174节,理解泰勒公式

1、 4 4 泰勒公式与极值问题首页首页一、高阶偏导数一、高阶偏导数设设 z = f (x , y)在域在域 d 内存在连续的偏导数内存在连续的偏导数, ),(yxfxzx 若这两个偏导函数仍存在偏导数，若这两个偏导函数仍存在偏导数，则称它们是则称它们是z = f ( x , y )的二阶偏导数的二阶偏导数 . 按求导顺序不同按求导顺序不同, 有下列有下列四个二阶偏导数四个二阶偏导数:),(yxfyzy 首页首页)(xz)(yzx )(xzy yxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxy类似可以定义更高阶的偏导数类似可以定义更高阶的偏导数.z = f (x , y) 的三阶偏导数共有八的三阶

2、偏导数共有八 ( 23 ) 种情形：种情形：),()(33322yxfxzxzxx ),()(22322yxfyxzxzyyx x xx xf (x,y);f (x,y); 2 22 2z zx x x x 2 2y yy y2 2zzzz()f (x,y)()f (x,y)yyyyy y 首页首页又如又如 z = f (x , y) 关于关于 x 的的 n 1 阶偏导数阶偏导数 , ) (yyxznn111nnxz二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. .再关于再关于 y 的一阶偏导数为的一阶偏导数为首页首页yxe22例例1 求函数求函数 yxez2.

3、23xyz解解 xz22xz) ( 223xyzxxyzyz22 yzyxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24的二阶偏导数及的二阶偏导数及 2 2z zx yx y 首页首页2 2z zy xy x 注意注意 从上面两个例子看到，有从上面两个例子看到，有但这一结论并不总成立但这一结论并不总成立. .2222zzzz, ,x yy xx yy x 首页首页.arctan2的所有二阶偏导数的所有二阶偏导数求函数求函数例例xyz 0,)(4222224224yxyxyyxxx0,)(4222224224yxyxyyxxyyfyfxxy)0, 0(), 0(lim0),(yxfy例如例

4、如),(yxfxxfxffyyxxy)0, 0()0,(lim)0 , 0(0二者不等二者不等xxx0lim1),(yxf0, 022 yx0,022 yx0,222222yxyxyxyx0, 022 yxy0y0y ylimlimy y 1 1 xyxyf (0,0)f (0,0) 首页首页则则连续连续都在点都在点和和若若,),()()(00yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx 定理定理17.7例如例如 对三元函数对三元函数 u = f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx说明说明 本定理对本定理对 n 元函数

5、的高阶混合偏导数也成立元函数的高阶混合偏导数也成立.函数在其定义区域内是连续的函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序数可以选择方便的求导顺序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx因为初等函数的偏导数仍为初等函数因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数当三阶混合偏导数在点在点 (x , y , z) 连续时连续时, 有有而初等而初等今后除特别指出外，都假设相应的混合偏导数连续，今后除特别指出外，都假设相应的混合偏导数连续，从而混合偏导数与求导顺序无关从而混合偏导数与求导顺序无关.首页首页例例6 证明函数

6、证明函数 222,1zyxrru0222222zuyuxu证证 xu利用对称性 , 有222222zuyuxu满足拉普拉斯满足拉普拉斯方程方程xrrxrrdud 21321rxrxr 31rxrrx4352223)(33rzyxr02222235235u13 yu13 y, ,yrryrr 2222235235u13 zu13 zzrrzrr 2 2353513 x13 xrrrr 2 22 2u ux x u u首页首页注意注意 多元抽象复合函数的高阶导数在偏微分多元抽象复合函数的高阶导数在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到方程变形与验证解的问题中经常遇到,下列几个例题有助于掌握这方面问

7、题的求导技巧下列几个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号与常用导数符号.首页首页解解由由复复合合函函数数求求导导公公式式),(vufz 于于是是xvvfxuufxz 1fxz 得得),(1),(21yxxfyyxxf 1 2f y1 ,yxvxu 设设首页首页.),(3222yxzxzyxxfz ，求，求设设例例),(1(),(2122yxxfyxyxxfxxz uf 1 111f11f xu vf 1xv (1y )22xvvfxuuf 1(121 fy122fy 2221fy yxvxu ,yf112 )122yf 121212121111( ,)( ,)( ,)( ,) zx

8、xzxxfff xf xfff xf xxyyyyxyyyy首页首页),(1(),(212yxxfyyyxxfyyxz yvvfyuuf 1111f )1(yy )(1y 0 12f 2yx 221yf (1y 222231221fyfyxfyx 21f0 22f )2yx yxvxu , 2fyvvfyuuf 22首页首页),(1zyxzyxf 例例 设设 f 具有二阶连续偏导数, ),(zyxzyxfw求.2zxw 解解 ,zyxvzyxu xw ),(vufw 1f 2f ),(2zyxzyxfzy )()(212fzyzfzzxw 11f 11f 12f y zy 121 fyxf 2

9、212)(fzxy 222fzyx 2fy 1 zy 1 yx 2f首页首页二、中值定理和泰勒公式二、中值定理和泰勒公式10 dyxpyxp ),(),(222111 凸区域凸区域 若区域若区域 d d 上任意两点的连线都含上任意两点的连线都含于于 d d若若 d d 为区域，则对任何为区域，则对任何 恒有恒有dyyyxxxp )(),(,(121121 凸凸区区域域非非凸凸区区域域1p2p 内，则称内，则称 d 为凸区域为凸区域. 1p2p首页首页17.817.8定定理理（中中值值定定理理）内内任任意意二二点点内内可可微微，则则对对连连续续，在在ddint，存存在在某某，)10(int),(

10、),( dkbhaqbap使使得得kkbhafhkbhafbafkbhafyx),(),(),(),( ),(bap),(kbhaq ),(kbha 一元函数中值定理回顾一元函数中值定理回顾上上在凸开域在凸开域设二元函数设二元函数df首页首页),()(tkbthaft 证证令令由定理的条件知由定理的条件知 (t) 在在 0, 1 上连续，在上连续，在 ( 0, 1 ) 内可微内可微. )()0()1( 由复合函数的求导法则由复合函数的求导法则kkbhafhkbhafyx),(),()( )0()1(),(),( bafkbhaf于是于是由于由于 d 为凸区域，所以为凸区域，所以dkbha ),

11、( 从而有从而有),(),(bafkbhaf pq 于是根据一元函数中值定理，于是根据一元函数中值定理，存在存在 使得使得kkbhafhkbhafyx),(),( 首页首页.0上上为为常常值值函函数数在在区区域域，则则函函数数内内存存在在偏偏导导数数，且且在在区区域域若若函函数数推推论论dfffdfyx b a 首页首页二二、二元函数的泰勒公式、二元函数的泰勒公式),(),(),(000000yxfykxhyxfhyhxf )(0punnryxfykxhnyxfykxh ),(!1),(! 2100002)10(),()!1(1001 kyhxfykxhnrnn一元函数泰勒公式回顾一元函数泰勒

12、公式回顾首页首页其中其中),()(00yxfykxh ),()(002yxfykxh ),()(00yxfykxhm),(),(0000yxyfkyxxfh 表示表示),(),(2),(0022200200222yxyfkyxyxfkhyxxfh 一般地, 表示表示).,(000yxyxfkhimimimimiimc 首页首页),(),(),(),(00000000kyhxkfkyhxhfyxfkyhxfyx 这正是二元函数的拉格朗日中值公式这正是二元函数的拉格朗日中值公式. . rn 称为其拉格称为其拉格朗日型余项朗日型余项 .首页首页证证 令其中其中 ),() 1 (, ),()0(000

13、0kyhxfyxf由定理的假设，由定理的假设， 在在 0, 1 在满足在满足一元函数泰一元函数泰勒定理条件，于是有勒定理条件，于是有)(t) 1 ()() 1(! ) 1(1nn) 10()0()0()0()0()(!1!21nn 下面计算下面计算 , 2, 1),0()( nn 0000(t)f(xth,ytk) (0t1),(t)f(xth,ytk) (0t1),首页首页利用多元复合函数求导法则可得利用多元复合函数求导法则可得: : ),(),()(0000t kyt hxfkt kyt hxfhtyx2 2xx00 xx00(t)h f (xht, ykt)(t)h f (xht, yk

14、t) ),(200t kyt hxfkhyx),(002t kyt hxfkyy0000(t)f(xth,ytk) (0t1),(t)f(xth,ytk) (0t1),0000 xyxy(0)(hk)f(x , y )(0)(hk)f(x , y ) 2 20000 xyxy(0)(hk) f(x , y )(0)(hk) f(x , y ) 首页首页),(c)(000)(t kyt hxyxfkhtpmpmpmpmppmm一般地一般地, ) 1 ()() 1(! ) 1(1nn将上述导数代入公式：将上述导数代入公式： )0()0()0()0()(!1!21nn 即得二元函数泰勒公式即得二元函

15、数泰勒公式. (m)m(m)m0000 xyxy(0)(hk) f(x , y )(0)(hk) f(x , y ) 首页首页)(nnor 若在泰勒公式中只要求余项若在泰勒公式中只要求余项 )(0pu)(),(!1),(),(1000000nnppoyxfykxhpyxfhyhxf 首页首页)0 , 0()0 , 0(),(fyyxxfyxf )10( )0 , 0(!1)0 , 0(! 212fyyxxnfyyxxn ),()!1(11yxfyyxxnn 首页首页 在泰勒公式中在泰勒公式中 , ,如果取如果取0, 000 yx, ,则则称为称为n阶麦克劳林公式阶麦克劳林公式. . 解解,ln

16、),(xxyxfyy ,)1(),(2 yxxxyyyxf,ln),(11xyxxyxfyyxy ,)(ln),(2xxyxfyyy 带入型余项的泰勒公式中：带入型余项的泰勒公式中：, 4)4 , 1(,),(1 xyxfyxyxf, 0)4 , 1( yf,12)4 , 1( xxf, 1)4 , 1( xyf, 0)4 , 1( yyf首页首页( () ).08. 141),(496. 3它计算它计算（到二阶为止），并用（到二阶为止），并用）的泰勒公式）的泰勒公式，在点（在点（求求例例yxyxf ),(),(00yxfyxfxy )(),()()(!12210000 oyxfyyyxxxp

17、pp ),()(),()(),(00000000yxfyyyxfxxyxfyx ),()(2),()(!2100000020yxfyyxxyxfxxxyxx )(),()(20020 oyxfyyyy 1)()4)(1()1(6)1(4122 oyxxx )1(4 x)()4)(1(2)1(122122 oyxx 首页首页)()4)(1()1(6)1(4122 oyxxxxy )4)(1()1(6)1(41)08. 1(296. 3 yxxxxy即即令令 x = 1.08 , y = 3.96 , 则有则有x -1= 0.08 , y -1= -0.04 , 1 08. 04208. 06 0

18、4. 008. 0 3552. 1 把这个值与前面用全微分近似公式计算的结果相比把这个值与前面用全微分近似公式计算的结果相比较，这个结果更接近于真值较，这个结果更接近于真值 1.356307 .首页首页三三 极值问题极值问题定义定义 若函数若函数则称函数在该点取得极大值则称函数在该点取得极大值(极小值极小值).极大值和极小值极大值和极小值统称为极值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点.)()(0pfpf )()(0pfpf 或),(000yxpf 在点在点的某邻域内有的某邻域内有 注意：函数的极值点只可能是定义域的内点注意：函数的极值点只可能是定义域的内点.首页

19、首页xyz例如例如 在点 (0,0) 有极小值;在点 (0,0) 有极大值;在点 (0,0) 无极值.2243yxz22yxz yxz xyzxyz首页首页若若例如例如,定理定理17.10 (必要条件必要条件) 函数函数存在存在偏导数偏导数,证证取得极值 ,取得极值，取得极值，取得极值，取得极值， 稳定点不一定是极值点稳定点不一定是极值点.有驻点有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值但在该点不取极值.且在该点取得极值且在该点取得极值 , 则有则有),(),(00yxyxfz在点在点 ),(),(00yxyxfz在点因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 则称则

20、称 ( x0 , y0 ) 为为 f 的稳定点或驻点的稳定点或驻点 . 所以所以所以所以x00y00 x00y00f(x ,y )0 , f(x ,y )0f(x ,y )0 , f(x ,y )0 x00 x00f(x ,y )0 ,f(x ,y )0 , y00y00f(x ,y )0 .f(x ,y )0 . x00y00 x00y00f(x ,y )0 , f(x ,y )0f(x ,y )0 , f(x ,y )0首页首页在原点在原点 (0,0) (0,0) 没有偏导数，但它在原点有极小没有偏导数，但它在原点有极小值值; ;22yxz 所以，函数的极值只可能在稳定点或偏导数所以，函数

21、的极值只可能在稳定点或偏导数不存在的点取得不存在的点取得. .首页首页时时, 具有极值具有极值 定理定理17.11 (充分条件)的某邻域内具有二阶连续偏导数的某邻域内具有二阶连续偏导数, 令则则: 1) 当当a0 时取极小值时取极小值.2) 当当 3) 当当时时, 没有极值没有极值.时时, 不能确定不能确定 , 需另行讨论需另行讨论.若函数若函数),(yxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfcyxfbyxfayyyxxx),(00yx在点在点且且2 2a ac c b b0 0 2 2acb0acb02 2acb0acb0首页首页证证 由

22、二元函数的泰勒公式, 并注意0),(,0),(0000yxfyxfyx则有),(),(0000yxfkyhxfz20021),(hkyhxfxxkhkyhxfyx),(200),(200kkyhxfyy,),(),(00连续的二阶偏导数在点由于yxyxf所以akyhxfxx),(00bkyhxfyx),(00ckyhxfyy),(00首页首页其中其中 , , 是当h 0 , k 0 时的无穷小量 ,于是z)(22kh ,很小时因此当kh(1) 当 acb2 0 时, 必有 a0 , 且 a 与c 同号, )()2(),(222221kbackbkhbahakhqa)()(2221kbackbh

23、aa可见 ,0),(,0khqa时当从而z0 , 因此),(yxf;),(00有极小值在点yx)(2o22221kkhh22221 12 2ah2bhkck ah2bhkck 1 12 2q(h,k)q(h,k) 的正负号可由 确定。z z q(h ,k)q(h ,k)首页首页,0),(,0khqa时当从而 z0,在点因此),(yxf;),(00有极大值yx(2) 当 acb2 0 时, 若a , c不全为零, 无妨设 a0, 则 )(),(221kkbhakhqa),(0)()(),(0000yxyybxxayx接近沿直线当时, 有,0kbhaakhq与故),(异号;),(yx当,),(00

24、00时接近沿直线yxyy,0k有akhq与故),(同号.可见 z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负, 在点因此),(yxf;),(00无极值yxxy),(00yxo2 2(acb )(acb ) 首页首页+xy),(00yxo若 ac 0 , 则必有 b0 ,不妨设 b0 , 此时 222),(kckhbhakhq),(00kyhx对点,同号时当kh,0),(khq,异号时当kh,0),(khq可见 z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负, 在点因此),(yxf;),(00无极值yxkhb2,0z从而,0z从而(3) 当acb2 0 时, 若 a0, 则21)(),(kbhakhqa若

25、a0 , 则 b0 ,2),(kckhq可能),(khq为零或非零首页首页此时因此 ,)(,0),(2确定的正负号由时因为ozkhq不能断定 (x0 , y0) 是否为极值点 . 2 21 12 2zq(h,k)o()zq(h,k)o()首页首页, 0),( yxfx0),( yxfy并求出偏导数不存在的点并求出偏导数不存在的点.求出二阶偏导数的值：求出二阶偏导数的值：),(00yxfaxx ),(00yxfbxy ),(00yxfcyy 首页首页例例求函数求函数解解 第一步第一步 求稳定点求稳定点得稳定点得稳定点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步

26、第二步 判别判别. 在点在点(1,0) 处处为极小值为极小值; ;解方程组解方程组),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的极值的极值. .求二阶偏导数求二阶偏导数 ,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12)0 , 1( xxfa5)0, 1 ( f,0axyxyxyxf933),(2233,0)0 , 1( xyfb. 6)0 , 1( yyfc 2bac 2)0 , 1()0 , 1()0 , 1(xyyyxxfff. 0612 故故 f 在在( 1, 0 ) 有有极值极值, , 又因又因首页首页在点(3,0) 处不是极值;在点(3,2)

27、处为极大值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12a,0b,6c)0,3( f6,0,12cba31)2,3( f在点(1,2) 处不是极值;6,0,12cba)2, 1 (f故故 f 在在( -3, 2 ) 有有极值极值, ,又因又因2 2acb12( 6)0 ,acb12( 6)0 , 2 2acb1260 ,acb1260 , 2 2acb12( 6)0 ,acb12( 6)0 , a0 ,a0 , 首页首页例例 讨论函数讨论函数 及及在点在点 ( 0,0 ) 是否取得极值是否取得极值.解解 显然显然 (0,0) 都是它们的驻点都是它们的驻点 ,在在(

28、0,0)点邻域内的取值点邻域内的取值, 因此因此 (0,0) 不是不是因此因此,022时当 yx为极小值为极小值. .正正负负033yxz222)(yxz并且在并且在 (0,0) 都有都有 02 bac33yxz可能为可能为0)()0 , 0()0 , 0(222yxz的极值点的极值点.33yxz222222z(xy )z(xy )(0,0)(0,0)z0z0首页首页例例8 8 求 在原点是否有极值。 2222f(x,y)(yx )(y2x )f(x,y)(yx )(y2x )2222f(x,y)x5y6x10y6.f(x,y)x5y6x10y6. 例 例 求求 的的极极值值6 62 2f(x

29、,y)xxy.f(x,y)xxy.7 7求求是是否否有有极极值值例例首页首页最大值最小值（简称最值）问题最大值最小值（简称最值）问题函数函数 f 在闭域上连续在闭域上连续函数函数 f 在闭域上可达到最值在闭域上可达到最值 最值可疑点最值可疑点 稳定点、偏导数不存在的点稳定点、偏导数不存在的点边界上的最值点边界上的最值点特别特别, 当区域内部最值存在当区域内部最值存在, 且只有一个极值点且只有一个极值点p 时时, )(pf为极小为极小 值值)(pf为最小为最小 值值( (大大) ) ( (大大) ) 依据依据首页首页例例解解 设水箱长设水箱长,宽分别为宽分别为 x , y 米米 ,则高为则高为则

30、水箱所用材料的面积为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为某厂要用铁板做一个体积为2 米米3 的有盖的有盖根据实际问题可知最小值在定义域内应存在根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,长方体水箱，长方体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸问当长、宽、高各取怎样的尺寸(2ayxyxy2)yxx2()yxyx22200yx0)(222xxya0)(222yyxa因此可因此可断定此唯一驻点就是最小值点断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为即当长、宽均为高为高为时时, 水箱所用材料最省水箱所用材料最省.时时,才能使用料最省才能使用料最省?米米 ,2 2xyxy3333(2 ,2 )

31、(2 ,2 )3 32 233333 32 222222 2 首页首页例例 有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,把它折起来做成解解 设折起来的边长为 x cm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为 , acos2224xx x224(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224x积最大. )0,120:(2 xd为问怎样折法才能使断面面首页首页cos24xcos22x0)sin(cos222x令xasin24sin4x0cossin2xa解得:由题意知,最大值在定义域d 内达到,而在域d 内只有一个驻点, 故此点即为所求.,0sin0 x0cos212xx0)s

32、in(coscos2cos2422xx(cm)8,603x2222a24x sin2x sinx cossina24x sin2x sinx cossin 2 2( d : 0 x12 , 0)( d : 0 x12 , 0) 首页首页问题的提出问题的提出: 已知一组实验数据已知一组实验数据求它们的近似函数关系求它们的近似函数关系 yf (x) .,0(),(kyxkkoyx需要解决两个问题需要解决两个问题: 1. 确定近似函数的类型确定近似函数的类型 根据数据点的分布规律根据数据点的分布规律 根据问题的实际背景根据问题的实际背景2. 确定近似函数的标准确定近似函数的标准 )(iixfy 实验

33、数据有误差实验数据有误差, ,不能要求不能要求), 1n最小二乘法最小二乘法 首页首页oyx 偏差偏差)(iiixfyr有正有负有正有负, 值都较小且便于计算值都较小且便于计算, 可由偏差平方和最小可由偏差平方和最小 min)(20iinixfy为使所有偏差的绝对为使所有偏差的绝对来确定近似函数来确定近似函数 f (x) .最小二乘法原理最小二乘法原理:设有一列实验数据设有一列实验数据分布在某条曲线上分布在某条曲线上, 通过偏差平方和最小求该曲线的方通过偏差平方和最小求该曲线的方法称为最小二乘法法称为最小二乘法, 找出的函数关系称为经验公式找出的函数关系称为经验公式 . ), 1 ,0(),(

34、nkyxkk, 它们大体它们大体 首页首页特别特别, 当数据点分布近似一条直线时当数据点分布近似一条直线时,问题为确定问题为确定 a, b 令),(bamam0)(20kknkkxbxaybm0)(20bxayknkk满足满足:使oyx得()axnkk02nkkkyx0bn) 1( nkky0解此线性方程组解此线性方程组 即得即得 a, byaxbyaxbn n2 2kkkkk0k0(yaxb)min(yaxb)min ( () )n nk kk0k0 xbxb ( () )n nk kk0k0 xaxa 首页首页例例为了测定刀具的磨损速度, 每隔 1 小时测一次刀具的厚度, 得实验数据如下:找出一个能使上述数据大体适合的经验公式. 解解 通过在坐标纸上描点可看出它们大致在一条直线上,列表计算:故可设经验公式为oyt27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.