平面bde；(2)求证：cf平面bde.证明：

10、(1)设ac与bd交于点g.efag，且ef1，agac1，四边形agef为平行四边形所以afeg.eg平面bde，af平面bde，af平面bde.(2)连接fg.efcg，efcg1，且ce1，四边形cefg为菱形cfeg.四边形abcd为正方形，bdac.又平面acef平面abcd，且平面acef平面abcdac，bd平面acef.cfbd.又bdegg，cf平面bde.19(本小题满分12分)如图所示，正方体的棱长为1，bcbco，求：(1)ao与ac所成角的度数；(2)ao与平面abcd所成角的正切值；(3)平面aob与平面aoc所成角的度数解：(1)acac，ao与ac所成的角就是o

11、ac.ocob，ab平面bc，ocab.又abbob，oc平面abo.又oa平面abo，ocoa.在rtaoc中，oc，ac，sinoac，oac30°.即ao与ac所成角的度数为30°.(2)如图所示，作oebc于e，连接ae.平面bc平面abcd，oe平面abcd，oae为oa与平面abcd所成的角在rtoae中，oe，ae ，tanoae.(3)ocoa，ocob，oaobo，oc平面aob.又oc平面aoc，平面aob平面aoc.即平面aob与平面aoc所成角的度数为90°.20(本小题满分12分)如图，在平面四边形abcd中，a90°，b135

12、°，c60°，abad，m，n分别是边ad，cd上的点，且2ammd,2cnnd，如图，将abd沿对角线bd折叠，使得平面abd平面bcd，并连接ac，mn(如图)(1)证明：mn平面abc；(2)证明：adbc；(3)若bc1，求三棱锥a­bcd的体积解：(1)证明：在acd中，2ammd,2cnnd，mnac，又mn平面abc，ac平面abc，mn平面abc.(2)证明：在abd中，abad，a90°，abd45°.在平面四边形abcd中，b135°，bcbd.又平面abd平面bcd，且bc平面bcd，平面abd平面bcdbd，b

13、c平面abd，又ad平面abd，adbc.(3)在bcd中，bc1，cbd90°，bcd60°，bd.在abd中，a90°，abad，abad，sabdab·ad，由(2)知bc平面abd，va­bcdvc­abd××1. (b卷能力素养提升)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(共10小题，每小题6分，共60分)1空间两个角，的两边分别对应平行，且60°，则为()a60° b120°c30° d60°或120°解析：选d由等角定理可知60°

14、;或120°.2已知空间中有三条线段ab，bc和cd，且abcbcd，那么直线ab与cd的位置关系是()aabcdbab与cd异面cab与cd相交dabcd或ab与cd异面或ab与cd相交解析：选d若三条线段共面，如果ab，bc，cd构成等腰三角形，则直线ab与cd相交，否则直线ab与cd平行；若不共面，则直线ab与cd是异面直线3.如图，正方体abcd­a1b1c1d1中，da1与bc1平行；dd1与bc1垂直；bc1与ac所成角为60°.以上三个结论中，正确结论的序号是()ab cd解析：选c错，应为da1bc1；错，两直线所成角为45°；正确，将b

15、c1平移至ad1，由于三角形ad1c为等边三角形，故两异面直线所成角为60°，即正确命题序号为，故选c.4已知l是直线，、是两个不同的平面，下列命题中的真命题()a若l，l，则 b若，l，则l c若l，则l d若l，l，则 解析：选d对于a，若l，l，则或与相交，所以a错；对于b，若，l，则l或l或l或l与相交，所以b错；对于c，若l，则l或l，所以c错；对于d，若l，l，则，由面面垂直的判定可知选项d正确5如图，在四面体abcd中，若截面pqmn是正方形，则在下列命题中，错误的为()aacbdbac截面pqmncacbdd异面直线pm与bd所成的角为45°解析：选cmnp

16、q，由线面平行的性质定理可得mnac，从而ac截面pqmn，b正确；同理可得mqbd，故acbd，a正确；又pmq45°，故d正确6、是三个平面，a、b是两条直线，有下列三个条件：a，b；a，b；b，a.如果命题“a，b，且_，则ab”为真命题，则可以在横线处填入的条件是()a或 b或c或 d只有解析：选c若填入，则由a，b，b，b，又a，则ab；若填入，则由a，a，则a是三个平面、的交线，又b，b，则ba；若填入，不能推出ab，可以举出反例，例如使，b，画一草图可知，此时能有a，b，但不一定ab，有可能异面从而a、b、d都不正确，只有c正确7平面平面a，平面平面b，平面平面c，若a

17、b，则c与a，b的位置关系是()ac与a，b都异面bc与a，b都相交cc至少与a，b中的一条相交dc与a，b都平行解析：选d如图，以三棱柱为模型ab，a，b，a.又a，c，ac.abc.8如下图，将无盖正方体纸盒展开，直线ab，cd在原正方体中的位置关系是()a平行 b相交且垂直c异面 d相交成60°解析：选d还原几何体，如图可知d点与b点重合，abc是正三角形，所以选d.9在一个45°的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成45°，则此直线与二面角的另一个面所成的角为()a30° b45°c60° d90°解析：选a如图

18、，二面角­l­为45°，ab，且与棱l成45°角，过a作ao于o，作ahl于h.连接oh、ob，则aho为二面角­l­的平面角，abo为ab与平面所成角不妨设ah，在rtaoh中，易得ao1；在rtabh中，易得ab2.故在rtabo中，sinabo，abo30°，为所求线面角10如图(1)所示，在正方形abcd中，e、f分别是bc、cd的中点，g是ef的中点，现在沿ae、af及ef把这个正方形折成一个四面体，使b、c、d三点重合，重合后的点记为h，如图(2)所示，那么，在四面体a­efh中必有()aahefh所在

19、平面bagefh所在平面chfaef所在平面dhgefh所在平面解析：选a折成的四面体中有aheh，ahfh，ah平面hef.故选a.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11如图，直四棱柱abcd­a1b1c1d1的底面是边长为1的正方形，侧棱长aa1，则异面直线a1b1与bd1的夹角大小等于_解析：a1b1ab，ab与bd1所成的角即是a1b1与bd1所成的角连接ad1，可知abad1，在rtbad1中，ab1，ad1，tanabd1，abd160°，故a1b1与bd1的夹角为60°.答案：60°12如图，在正三棱柱abc­a1b1c

20、1中，已知ab1，d在棱bb1上，且bd1，则ad与平面aa1c1c所成角的正弦值为_解析：取ac，a1c1的中点e，e1，连接be，b1e1，ee1，由题意知平面bee1b1平面ac1，过d作dfee1于f，连接af，则df平面ac1.daf即为ad与平面ac1所成的角可求得ad，df，sindaf.答案：13设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；若a平面，b平面，则a，b一定是异面直线；若a，b与c成等角，则ab.上述命题中正确的命题是_(只填序号)解析：由公理4知正确；当ab，bc时，a与c可

21、以相交、平行，也可以异面，故不正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故不正确；a，b，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故不正确答案：14给出下列命题：若平面上的直线a与平面上的直线b为异面直线，直线c是与的交线，那么c至多与a，b中一条相交；若直线a与b异面，直线b与c异面，则直线a与c异面；一定存在平面同时和异面直线a，b都平行其中正确的命题为_(写出所有正确命题的序号)解析：中，异面直线a，b可以都与c相交，故不正确；中，直线异面不具有传递性，故不正确；中，过直线b上一点p作aa，则a

22、、b确定一平面，则与该平面平行的任一平面(平面内不包含直线a、b)都与异面直线a、b平行，故正确答案：三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算过程)15.(本小题满分10分)如图所示，在正方体abcd­a1b1c1d1中，e，f分别为cc1，aa1的中点，画出平面bed1f与平面abcd的交线解：在平面aa1d1d内，延长d1f，d1f与da不平行，d1f与da必相交于一点，设为p，则pd1f，pda.又d1f平面bed1f，ad平面abcd，p平面bed1f，p平面abcd.又b为平面abcd与平面bed1f的公共点，连接pb，pb即为平面bed1f与平

23、面abcd的交线如图所示16(本小题满分12分)在右图的几何体中，面abc面defg, bacedg120°，四边形abed是矩形，四边形adgc是直角梯形，adg90°，四边形defg是梯形， efdg，abacadef1，dg2.(1)求证：fg面adf；(2)求四面体 cdfg 的体积解：(1)连接df、af，作dg的中点h，连接fh，eh，efdh，efdhed1，四边形defh是菱形，ehdf，又efhg, efhg，四边形efgh是平行四边形，fgeh，fgdf，由已知条件可知addg，aded，所以ad面edgf，所以adfg.又fg面adf.(2)因为dha

24、c且dhac，所以四边形adhc为平行四边形，所以chad，chad1，由(1)知ad面edgf，所以ch面defg.由已知，可知在三角形def中，edef1，def60°， 所以，def为正三角形，df1，fdg60°，sdeg·df·dg·sinfdg.四面体cdfg·sdfg·ch××1. 17(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥p­abcd中，pa平面abcd，adab，abc是正三角形，ac与bd的交点m恰好是ac的中点，n为线段pb的中点，g在线段bm上，且2.(1)求证：abpd

25、；(2)求证：gn平面pcd.证明：(1)因为pa平面abcd，所以paab.又因为adab，adpaa，所以ab平面pad.又pd平面pad，所以abpd.(2)因为abc是正三角形，且m是ac的中点，所以bmac.在直角三角形amd中，mad30°，所以mdad.在直角三角形abd中，abd30°，所以adbd，所以mdbd.又因为2，所以bggd.又n为线段pb的中点，所以gnpd.又gn平面pcd，pd平面pcd，所以gn平面pcd.18(本小题满分12分)如图，在多面体efabcd中，底面正方形abcd的两条对角线ac与bd相交于点o，且af平面abcd，deaf

26、，abde2，af1. (1)在平面adef内是否存在一点m，使om平面cde？若存在，试确定点m的位置，若不存在，请说明理由； (2)求直线ec与平面bde所成的角. 解：(1)存在点m，且点m为ae的中点时，有om平面cde，证明：当点m为ae的中点时，由于o为正方形abcd的中心，om为aec的中位线，omce ，又om平面cde，ce平面cde，om平面cde.(2)连接eo，四边形abcd是正方形，bdac，af平面abcd，deaf，deac.又bd，de在平面bde内，且相交于d, ac平面bde，ceo为ec与平面bde所成的角，由已知可得，ec2，co，sinceo，ceo30°，所以直线ec与平面bde所成的角为30°.19(本小题满分12分)如图，在三棱柱abc­a1b1c1中，侧棱垂直于底面，abbc，aa1ac2，bc1，e，f分别是a1c1，bc的中点(1)求证：平面abe平面b1bcc1 ；(2)求证：c1f平面abe ；(3)求三棱锥e­a