423一阶线性微分方程1

1、4 4. .2 2. .3 3 一一阶阶线线性性微微分分方方程程 一一阶阶线线性性微微分分方方程程的的一一般般形形式式为为： )()(xqyxpy 其其中中)( ),(xqxp为为连连续续函函数数。 若若0)( xq，则则称称 0)( yxpy 为为一一阶阶线线性性齐齐次次方方程程； 为为一一阶阶线线性性非非齐齐次次方方程程。 若若0)( xq，则则称称 )()(xqyxpy 通通常常称称方方程程为为方方程程所所对对应应的的线线性性齐齐次次方方程程。 （一一）一一阶阶线线性性齐齐次次方方程程的的解解法法 , 0)( yxpy,)(dxxpydy ,)( dxxpydy,)(ln1cdxxpy

2、,1)( cdxxpey即即 dxxpceey)(1， 令令1cec ，得得方方程程的的通通解解： dxxpcey)( 。 例例 1求方程求方程0)2(2 dyxdxxyy满足初始条件满足初始条件 eyx 1的特解。的特解。 将初始条件将初始条件eyx 1代入通解，得代入通解，得1 c， 故故所所求求特特解解为为xexy12 。 通通解解为为： 1ln)12()(222xxdxxxxdxxpcececey ， 即即xecxy12 。 2222121)(xxxxxxp 解：解： 0212 yxxdxdy （二）一阶线性非齐次方程的解法（二）一阶线性非齐次方程的解法 )()(xqyxpy 所所对对

3、应应的的齐齐次次微微分分方方程程为为 0)( yxpy 1常数变易法常数变易法及其导数及其导数 dxxpdxxpexpxcexcy)()()()()( 代入方程，则有代入方程，则有 dxxpcey)(是方程的通解，将是方程的通解，将xc 变易为变易为的的 待定函数待定函数)(xc，猜想，猜想 dxxpexcy)()(是的解。是的解。 将将 dxxpexcy)()( ),()()()()()()()()(xqexcxpexpxcexcdxxpdxxpdxxp ),()()(xqexcdxxp ,)()()( dxxpexqxc)()()( cdxexqeydxxpdxxp cdxexqxcdxx

4、p)()()(， 把代入中，即得方程的通解：把代入中，即得方程的通解： 这种将对应的线性齐次方程通解中的任意这种将对应的线性齐次方程通解中的任意c 常数常数变易变易 为待定为待定)(xc函数函数，再通过，再通过)( xc确定确定来求得线性非齐次来求得线性非齐次 方程通解的方法，称为方程通解的方法，称为常数变易法常数变易法。 一一阶阶线线性性非非齐齐次次方方程程)()(xqyxpy 的的通通解解公公式式为为 )()()( cdxexqeydxxpdxxp 2 2通解公式的结构通解公式的结构 此通解是由两项组成的，一项此通解是由两项组成的，一项 dxxpce)( 是对是对 应的一阶线性齐次方程应的

5、一阶线性齐次方程0)( yxpy的通解，另一项的通解，另一项 dxexqedxxpdxxp)()()( 是原方程是原方程的特解。的特解。 例例 2求求方方程程xyyxsin 的的通通解解。 解解法法 1（常数变易法）（常数变易法） 令令xxcy)( ，则则得得2)()(xxcxxcy ，代代入入原原方方程程得得 xxxxcxxcxxcsin)()()(22 ， xxcsin)( ，cxxc cos)(， 原原方方程程的的通通解解为为)cos(1cxxy 。 xxyxysin1 ，这这是是一一阶阶线线性性非非齐齐次次方方程程。与与它它对对应应 的线性齐次方程的通解为的线性齐次方程的通解为 dxx

6、ecy11 )(1221ccxcxc 方法方法 2（用通解公式法）（用通解公式法）xxyxysin1 ， xxp1)( ， xxxqsin)( ， sin11 cdxexxeydxxdxxsin1 cdxxxxx.cos1cxx 例例 3求方程求方程0)(4 ydxdyyx的通解。的通解。 其中其中 yyp1)( ，3)(yyq ，代入通解公式，得，代入通解公式，得 313131cyycdyeyexdyydyy ， 故原方程的通解为故原方程的通解为cyyx 431。 分析分析：若仍把：若仍把当作自变量当作自变量x，把，把当作当作y未知函数，未知函数， 由于方程中由于方程中4y含有含有，则它不是

7、线性方程，为此，则它不是线性方程，为此， 可把可把yx当作是当作是的函数。的函数。 解：解：dyyxydx)(4 ， 31yxydydx ， 这是一个关于未知函数这是一个关于未知函数)(yxx 的一阶线性非齐次方程，的一阶线性非齐次方程， 令令nyz 1，得，得 )()1()()1(xqnzxpndxdz ， 形如形如 )1 , 0()()( nyxqyxpdxdyn 的方程的方程 称为称为伯努利方程伯努利方程，其中，其中)(xp、 )(xxq为为的连续函数。的连续函数。 （三三）伯伯努努利利)(bernoulli方方程程的的解解法法 除除用用 ny方方程程两两端端，得得到到)()(1xqyx

8、pdxdyynn ， dxdyyndxydnn )1()(1， 有有)()()(1111xqyxpdxydnnn ， 求求出出通通解解后后，再再用用zyn代代替替 1，便便得得伯伯努努利利方方程程的的解解。 例例 4求求方方程程2)(lnyxaxydxdy 的的通通解解。 解解：xayxdxdyyln112 ， 令令1 yz，dxdyydxdz 2，则则得得xazxdxdzln1 ， )ln(11cdxexaezdxxdxx lncdxxxax )(ln22xacx ， 将将1 yz代代入入，得得原原方方程程的的通通解解：1)(ln22 xacxy。 （伯努利方程）（伯努利方程） 解解：把把方

9、方程程yxxydxdy 4改改写写为为 yxyxdxdy 4，这这是是伯伯努努利利方方程程，且且21 n。 例例 5 5求求方方程程yxxydxdy 4的的通通解解。 xyxdxdyy 41， 令令yz ，则则有有dxdyydxdz 21，代代入入原原方方程程，得得 22xxzdxdz ，这这是是线线性性方方程程。 222cdxexezdxxdxx ln212cxx ， 把把2zy 代代入入，得得原原方方程程的的通通解解：24)ln21(cxxy 。 例例 6 6设可导函数设可导函数)(xf满足方程满足方程 xxdttxftxdttf00)( )(，求求)(xf。 解解：令令utx ，则则方方

10、程程化化为为 xxxduuufduufxxdttf000)()()(， 分析分析：积分式中含有未知函数的方程，称为：积分式中含有未知函数的方程，称为积分方程积分方程。 此类问题的解法是利用对变限求导，化为此类问题的解法是利用对变限求导，化为)(xf的微分的微分 方程初值问题，然后求解。方程初值问题，然后求解。 两边两边求导求导对对 x，得，得 xduufxf0)(1)(， 确确定定初初值值条条件件1)0( f， 1)0(0)()(fxfxf，这这是是一一阶阶齐齐次次线线性性方方程程。 解之，得解之，得xcexf )(， 代代入入初初始始条条件件1)0( f，得得1 c， 故所求积分方程的解为故

11、所求积分方程的解为xexf )(。 再再求求导导对对 x，得得)()(xfxf ， 于是得于是得初值问题初值问题： 例例 8设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力与它下落设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力与它下落 的速度成正比（比例系数为的速度成正比（比例系数为0 k常数常数） ，起跳时的速） ，起跳时的速 度为度为 0，求下落的速度与时间之间的函数关系。，求下落的速度与时间之间的函数关系。 解解：设设跳跳伞伞员员下下落落速速度度为为)(tvv ，则则 )(tva 。 跳伞员所受的外力等于重力和阻力之和，即跳伞员所受的外力等于重力和阻力之和，即kvmgf ， 由由牛牛顿顿第第二二定定律律知知，maf ， 得得. ,gvmkvkvmgvm 即即 又起