浙大概率论与数理统计课件第三章多维随机变量及其分布

1、第一节第一节 二维随机变量二维随机变量第二节第二节 边缘分布边缘分布第三节第三节 条件分布条件分布第四节第四节 相互独立的随机变量相互独立的随机变量第五节第五节 两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布随机变量及其分布随机变量及其分布第一节第一节 二维随机变量二维随机变量二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数二维离散型随机变量二维离散型随机变量二维连续型随机变量二维连续型随机变量小结小结从本讲起，我们开始第三章的学习从本讲起，我们开始第三章的学习.一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的由于从二维推广到多

2、维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量困难，我们重点讨论二维随机变量 .它是第二章内容的推广它是第二章内容的推广. 到现在为止，我们只讨论了一维到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布及其分布. 但但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而，而需要用几个随机变量来描述需要用几个随机变量来描述. 在打靶时在打靶时,命中点的位置是由一命中点的位置是由一对对r .v (两个坐标两个坐标)（x，y）来确定的）来确定的. 飞机的重心在空中的位置是由三个飞机的重心在空中的位置是由三个r .v (三个坐标三个坐标)（x，y，z）来确定的等）来确定的等等等.一

3、般地一般地, 设设 是一个随机试验是一个随机试验,e它的样本空间是它的样本空间是 ,se 设设 11,xxe 22,xxe ,nnxxe 是定义在是定义在 上的随机变量上的随机变量,s由它们构成的一个由它们构成的一个 维向维向n量量 12,nxxx叫做叫做 维随机向量维随机向量n或或 维随机变维随机变n量量. 以下重点讨论二维随机变量以下重点讨论二维随机变量.请注意与一维情形的对照请注意与一维情形的对照 .)()(xxpxfxx的分布函数的分布函数一维随机变量一维随机变量 ,f x ypxxyyp xx yy, ,x y如果对于任意实数如果对于任意实数二元二元 函数函数称为二维随机变量称为二维

4、随机变量 的的分布函数分布函数, ,x y或者称为随机或者称为随机变量变量 和和 的的联合分布函数联合分布函数.yx定义定义1 ,x y设设 是二维是二维随机变量随机变量,oxyy yx ,yx yx ,x 将二维随机变量将二维随机变量 看成是平面上随机点看成是平面上随机点的坐标的坐标, ,x y 那么那么,分布函数分布函数 在点在点 处的函数值处的函数值就是随机点就是随机点 落在下面左图所示的落在下面左图所示的,以点以点 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率. ,x y ,x y ,f x y ,x y分布函数的函数值的几何解释分布函数的函数值

5、的几何解释xoxx 11211222,yxfyxfyxfyxf 2121,yyyxxxp 随机点随机点 落在矩形域落在矩形域 ,x y1212,xxxyyy内的概率为内的概率为xyo yx,2y1y1x2xxyo yx,1x2xy yx ,1 yx ,2 :,的性质的性质分布函数分布函数yxf ;,.1的不减函数的不减函数和和是关于变量是关于变量yxyxf ;,212121yxfyxfxxrxxry 时时当当及及对任意固定的对任意固定的 ;,212121yxfyxfyyryyrx 时时当当及及对任意固定的对任意固定的 yx, ,0,1,0.2 yfryyxf对任意固定的对任意固定的且且 .1,

6、0,0, ffxfrx对任意固定的对任意固定的 .0, 0,.3 yxfyxfyxfyxf,),(ijjipyyxxp或随机变量或随机变量x和和y 的的联合分布律联合分布律. ,)(kkpxxpk=1,2, 离散型离散型一维随机变量一维随机变量xx 的分布律的分布律 , 0kpkkp1k=1,2, 定义定义2的值是有限对或可列无限多对的值是有限对或可列无限多对,是是离散型随机变量离散型随机变量.则称则称 ,x y设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量 ,x y可能取的值是可能取的值是 ,ijx y,1,2,i j ,1,2,i j 记记如果二维随机变量如果二维随机变量 ,x y全部可能取到的

7、不相同全部可能取到的不相同称之为二维离散型随机变量称之为二维离散型随机变量 的的分布律分布律, ,x y二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量ijijijpjip1, 2 , 1, 0二维离散型随机变量二维离散型随机变量 的的分布律分布律具有性质具有性质 ,x y12jyyyxy12ixxx11211 ippp12222 ippp12jjijppp也可用表格来表示随机变量也可用表格来表示随机变量x和和y 的的联合分布律联合分布律. 例例1把一枚均匀硬币抛掷三次，设把一枚均匀硬币抛掷三次，设x为三次为三次抛掷中正面出现的次数抛掷中正面出现的次数 ，而，而 y 为正面出现次数与为正面出现次数

8、与反面出现次数之差的绝对值反面出现次数之差的绝对值 , 求求 (x ,y) 的分布律的分布律 .解解 ( x, y ) 可取值可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)px=0, y=3px=1, y=1 px=2, y=1px=3, y=0yx1301 83 8001233 8001 82311221 2311222 31 2 1 8. =3/8=3/8 31 2 1 8 连续型连续型一维随机变量一维随机变量xx的概率密度函数的概率密度函数1)(dxxf xtdtfxfx0)(xf rxxf 定义定义3对于二维随机变量对于二维随机变量 ,x y的分布函数的分布函数 ,

9、f x y则称则称 是是连续型的二维随连续型的二维随 ,x y机变量机变量 , ,fx y函数函数 称为二维称为二维（x,y )的的概率密度概率密度 ,随机变量随机变量 ,yxf x yf u v dudv 存在非负的函数存在非负的函数 ,fx y如果如果任意任意 有有,x y使对于使对于 称为随机变量称为随机变量 x 和和 y 的的联合概联合概 率密度率密度.或或 ;0,.1 yxf 2,1 ;rfx y dxdy ;,.3dxdyyxfgyxpxoygg 则有则有平面上的区域平面上的区域是是设设yxyxfyxf),(),(2在在 f (x,y)的连续点的连续点 ,.4 2 .,1;fx y

10、 dxdy 例2 设(x,y)的概率密度是(1) 求分布函数求分布函数 (2)2,0,0,0,.xyexyfx y 其其它它 ,;f x y p yx (2) 求概率求概率 .ouvy yx ,xouvy yx ,x ,yxf x yf u v dudv ,du vuxvy 积分区域积分区域区域区域 ,0f u v ,0,0u v uv解解 (1)ouvy yx ,xouvy yx ,x 211,0,0,0,.xyeexyf x y 其其它它00 xy或或当当 时时, ,yxf x yf u v dudv 0 故故(2)002yxu vedudv 2002yxvue dvedu 211xyee

11、0,0 xy当当 时时, ,yxf x yf u v dudv 2302xxeedx 1.3 (2) p yx ,y xfx y dxdy 2002xxydxedy 2002xxyedxedy yx xyo 在这一节中，我们与一维情形相对照，介绍了在这一节中，我们与一维情形相对照，介绍了二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数 ,离散型随机变量的分离散型随机变量的分布律以及连续型随机变量的概率密度函数布律以及连续型随机变量的概率密度函数.第二节第二节 边缘分布边缘分布边缘分布函数边缘分布函数离散型随机变量的边缘分布律离散型随机变量的边缘分布律连续型随机变量的边缘概率密度连续型随机变量的边缘

12、概率密度小结小结 二维联合分布全面地反映了二维随机变量二维联合分布全面地反映了二维随机变量(x,y)的取值及其概率规律的取值及其概率规律. 而单个随机变量而单个随机变量x,y也具有自己的概率分布也具有自己的概率分布. 那么要问那么要问:二者之间有二者之间有什么关系呢什么关系呢?这一节里这一节里,我们就来探求这个问题我们就来探求这个问题 .二维随机变量二维随机变量 (x,y)作为一个整体作为一个整体,具有分布函具有分布函数数 ,f x y而而 和和 都是随机变量都是随机变量 ,xy也有各自的分也有各自的分布函数布函数,分别记为分别记为 ,xyfxfy xfxp xx变量变量 (x,y) 关于关于

13、 x 和和 y的边缘分布函数的边缘分布函数.依次称为二维随机依次称为二维随机 ,yfyp yyp xyyfy 一、边缘分布函数一、边缘分布函数 ,p xx y ,f x一般地，对离散型一般地，对离散型 r.v ( x,y )，则则 (x,y) 关于关于x 的边缘分布律为的边缘分布律为x和和y 的联合分布律为的联合分布律为, 2 , 1,),(jipyyxxpijji 11,ijijjjpxx yyp,2,1iixxp1,jjiiyyxxxx二、离散型随机变量的边缘分布律二、离散型随机变量的边缘分布律ip(x,y) 关于关于 y 的边缘分布律为的边缘分布律为jyypjiijjiippyyxxp.

14、11, 1,2,j 例例1把一枚均匀硬币抛掷三次，设把一枚均匀硬币抛掷三次，设x为三次为三次抛掷中正面出现的次数抛掷中正面出现的次数 ，而，而 y 为正面出现次数与为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值反面出现次数之差的绝对值 , 求求 (x ,y) 的分布律的分布律 .解解 ( x, y ) 可取值可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)px=0, y=3px=1, y=1 px=2, y=1px=3, y=0yx1301 83 8001233 8001 82311221 2311222 31 2 1 8. =3/8=3/8 31 2 1 8 px=0=px=1=

15、px=2=px=3=py=1=py=3=1/8,px=0, y=1+px=0, y=3=3/8,px=1, y=1+px=1, y=3=3/8,px=2, y=1+px=2, y=3px=3, y=1+px=3, y=3=1/8. 30,1kp xk y =3/8+3/8=6/8,=1/8+1/8=2/8. 30,3kp xk y 我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词缘上，由此得出边缘分布这个名词.yx1301 83 8001233 8001 8 jp yy ip xx 1 83 83 81 86 82 8由联合分布可以

16、确定边缘分布由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布但由边缘分布一般不能确定联合分布. 对连续型对连续型 r.v ( x,y ) ，x 和和y 的联合概率密度为的联合概率密度为则则 ( x,y ) 关于关于 x 的边缘概率密度为的边缘概率密度为),(yxfdyyxfxfx),()( dyyxfdxxfxfxx,事实上事实上 , ,xxfxfxfx y dy 三、连续型随机变量的边缘概率密度三、连续型随机变量的边缘概率密度 x ( x,y )关于关于y 的边缘概率密度为的边缘概率密度为dx)y, x(f)y(fy y 例2 设(x,y)的概率密度是其它,xy,x),x(cy)

17、y, x(f00102求求 (1) c的值；的值； （2）两个边缘密度。）两个边缘密度。= 5c/24 ,c =24/5.100(2)xdxcyx dy 解解 (1) 21,rfx y dxdy 故故yx xy01x 123022cxx dx 例例2 设设 (x,y) 的概率密度是的概率密度是解解求求 (1) c 的值的值; (2) 两个边缘密度两个边缘密度 .其它,00, 10),2(),(xyxxcyyxf dyyxfxfx, 00,.xxxfxf x y dyf x y dyf x y dy (2)xy0yx 1x 10,0,0.xxxyf x yfx 或或都都有有故故当当 时时当当 时

18、时,01x 暂时固定暂时固定),2(5122xx注意取值范围注意取值范围xdyxy0)2(524综上综上 , .,0,10,25122其它其它xxxxfx 00,.xxxfxf x y dyf x y dyf x y dy 当当 时时,01x xy0yx 1例例 2 设设(x,y)的概率密度是的概率密度是解解 (2) 求求 (1) c的值的值; (2) 两个边缘密度两个边缘密度 .其它,00, 10),2(),(xyxxcyyxf dxyxfyfy, .0,0,01yfyxfxyyy故故都有都有对对时时或或当当 .,1011dxyxfdxyxfdxyxfyfyyyy时时当当yx y1暂时固定暂

19、时固定0yx),2223(5242yyy1)2(524ydxxy其它, 010),2223(524)(2yyyyyfy综上综上 ,注意取值范围注意取值范围 在求连续型在求连续型 r.v 的边缘密度时，往往要求联的边缘密度时，往往要求联合密度在某区域上的积分合密度在某区域上的积分. 当联合密度函数是分当联合密度函数是分片表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限片表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限 .下面我们介绍两个常见的二维分布下面我们介绍两个常见的二维分布. 1、 设设g是平面上的有界区域，其面积为是平面上的有界区域，其面积为a.若二维随机变量（若二维随机变量（ x,y）具有概率密度）具

20、有概率密度其它, 0),(,1),(gyxayxf则称（则称（x,y）在）在g上服从均匀分布上服从均匀分布. 向平面上有界区域向平面上有界区域g上任投一质点，若质点落上任投一质点，若质点落在在g内任一小区域内任一小区域b的概率与小区域的面积成正比，的概率与小区域的面积成正比，而与而与b的形状及位置无关的形状及位置无关. 则质点的坐标则质点的坐标 (x,y)在在g上服从均匀分布上服从均匀分布. 2、若二维随机变量（、若二维随机变量（x,y）具有概率）具有概率密度密度 则称（则称（ x,y）服从参数为）服从参数为 的的二维正态分布二维正态分布.,2121其中其中均为常数均为常数 , 且且, 0,

21、021,21211. 记作（记作（ x,y） n( ).221212, ,x ,y 212221122122212211(),exp2 121()()()2xfx y xyy 例例 3 试求二维正态随机变量的边缘概率密度试求二维正态随机变量的边缘概率密度. ,xfxfx y dy 解解22122212()()()2yxy 2222111211()yxx因为因为所以所以 22211222111()2 12212121y x x xfxeedy 212211,1yxt 令令则有则有 22121()22112x txfxeedt 22211222111()2 12212121y x x xfxeed

22、y 2121()21122x e 2121()2112x e x 同理同理 2222()2212y yfye y 可见可见由边缘分布一般不能确定联合分布由边缘分布一般不能确定联合分布.不同的二维正态分布不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的但它们的边缘分布却都是一样的.此例表明此例表明 且不依赖于参数布，缘分布都是一维正态分二维正态分布的两个边对应不同的，也就是说，对于给定的 2121 1. 在这一讲中，我们与一维情形相对照，介在这一讲中，我们与一维情形相对照，介绍了二维随机变量的边缘分布绍了二维随机变量的边缘分布. 由联合分布可以确定边缘分布由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布

23、一般不能确定联合分布但由边缘分布一般不能确定联合分布.2. 请注意联合分布和边缘分布的关系请注意联合分布和边缘分布的关系:四、小结四、小结第三节第三节 条件分布条件分布离散型随机变量的条件分布离散型随机变量的条件分布连续型随机变量的条件分布连续型随机变量的条件分布小结小结在第一章中，我们介绍了条件概率的概念在第一章中，我们介绍了条件概率的概念 .)()()|(bpabpbap在事件在事件b发生的条件下事件发生的条件下事件a发生的条件概率发生的条件概率推广到随机变量推广到随机变量 设有两个设有两个r.v x,y ， 在给定在给定y取某个或某些值取某个或某些值的条件下，求的条件下，求x的概率分布的

24、概率分布.这个分布就是条件分布这个分布就是条件分布.一、离散型一、离散型随机变量随机变量的条件分布的条件分布 实际上是第一章讲过的条件概率概念在另一种实际上是第一章讲过的条件概率概念在另一种形式下的重复形式下的重复. 定义定义1 设设 ( x,y ) 是二维离散型随机变量，对是二维离散型随机变量，对于固定的于固定的 j，若，若 py = yj 0，则称，则称为为在在 y = yj条件下随机变量条件下随机变量x的条件分布律的条件分布律.px= xi |y= yj =jjipp，i=1,2, 类似定义在类似定义在 x= xi 条件下条件下随机变量随机变量y 的条件分布律的条件分布律. ,ijjp

25、xx yyp yy 作为条件的那个作为条件的那个r.v,认为取值是给定的，认为取值是给定的，在此条件下求另一在此条件下求另一r.v的概率分布的概率分布. 条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质一切性质. 正如条件概率是一种概率，具有概率的正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质一切性质.例如：例如：i=1,2, 0ijp xxyy 11ijip xxyy 解解 依题意，依题意，y=n 表示在第表示在第n次射击时击中目次射击时击中目标标 , 且在前且在前n-1次射击中有一次击中目标次射击中有一次击中目标. 首次击中目标时射击了首次击中目标时射击

26、了m次次 .n n次射击次射击击中击中2nn- 11.m击中击中 例例 2一射手进行射击，击中目标的概率一射手进行射击，击中目标的概率 射击进行到第二次击中目标为止射击进行到第二次击中目标为止. 以以 x 表示表示首次击中目标所进行的射击次数首次击中目标所进行的射击次数，以，以 y 表示第二次表示第二次击中目标时所进行的的射击次数击中目标时所进行的的射击次数 . 试求试求 x 和和 y 的联的联合分布及条件分布合分布及条件分布. 1 ,p p 0p x=m 表表 ( n=2,3, ; m=1,2, , n-1)由此得由此得x和和y的联合分布律为的联合分布律为 由射击的独立性知，不论由射击的独立

27、性知，不论m(mn)是多少，是多少，px=m,y=n都应都应等于等于n次射击次射击击中击中2nn-11.m击中击中每次击中目标的概率为每次击中目标的概率为 ppx=m,y=n=？ 22,1np xm ynpp 22,1np xm ynpp 为求条件分布，先求边缘分布为求条件分布，先求边缘分布.x的边缘分布律是：的边缘分布律是：( m=1,2, )122)1 (mnnpp122)1 (mnnpp)1 (1)1 (212pppm1)1 (mpp 1,n mp xmp xm yn y的边缘分布律是：的边缘分布律是：( n = 2,3, )1122)1 (nmnpp22)1 () 1(nppn 11,

28、nmp ynp xm yn 于是可求得：于是可求得：2222)1 () 1()1 (nnppnpp,11n当当n=2,3, 时，时，m=1,2, ,n-1,nypnymxp联合分布联合分布边缘分布边缘分布 p xm ynn=m+1,m+2, 当当m=1,2, 时，时，,mxpnymxp122)1 ()1 (mnpppp,)1 (1mnpp|mxnyp二、连续型二、连续型随机变量随机变量的条件分布的条件分布 设设(x,y)是二维连续型是二维连续型r.v，由于对任意由于对任意x, y, px=x=0, py=y=0 ，所以不能直接用条件概，所以不能直接用条件概率公式得到条件分布，下面我们直接给出条

29、件率公式得到条件分布，下面我们直接给出条件概率密度的定义概率密度的定义.)(),()|(|yfyxfyxfyyx 设设 x 和和 y 的联合概率密度为的联合概率密度为 ,fx y 关于关于 的边缘概率密度为的边缘概率密度为 , yfy ,x yy 则称则称 为在为在 的条件下的条件下 ,yfx yfyyy 的的条件概率密度条件概率密度.x记为记为若对于固定若对于固定 0,yfy y的的 ,)(),()|(|xfyxfxyfxxy类似地类似地,可以定义在可以定义在x=x的条件下的条件下y的条件概率密度为的条件概率密度为例例 3：设：设(x,y)服从单位圆上的均匀分布，概率密服从单位圆上的均匀分布

30、，概率密度为度为其它, 01,1),(22yxyxf)|(|xyfxy求求1|, 01|,12),()(2xxxdyyxfxfx解解 x的边缘密度为的边缘密度为xoy 当当|x|1时时,有有)(),()|(|xfyxfxyfxxy21)2(1x,1212x2211xyxxoy1|, 01|,12),()(2xxxdyyxfxfx)|(|xyfxy取其它值yxyxx, 011,121222即即 当当 |x|1 时时,有有x作为已知变量作为已知变量这里是这里是y的取值范围的取值范围x已知的条件下已知的条件下y 的条件密度的条件密度 例例4 设数设数 x 在区间在区间 (0,1) 均匀分布，当观察到

31、均匀分布，当观察到 x=x(0 x1)时，数时，数y在区间在区间(x,1)上随机地取值上随机地取值 .求求 y 的概率的概率密度密度.解解 依题意，依题意，x具有概率密度具有概率密度其它, 010, 1)(xxfx对于任意给定的值对于任意给定的值 x (0 x0 y 0二、例题二、例题即即其它, 00,)(xxexfxx其它, 00,)(yeyfyy)()(),(yfxfyxfyx可见对一切可见对一切 x, y, 均有：均有：故故 x , y 独立独立 . 若若(x,y)的概率密度为的概率密度为其它,y, yx,)y, x(f01002情况又怎样？情况又怎样？解解),1 (22)(1xdyxf

32、xxyyydxyf0,22)(0 x1 0y1 由于存在面积不为由于存在面积不为0的区域，的区域，)()(),(yfxfyxfyx故故 x 和和 y 不独立不独立 . 例例2 甲乙两人约定中午甲乙两人约定中午12时时30分在某地会面分在某地会面.如如果甲来到的时间在果甲来到的时间在12:15到到12:45之间是均匀分布之间是均匀分布. 乙乙独立地到达独立地到达,而且到达时间在而且到达时间在12:00到到13:00之间是均匀之间是均匀分布分布. 试求先到的人等待另一人到达的时间不超过试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率分钟的概率. 又甲先到的概率是多少？又甲先到的概率是多少？解解

33、设设x为甲到达时刻为甲到达时刻,y为乙到达时刻为乙到达时刻以以12时为起点时为起点,以分为单位以分为单位,依题意依题意,xu(15,45), yu(0,60)其它, 04515,301)(xxfx所求为所求为p( |x-y | 5) ,其它, 0600,601)(xyfy其它, 0600 ,4515,18001),(yxyxf甲先到甲先到的概率的概率由独立性由独立性先到的人等待另一人到达的时间不先到的人等待另一人到达的时间不超过超过5分钟的概率分钟的概率p(xy)解一解一 45155x5xdxdy18001p( | x-y| 5 ) xy015451060405yx5yx=p( -5 x -y

34、 5)xy01545106040yx p(xy) 451560 xdxdy180011 2. 1 6. 解二解二5| yx |dxdy18001p(x y)1 6. p( | x-y| 5 ) 在某一分钟的任何时刻，信号进入收音机是等在某一分钟的任何时刻，信号进入收音机是等可能的可能的. 若收到两个互相独立的这种信号的时若收到两个互相独立的这种信号的时间间隔小于间间隔小于0.5秒，则信号将产生互相干扰秒，则信号将产生互相干扰. 求求发生两信号互相干扰的概率发生两信号互相干扰的概率.类似的问题如：类似的问题如：盒内有盒内有 个白球个白球 , 个黑球个黑球,有放回地摸球有放回地摸球 例例3 两次两

35、次. 设设第第1次摸到白球次摸到白球第第1次摸到黑球次摸到黑球第第2次摸到白球次摸到白球第第2次摸到黑球次摸到黑球试求试求(3) 若改为无放回摸球若改为无放回摸球,解上述两个问题解上述两个问题.nm01x01y布律的联联合分布律和边缘),( )1(yx的相互独立性),( )2(yx判断判断 yx01 222mnmnnmnjp ip 222mmnmnmn01m mnn mnn mn m mn 解解如下表所示如下表所示 :(2)由上表可知由上表可知ijijppp ,0,1i j 布律的联联合分布律和边缘),( )1(yx。相互独立),(故yx表所示表所示 :yx01jp ip 01nmn mmn

36、11m mmnmn mmn nmn 1mnmnmn 1mnmnmn 11n nmnmn 布律的联联合分布律和边缘),( )3(yx由上表知由上表知 : 1(0,0),1m mp xymnmn 0,mp xmn 0.mp ymn 可见可见 (0,0)00 .p xyp xp y故故x，y不相互独立。不相互独立。三、正态随机变量的独立性三、正态随机变量的独立性22222121212122212121exp121yyxxyxf， xexfxx21212121联合分布密度为),n( 服从正 态从正 ),( 设二维随机变量2121yx由前知由前知x的边缘分布密度为的边缘分布密度为222221212121

37、exp21yxyxf， yeyfyy22222221 yfxfyx相互独立；与这表明，随机变量yxy的边缘分布密度为的边缘分布密度为时有所以，当 0 yfxfyxfyx，即，2121yxfff，212212121121重要结论：综上所述，我们有以下反之，如时反之，如时x与与y相互独立，则对任意的相互独立，则对任意的x和和y有有特别地，有特别地，有0由此得，0 件是相互独立的充分必要条yx二维维正态随机变），（四、一般四、一般n n维随机变量的一些概念和结果维随机变量的一些概念和结果 112212 ;,nnnnesexx exxexxesnx xxn维随机变量设 是一个随机试验，它的样本空间是设

38、是定义在 上的随机变量，由它们构成的一维个随维向量称为机变量。 1212112212, (,)(,),nnnnnnx xxnf x xxp xx xxxxnxxx分布函数 对于任意 个实数， 元函数： 称为 维随机变量的分布函数。1、2、12121212112212 ,(,) 1,2, (,) 1,2, 1,2,nnniinijiinnijnxxxxxxip xxxxxxjninxxx离散型随机变量的分布律设所有可能取值为 称为 维离散型随机变量的分布律。111212121212( ,), ( ,)( ,)nnnnxxxnnnf x xxx xxf x xxf x xx dxdxdx 连续型随

39、机变量的 若存在非负函数，使得对于任概意实数率密度3、4、 边缘分布边缘分布 如：1212,(,)nnxxxf x xx的分布函数已知，111()(,)xfxf x 12,(1)nx xxkkn 则的维边缘分布函数就随之确定。12(,)1212( ,)( , , )x xfx xf x x111223( )( ,)xnnfxf x xx dx dxdx12(,)121234( , )( , ,)x xnnfx xf x xx dxdxdx5、 相互独立相互独立 12121212, (,)( )()()nnnxxxnx xxf xxxfx fxfx若对于所有的有：12,nxxx则称是相互独立的

40、1212, ,mnx xxy yy与的独立性12112,( ,),mmx xxf x xx设的分布函数为12212,(,),nny yyfyyy的分布函数为12121212, ,( ,)mnmnx xxy yyf x xxy yy的分布函数为1212112212( , ,)( ,)( ,)mnmnf x xx y yyf x xx f y yy若1212,mnx xxy yy称与相互独立。6、定理1：定理2：1212,mnx xxy yy设与相互独立，1,2,1,2,ijx imyjn则与相互独立。1212,mnh x xxg y yy设和是连续函数，1212,mnh x xxg y yy则和

41、相互独立。 这一讲，我们由两个事件相互独立的概念这一讲，我们由两个事件相互独立的概念引入两个随机变量相互独立的概念引入两个随机变量相互独立的概念. 给出了各给出了各种情况下随机变量相互独立的条件。种情况下随机变量相互独立的条件。五、小结五、小结第五节第五节 两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布 的分布的分布 m=max(x,y)及及n=min(x,y)的分布的分布 小结小结 zxy 在第二章中，我们讨论了一维随机变量在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论函数的分布，现在我们进一步讨论: 当随机变量当随机变量 x, y 的联合分布已知时，如何的联合分布已知时

42、，如何求出它们的函数求出它们的函数z = g ( x, y ) 的分布的分布?引言引言 例例1 若若 x、y 独立，独立，p(x=k)=ak , k=0 , 1 , 2 , p(y=k)=bk , k=0,1,2, ,求求 z=x+y 的概率函数的概率函数.解解 )()(ryxprzpriirypixp0)()(=a0br+a1br-1+arb0 riiryixp0),(由独立性由独立性r=0,1,2, 一、一、 的分布的分布 zxy离散型情形离散型情形解解 依题意依题意 riiryixprzp0),()( 例例2 若若 x 和和 y 相互独立相互独立,它们分别服从参数为它们分别服从参数为的泊

43、松分布的泊松分布, 证明证明z=x+y服从参数为服从参数为于是于是i = 0 , 1 , 2 , j = 0 , 1 , 2 , !)(ieixpi11 !)(jejypj22 12, 12 的泊松分布的泊松分布.riiryixprzp0),()(ri 0i - r2-i1-i)!-(rei!e21rire0i - r2i1)(i)!-(ri!r!21,)(!21)(21rrer = 0 , 1 , 即即z服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布.12 设设(, )x y是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量, ,其联合分布列为其联合分布列为, (1,2,;1,2,)iji jp xa y

44、bpij(, )zg x y则则 是一维的离散型随机变量是一维的离散型随机变量 其分布列为其分布列为 ( ,), (1,2,;1,2,)iji jp zg a bpij例例 3 3 设设 的联合分布列为的联合分布列为 (, )x y yx01-20.20.3-10.1010.30.1分别求出（分别求出（1）x+y；（；（2）x-y；（；（3）x2+y-2的的分布列分布列解解 由（由（x x，y y）的联合分布列可得如下表格）的联合分布列可得如下表格 (0,-2)(0,-1)(0,1)(1,-2)(1,-1)(1,1)概率0.20.10.30.300.1-2-11-10221-1320-4-3-

45、1-3-20(, )x yxyxy22xy 解解 得所求的各分布列为得所求的各分布列为 x+y-2-1012概率0.20.400.30.1x-y-10123概率0.30.10.10.20.3x2+y-2-4-3-2-10概率0.20.400.30.1 例例4 设设x和和y的联合密度为的联合密度为 f (x,y) , 求求 z=x+y 的概率密度的概率密度. ddxdyyxf),(这里积分区域这里积分区域 d=(x, y): x+y z解解z=x+y的分布函数是的分布函数是: zfzp zz p xyz它是直线它是直线 x+y =z 及其左下方的半平面及其左下方的半平面.xyzy0连续型情形连续

46、型情形 化成累次积分化成累次积分,得得zyxzdxdyyxfzf),()( yzzdydxyxfzf),()( 固定固定z和和y,对方括号内的积分作变量代换对方括号内的积分作变量代换, 令令 x=u-y,得得 zzdyduyyufzf),()( zdudyyyuf),(变量代换变量代换交换积分次序交换积分次序xyzxy0y由概率密度与分布函数的关系由概率密度与分布函数的关系, 即得即得z=x+y的概率的概率密度为密度为: 由由x和和y的对称性的对称性, fz (z)又可写成又可写成 dyyyzfzfzfzz),()()(以上两式即是以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式两个随机变量和的

47、概率密度的一般公式.dxxzxfzfzfzz),()()( zzdudyyyufzf),()( 特别地特别地，当，当 x 和和 y 独立，设独立，设 (x,y) 关于关于 x , y 的边的边缘密度分别为缘密度分别为 fx(x) , fy(y) , 则上述两式化为则上述两式化为: dyyfyzfzfyxz)()()(dxxzfxfzfyxz)()()(下面我们用下面我们用卷积公式来求卷积公式来求z=x+y的概率密度的概率密度. 卷积公式卷积公式例例 5解：的密度函数，试求随机变量均匀分布，令上的，相互独立，都服从区间与设随机变量zyxzyx10由题意，可知 其它0101xxfx 其它0101y

48、yfy ，则有的密度函数为设随机变量zfyxzz dxxzfxfzfyxz例例 5（续）（续）, 20zz，或若 0zfz，若10 z zzdxzf01z dxxzfxfzfyxzxz0 xz1 xz0112 111zzdxzfz 2，若21 z的密度函数为综上所述，我们可得yxz10 x10 xz其它021210)(zzzzzfz 例例6 若若x和和y 是两个相互独立的随机变量是两个相互独立的随机变量 , 具具有相同的分布有相同的分布 n(0,1) , 求求 z=x+y 的概率密度的概率密度.dxxzfxfzfyxz)()()(解解 由卷积公式由卷积公式 222212z xxeedx 22(

49、)4212zzxeedx 22()212zxzxeedx 22()4212zzxeedx 令令,2ztx得得 zfz 22412zteedt 2412ze 2222122ze 可见可见 z=x+y 服从正态分布服从正态分布 n(0,2).用类似的方法可以证明用类似的方法可以证明: ),(222121nyxz 若若x和和y 独立独立,),(),(222211nynx 结论又如何呢结论又如何呢? 此结论可以推广到此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形个独立随机变量之和的情形,请自行写出结论请自行写出结论. 若若x和和y 独立独立 , 具有相同的分布具有相同的分布 n(0,1) , 则则z=x+

50、y 服从正态分布服从正态分布 n(0,2). 有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布分布.更一般地更一般地, 可以证明可以证明:2iiinx，相互独立，如果随机变量nxxx21个实常数，为，又naaan21niiixaz1令niiiniiiaanz1221，则二、二、m=max(x,y)及及n=min(x,y)的分布的分布 设设 x，y 是两个相互独立的随机变量，它们的分是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为布函数分别为fx(x) 和和 fy(y),我们来求我们来求 m = max(x,y) 及及 n = min(x,y) 的分布函数的分布

51、函数.fm(z)=p(mz)=p(xz,yz)由于由于 x 和和 y 相互独立相互独立,于是得到于是得到 m = max(x,y) 的分的分布函数为布函数为: =p(xz)p(yz)fm(z)1. m = max(x,y) 的分布函数的分布函数即有即有 fm(z)= fx(z)fy(z) mz xzyz 即有即有 fn(z)= 1-1-fx(z)1-fy(z) =1- -p(xz,yz)fn(z)=p(nz) =1- -p(nz)2. n = min(x,y) 的分布函数的分布函数nz xzyz 由于由于 x 和和 y 相互独立相互独立,于是得到于是得到 n = min(x,y) 的分布的分布函数为函数为: =1- - p(xz)p(yz)fn(z) 设设 x1,xn 是是 n 个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量,它们的它们的分布函数分别为