第三节格林公式30190

1、第三节一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件机动 目录 上页 下页 返回 结束 格林公式及其应用 第十章 ld区域 d 分类单连通区域 ( 无“洞”区域 )多连通区域 ( 有“洞”区域 )域 d 边界l 的正向正向: 域的内部靠左域的内部靠左定理定理1. 设区域 d 是由分段光滑正向曲线 l 围成,则有, ),(yxp),(yxqldyqxpyxypxqdddd( 格林公式格林公式 )函数在 d 上具有连续一阶偏导数,ldyxyqxpyxqpdddd或一、一、 格林公式格林公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明证明: 1)

2、 若d 既是 x - 型区域 , 又是 y - 型区域 , 且bxaxyxd)()(:21dycyxyd)()(:21则yxxqddddcyyyqd),(2)()(21dyyxxqcbeyyxqd),(caeyyxqd),(cbeyyxqd),(eacyyxqd),(dcyyyqd),(1dcyddcyxoecbabad定理1 目录 上页 下页 返回 结束 即yxxqdddlyyxqd),(同理可证yxypdddlxyxpd),(、两式相加得:ldyqxpyxypxqdddd定理1 目录 上页 下页 返回 结束 yxol2) 若d不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割1dnd2dnkdyx

3、ypxqk1ddyxypxqdddnkdkyqxp1ddlyqxpdd为有限个上述形式的区域 , 如图)(的正向边界表示kkdd证毕定理1 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论: 正向闭曲线 l 所围区域 d 的面积lxyyxadd21格林公式格林公式ldyqxpyxypxqdddd例如例如, 椭圆20,sincos:byaxl所围面积lxyyxadd212022d)sincos(21ababab定理1 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 设 l 是一条分段光滑的闭曲线, 证明0dd22yxxyxl证证: 令,22xqyxp则ypxq利用格林公式 , 得yxxyxldd22022xxdy

4、xdd00机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算,dd2dyyxe其中d 是以 o(0,0) , a(1,1) , b(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解解: 令, 则2, 0yexqpypxq利用格林公式 , 有dyyxedd2dyyexd2yexoayd2yeyyd102)1(211exy oyx) 1 , 1 (a) 1 , 0(bd2ye机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 计算,dd22lyxxyyx其中l为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解解: 令,022时则当 yx22222)(yxxyxq设 l 所围区域为d,)0 , 0(时当d由格林公式知0dd

5、22lyxxyyx,22yxyp22yxxqypyxol机动 目录 上页 下页 返回 结束 dsincos2022222rrr2,)0 , 0(时当d在d 内作圆周,:222ryxl取逆时针方向,1d, 对区域1d应用格lyxxyyx22ddlyxxyyx22ddllyxxyyx22dd0dd01yxdllyxxyyxyxxyyx2222ddddl1dloyx记 l 和 l 所围的区域为林公式 , 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2. 设d 是单连通域 ,),(),(yxqyxp在d 内具有一阶连续偏导数

6、,(1) 沿d 中任意光滑闭曲线 l , 有.0ddlyqxp(2) 对d 中任一分段光滑曲线 l, 曲线积分(3)yqxpdd ),(yxuyqxpyxudd),(d(4) 在 d 内每一点都有.xqyplyqxpdd与路径无关, 只与起止点有关. 函数则以下四个条件等价:在 d 内是某一函数的全微分,即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 证明证明 (1) (2)设21, ll21ddddllyqxpyqxp1ddlyqxp2ddlyqxp21ddllyqxp0ab1l2l2ddlyqxp1ddlyqxp为d 内任意两条由a 到b 的有向分段

7、光滑曲线, 则(根据条件(1)bayqxpddabyqxpdd定理2 目录 上页 下页 返回 结束 证明证明 (2) (3)在d内取定点),(00yxa因曲线积分),(),(00dd),(yxyxyqxpyxu),(),(yxuyxxuux则),(yxpxuxuxx0lim),(lim0yxxpx),(),(ddyxxyxyqxp),(),(dyxxyxxpxyxxp),(同理可证yu),(yxq因此有yqxpuddd和任一点b( x, y ),与路径无关,),(yxxc),(yxb),(00yxa有函数 定理2 目录 上页 下页 返回 结束 证明证明 (3) (4)设存在函数 u ( x ,

8、 y ) 使得yqxpuddd则),(),(yxqyuyxpxup, q 在 d 内具有连续的偏导数,xyuyxu22所以从而在d内每一点都有xqypxyuxqyxuyp22,定理2 目录 上页 下页 返回 结束 证明证明 (4) (1)设l为d中任一分段光滑闭曲线,dd (如图) ,上因此在dxqyp利用格林公式格林公式 , 得yxxqxqyqxplddd)(ddddl0所围区域为证毕定理2 目录 上页 下页 返回 结束 yx说明说明: 根据定理2 , 若在某区域内,xqyp则2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求d u = p dx + q dy在域 d 内的原函

9、数:dyx),(00及动点,),(dyxyyxqxyxpyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxp0d),(0或yyyyxqyxu0d),(),(00y0 x则原函数为yyyyxq0d),(xxxyxp0d),(若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;取定点1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;定理2 目录 上页 下页 返回 结束 ya xol例例4. 计算,d)(d)3(22yxyxyxl其中l 为上半24xxy从 o (0, 0) 到 a (4, 0).解解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段,aod它与l 所围原式yxyxyxaold)(d)3(22dyxd

10、d4oayxyxyxd)(d)3(22402dxx3648 圆周区域为d , 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 验证yyxxyxdd22是某个函数的全微分, 并求出这个函数. 证证: 设,22yxqyxp则xqyxyp2由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使yyxxyxuddd22),()0 , 0(22dd),(yxyyxxyxyxu。)0 , 0(。),(yx)0 ,(xxxx0d0yyxyd02yyxyd022221yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 验证22ddyxxyyx在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函数 , 并求出它. 证证: 令222

11、2,yxxqyxyp则)0()(22222xyqyxxyxp由定理定理 2 可知存在原函数),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuxx1d0)0(arctanxxyoxyyyxyx022d)0 ,(x)0 , 1(),(yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 oxy)0 ,(x)0 , 1(),(yx),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuyyy021dyxyyarctan1arctanarctanyxarctan2xyxxy122d或), 1 (y)0(arctanxxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 设质点在力场作用下沿曲线 l :xyco

12、s2由)2, 0(a移动到, )0,2(b求力场所作的功w解解:)dd(2lyxxyrk令,22rxkqrykp则有)0()(22422yxryxkypxq可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关. )(22yxr其中lbayox),(2xyrkfsfwld机动 目录 上页 下页 返回 结束 :ab)dd(2yxxyrkwabd)cos(sin2022k)02:(sin2,cos2yxk2思考思考: 积分路径是否可以取?obao取圆弧lbayox为什么？注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关 !机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 格林公式lyqxpdd

13、2. 等价条件在 d 内与路径无关.ypxq在 d 内有yqxpudddyxypxqdddlyqxpdd对 d 内任意闭曲线 l 有0ddlyqxp在 d 内有设 p, q 在 d 内具有一阶连续偏导数, 则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 设,4:, 1:222412yxlyxl且都取正向, 问下列计算是否正确 ?lyxxyyx22d4d) 1(lyxxyyx22d4dlxyyxd4d41do2y1x2lldd5415lyxxyyx22dd)2(lyxxyyx22ddlxyyxdd41dd2412提示提示:时022 yxypxq) 1(ypxq)2(机动 目录

14、上页 下页 返回 结束 2. 设, )56,4(),(grad42234yyxxyxyxu).,(yxu求提示提示:),(dyxuxxyxd)4(34yyyxd)56(422),(yxuyox),(yx)0 ,(xxxxd04yyyxyd)56(0422c551x322yxcy 5xxyxd)4(34yyyxd)56(422),()0 , 0(yxc作业作业p153 2 (1); 3 ; 4 (3) ; 5 (1) , (4) ; 6 (2) , (5)第四节 目录 上页 下页 返回 结束 cccdyxoaac 备用题备用题 1. 设 c 为沿yxaxyxaxxaycd)ln(2d22222222ayx从点), 0(a依逆时针), 0(a的半圆, 计算解解: 添加辅助线如图 ,利用格林公式 .原式 =321aaayayd)ln2(d222xaya222xayyxddc到点机动 目录 上页 下页 返回 结束 d2. 质点m