第7节二重积分81977

1、1特点特点：平顶平顶.曲顶柱体体积曲顶柱体体积=？特点特点：曲顶曲顶.),(yxfz d1 1. .曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、二重积分的概念和性质一、二重积分的概念和性质柱体体积柱体体积=底面积底面积 高高第七节第七节 二重积分二重积分2播放播放求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、分割、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示3步骤如下：步骤如下：用若干个小平顶柱体用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲体积之和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，xzyod),(yxfz i),(ii先分割曲顶柱体的底，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，并取典型小

2、区域，.),(lim10iiniifv 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积分分割割求求和和，iiniifv ),(1极极限限42 2. .二重积分的定义二重积分的定义设二元函数设二元函数),(yxfz 是有界闭区域是有界闭区域d上的有界上的有界函数函数, ,若将若将d任意分割成任意分割成n个小闭区域个小闭区域n ,21, ,并用同样的记号记它们的面积并用同样的记号记它们的面积, ,任取任取iii ),(, ,作和作和 存存在在, ,则则称称函函数数),(yxf在在d上上可可积积, ,该该极极限限称称为为),(yxf在在d上上的的二二重重积积分分, ,记记作作 niiiif1),( , ,记记max1

3、的的直直径径ini , ,若极限若极限 niiiif10),(lim .d),( dyxf 5iiniidfyxf ),(limd),(10即即6 在在直角坐标系直角坐标系下用平下用平行于坐标轴的直线网来划行于坐标轴的直线网来划分区域分区域d， ddyxyxfyxfdd),(d),( yxddd 故二重积分可写为故二重积分可写为xyo则面积元素为则面积元素为当当),(yxf在闭区域上在闭区域上连续或分片连续连续或分片连续时，定时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在义中和式的极限必存在，即二重积分必存在. 73 3. .二重积分的性质二重积分的性质下面假定下面假定f( (x,y) ), ,

4、g( (x,y) )在闭区域在闭区域d上连续上连续, ,a为为d的面积的面积. . 性质性质2 2 线性性质线性性质 dddyxgyxfyxgyxf d),(d),(d),(),( ddyxfkyxkf d),(d),( ( (k为为常常数数) ). . 若若在在d上上1),( yxf, ,则则由由定定义义可可知知, ,ad d1， 这里这里a为为d的面积的面积. . 性质性质1 18若若0),( yxf, ,dyx ),(, ,则则 d| ),(|d),(| ddyxfyxf 性质性质4 4.0d),( dyxf 设设21ddd , ,且且21, dd无公共内点，无公共内点，则则有有 性质性

5、质3 3 区域可加性区域可加性 .d),(d),(d),(21 dddyxfyxfyxf 若若),(),(yxgyxf , ,dyx ),(, ,则则 ddyxgyxf d),(d),(推论推论1 1推论推论2 29设设),(yxf在在有有界界闭闭区区域域d上上的的最最大大值值为为m, ,最最小小值值为为m, , d的的面面积积为为a, ,则则 性质性质5 5 估值性质估值性质 mayxfmad d),(证证,),(myxfm dd),(d dddmyxfmmayxfmad d),(所以所以于是于是10若若),(yxf在在d上上连连续续, ,则则存存在在一一点点d ),( , ,满满足足: :

6、 性质性质6(6(二重积分的中值定理二重积分的中值定理) ) afyxfd),(d),( 证证 由性质由性质5 5知知, , .d),(mayxfmad 由由于于0 a, ,得得 ，myxfamd d),(1由由闭闭区区域域上上连连续续函函数数的的介介值值定定理理, , 存存在在一一点点d ),( , ,使使 ，),(d),(1 fyxfad 即得证即得证. . 11ab)(2xy )(1xy xyo如果积分区域为如果积分区域为d ：其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.)(1x )(2x ,ba1 1. .在在直角坐标系直角坐标系下计算二重积分下计算二重积分二、二重积分的计算二、

7、二重积分的计算, )()(21xyx , bxa dx- -型区域型区域12zyxaxb为曲顶柱体的体积为曲顶柱体的体积以曲面以曲面为底，为底，的值等于以的值等于以设设),(d),(, 0),(yxfzdyxfyxfd 应用计算应用计算“平行截平行截面面积为已知的立面面积为已知的立体求体积体求体积”的方法的方法, )()(21d),()(xxyyxfxa baxxavd)(),(yxfz )(1xy )(2xy )(xa baxxxyyxfdd),( )()(21 13积分区域为：积分区域为：.bxa ，)()(21xyx dyxf d),(一般地，一般地，.d),( d)()(21 baxx

8、yyxfx 先对先对 y 积分，后对积分，后对 x 积分的积分的累次积分累次积分 baxxxyyxfdd),( )()(21 记为记为ab)(2xy xyod)(1xy 14d)(2yx xyod)(1yx c dyxf d),(如果积分区域为：如果积分区域为：.dyc ，)()(21yxy .d),( d)( )(21 dcyyxyxfy 先对先对 x 积分，后对积分，后对 y 积分的累次积分积分的累次积分 dcyyyxyxfdd),()()(21 y- -型区域型区域1524将将yxyxfdd ),(d 化为二次积分化为二次积分,其中其中 d 由直线由直线4 , 2 , 2 , yyxyx

9、y围成围成.解法解法1先画出积分区域先画出积分区域 d，将将 d 向向 y 轴投影，轴投影，先先 x 后后 y , ,yxyxfddd ),( .d ),(2xyxfyy 42d y例例1 1xy 2 xyxyodyx 2 yx16246xy 2 xy24xyo1d2d解法解法2先先 y 后后 x, , 将将 d 向向 x 轴投影轴投影,21ddd yxyxfyxyxfyxyxfddddd ),(dd ),(dd ),(21 yyxfxd ),(2 42dx.d ),(42yyxfx 64dx 17计算计算， d dxy其中其中 d 由直线由直线, 1 , yxy解解 先画出积分区域先画出积分

10、区域 d ，先先 y 后后 x, , 将将 d 向向 x 轴投影，轴投影， d dxyyxyxd 1 21dx 2112d 21 xyxx例例2 2.89 xy 2 xxyo12121 y 212d )1( 21xxx 213d )22( xxx围成围成.2 x18求求 dyxyxdd)(2，其其中中 d是是由由抛抛物物线线2xy 和和2yx 所所围围平平面面闭闭区区域域. 解解 dyxyxdd)(2 1022d)(dxxyyxxxxxxxxd)(21)(42102 .14033 例例3 3先求两曲线的交点先求两曲线的交点)1 , 1()0 , 0(2xy xyoxy 211先对先对 y 积分

11、，积分， xy 19 yyde2无无法法用用初初等等函函数数表表示示, 解解积分次序应先积分次序应先x后后y, dyyxxdde22 yyxxy0210dde2yyyde311032 2102de612yyy . )e21(61 例例4 4xyo11yx 20.2,d2所所围围成成的的闭闭区区域域及及是是由由抛抛物物线线其其中中计计算算 xyxydxyd 解解 2212dddyydxxyyxy .845 例例5 5先先 x 后后 y , ,yyyyd)2(212152 )1, 1( xy 2xyo2 xy)2, 4(两曲线的交点两曲线的交点)1, 1()2 , 4( 21.2,d2所所围围成成

12、的的闭闭区区域域及及是是由由抛抛物物线线其其中中计计算算 xyxydxyd 解解例例5 5)1, 1( xy 2xyo2 xy)2, 4(两曲线的交点两曲线的交点)1, 1()2 , 4( dxy d选择积分次序的原则：选择积分次序的原则： 若选择先若选择先 y 后后 x , , xxyxyxdd10,dd241 xxyxyx(1)积分容易；积分容易； (2)尽量尽量少分块少分块或不分或不分块块. . 麻烦麻烦. .22解解 dx d xxyxx22110dd 21102d)233(d23xxxxx.23272921 xxyxx32121dd例例6 6xyo)2 , 1()1 , 2(xy21

13、 xy2 xy 323 改变积分改变积分的次序的次序. . xyyxfx1010d),(d例例7 7xyo11xy 1解解积分区域为积分区域为 . 10,10 :xxyd . 10,10 :yyxd xyyxfx1010d ),( d.d ),( d1010 yxyxfy将将 d 向向 y 轴投影轴投影, 改写为改写为yx 124解解设设，原式原式 21d),(d),(ddyxfyxf . 10 ,20 :21xxxyd . 21 ,20 :2xxyd则则1dxy 22d xxxyyxfxyyxfx20212010d),(dd),(d2例例8 8交换下面积分的次序交换下面积分的次序: :xyo

14、12125设设21ddd 将将 d 向向 y 轴投影轴投影, . 10,211 :2yyxyd d ),(d yxf原式原式.d),(d102112 yyxyxfy1dxy 22dxyo121,22xxy ,1)1(22 yx,112yx 26 224210d),(dxxyyxfx 20322d),(dyxyxfy.d),(d24023 yxyxfyxyo222 xy422 yx22)3, 1(例例9 9交换下面积分的次序交换下面积分的次序: :27利用对称性简化二重积分的计算利用对称性简化二重积分的计算设积分区域设积分区域d关于关于y 轴对称，轴对称，;0d),( dyxf yx),(yxp

15、 )(xfy ox- -x),(yxp(1) 若若f( (x, ,y) )关于关于 x 是奇函数，则有是奇函数，则有(2) 若若f( (x, ,y) )关于关于x 是偶函数，是偶函数，则有则有其中其中 是是d的右半区域的右半区域. .1d,d),(2d),(1dd yxfyxf28设积分区域设积分区域d关于关于x 轴对称，轴对称，(1) 若若f( (x, ,y) )关于关于 y 是奇函数，则有是奇函数，则有(2) 若若f( (x, ,y) )关于关于x 是偶函数，是偶函数，,d),(2d),(1dd yxfyxf则有则有其中其中 是是d的上半区域的上半区域. .1dyxo1d;0d),( dy

16、xf 注意注意：不仅要考虑区域的对称性，还要考虑函数的：不仅要考虑区域的对称性，还要考虑函数的奇偶性奇偶性. .利用对称性简化二重积分的计算利用对称性简化二重积分的计算29例例10 10 设有平面区域设有平面区域,),(ayxaxayxd ,0),(1ayxaxyxd 则则 dyxyxxy_dd)sincos(. . (a) (a) 1ddsincos2dyxyx (b) (b) 1dd2dyxxy (c) (c) 1dd)sincos(4dyxyxxy (d) (d) 0 解解 dyxyxxydd)sincos(oxy1d2d3d4d30(a) (a) 1ddsincos2dyxyx (b)

17、 (b) 1dd2dyxxy (c) (c) 1dd)sincos(4dyxyxxy (d) (d) 0 解解oxy1d2d3d4d dyxyxxydd)sincos( 2121ddsincosddddddyxyxyxxy 4343ddsincosddddddyxyxyxxy000,ddsincos21 dyxyx选选( (a).a).31例例11 11 求二重积分求二重积分 dyxyxdd)(22， 解解oxy1d区域区域d分别对称于分别对称于x轴和轴和y轴，轴， 被被积积函函数数22yxf 对对 y或或 x都都是是偶偶函函数数， 其其中中1| : yxd. . dyxyxdd)(22 10

18、1022d)(d4xyyxx 1032d)1(31)1(4xxxx.32 322 2. .在在极坐标系极坐标系下计算二重积分下计算二重积分在下述两种情况下在下述两种情况下, ,往往利用极坐标来计算二重积分：往往利用极坐标来计算二重积分： 1)1)当积分区域当积分区域d为圆域、环域或扇形域等时为圆域、环域或扇形域等时, , d的的 边界用极坐标表示较为简单；边界用极坐标表示较为简单； 2)2)被积函数具有被积函数具有 等形式时等形式时, ,用极坐标积用极坐标积分较为容易分较为容易. . )(22yxf 直角坐标与极坐标的转换关系为：直角坐标与极坐标的转换关系为： sincosryrxxyo ),

19、(yxr xyyxrarctan22 33aodi irr iirrr ii i iiiiiirrr 2221)(21iiirr ddrrrrfyxyxf dd)sin,cos(dd),(所以面积元素为所以面积元素为 dddrr iiiiirrr 2)(34 )()(21d)sin,cos(d rrrrf ado)(1 r)(2 r drrrrf dd)sin,cos(二重积分化为极坐标下二次积分的公式二重积分化为极坐标下二次积分的公式区域特征如图区域特征如图, ).()(21 r35a计算计算yxdyxdde22 ，其中，其中 d 是由中心在原点，是由中心在原点，半径为半径为 a 的圆周所围

20、成的闭区域的圆周所围成的闭区域. 解解.20,0: ard arrr020ded2 ar0)e21(22 例例1212在极坐标系下在极坐标系下, ,. )e1(2a xyoyxdyxdde22 36求求 dyxi d)4(, ,其其中中2| ),( 22yyxyxd . . 例例1313解解 sin200d)sin4(drrri d)sin38sin8(402 204202dsin316dsin16 2214331622116 区域区域d关于关于y 轴对称，轴对称，所所以以0d dx , , 用极坐标，用极坐标，.3 xyo2yyx222 sin2 r37注：若注：若2| ),(22xyxyx

21、d 为为 xyo2 cos2022d)sin,cos(drrrrfyxyxfddd),( xyx222 cos2 r38xyo922 yx3例例1414解解.d)6(d 290222230 xyyxyxxi计计算算直接做麻烦直接做麻烦, , 化为极坐标化为极坐标, , 20302d)6(d rrrri)948127(2 .89 39写写出出积积分分 dyxyxfdd),(的的极极坐坐标标二二次次积积分分形形式式，其其中中积积分分区区域域 例例1515,11| ),(2xyxyxd 10 x1 yx122 yx11xyo解解.d)sin,cos(d201 cossin1 rrrrf所以所以 21

22、110d),(dxxyyxfx,1 yx1sincos rr1 r, cossin1 r, 在极坐标系下在极坐标系下, , 圆方程为圆方程为 直线方程为直线方程为40其其中中积积分分区区域域为为41| ),(22 yxyxd. 解解 dyxyxyxdd)sin(2222 210dsind42rrrr . 4 1dd)sin(42222dyxyxyx ,dd)sin(2222 dyxyxyx 计算二重积分计算二重积分例例1616由区域的对称性和函数的奇偶性，由区域的对称性和函数的奇偶性，可只考虑第一象限部分，可只考虑第一象限部分，xyo211d21)cos1(24r 41计计算算 dy d，其其

23、中中d是是由由直直线线2 x,0 y, 2 y以以及及曲曲线线22yyx 所所围围成成的的平平面面区区域域. 解法解法1 1例例171722yyx dyxydd,dddd11 dddyxyyxy 2002dddd1yyxyxydd,4 yyx2 22 1dddyxy sin20dsind2rrrxyo2 21dd42,dddddd11 ddddyxyyxyyxy,4dd1 ddyxy 1dddyxy sin20dsind2rrr 2dsin384 t 令令 204dsin38 tt2214338 ,2 所以所以.24dd dyxy43xyo2 21dd计计算算 dy d，其其中中d是是由由直直线线2 x,0 y, 2 y以以及及曲曲线线22yyx 所所围围成成的的平平