ch45可降阶的二阶ch46解的结构

1、福福 州州 大大 学学12021-11-14第五节第五节 可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程一、一、 型的微分方程型的微分方程)(xfy 二、二、 型的微分方程型的微分方程),(yxfy 三、三、 型的微分方程型的微分方程),(yyfy 四、四、可降阶二阶微分方程的应用举例可降阶二阶微分方程的应用举例 第四章第四章 福福 州州 大大 学学22021-11-14一、一、 型的微分方程型的微分方程)(xfy 特点特点 右端仅含有自变量右端仅含有自变量 x , 只要只要连续积分连续积分二次即得通解二次即得通解 . 解解.cos的通解的通解求方程求方程xxeyx 例例1 dxxxeyxcos1s

2、inxxxeexc1(sin)xxyxeexc dx 122cosxxxeexc xc逐次积分逐次积分的解法可用于解高阶微分方程的解法可用于解高阶微分方程)()(xfyn 解法解法: 只要连续积分只要连续积分 n 次即得通解次即得通解 .福福 州州 大大 学学32021-11-14二、二、 型的微分方程型的微分方程),(yxfy 特点：特点：解法：解法：( ) ,yp x 令令( ,( )pf x p x ( ) p x求求得得,)(两端取不定积分两端取不定积分对对xpy 可得通解可得通解.关于关于p(x)的的一一阶微分方程阶微分方程方程不显含未知函数方程不显含未知函数 y ，( )yp x则

3、则 代入原方程代入原方程, 得得但显含但显含 x .如如2(1)0 xyxy福福 州州 大大 学学42021-11-14例例2 已知一曲线满足方程已知一曲线满足方程 ，2(1)0 xyxy其在其在(0,1)处的切线为处的切线为y= 2x+1, 求该曲线求该曲线.解解),(xpy 设设代入得代入得,0)1(2 xppx211xcp 解线性方程解线性方程, 得得)(xpy 则则,012 pxxp即即211xcy 即即(0)2 ,y 由由12 ,c 得得221yx 2(1)0(0)1,(0)2xyxyyy 即即求求两端积分两端积分,得原方程解为得原方程解为22arcsin,yxc(0)1,y 由由2

4、1,c 得得故所求原方程的解为故所求原方程的解为:2arcsin1.yx福福 州州 大大 学学52021-11-14三、 型的微分方程),(yyfy dp( ,( ) dpf yp yy ( )yyxp 令令ddpyx 关于关于p(y)的一阶微分方程的一阶微分方程特点：特点：解法：解法：则则解出解出p(y).代入原方程代入原方程, 得得将将 p 代入代入 后后, yp 可求得原方程的通解可求得原方程的通解但显含但显含 y .方程不显含方程不显含 x ，如如20yyyddd,dddpppxyyy 福福 州州 大大 学学62021-11-14.02的通解的通解求方程求方程 yyy解解,ddyppy

5、 则则),(ypy 设设代入原方程得代入原方程得 , 0dd2 pyppy, 0)dd( pypyp即即，由由0dd pypy,1ycp 可得可得.12xcecy 原方程通解为原方程通解为,dd1ycxy 例例 32 ,(0)(040)yyeyy 例例（即作业（即作业p88 二二5）福福 州州 大大 学学72021-11-14四、四、可降阶二阶微分方程的应用举例可降阶二阶微分方程的应用举例例例 交通事故的勘察交通事故的勘察 在公路交通事故的现场在公路交通事故的现场,常会发现事故车辆常会发现事故车辆的车轮底下留有一段拖痕的车轮底下留有一段拖痕.这是紧急刹车后制动这是紧急刹车后制动片抱紧制动箍使车

6、轮停止了转动片抱紧制动箍使车轮停止了转动,由于惯性的作由于惯性的作用用,车轮在地面上车轮在地面上摩擦滑动摩擦滑动而留下的而留下的. 如果在事故现场测得如果在事故现场测得拖痕的长度拖痕的长度为为10m,那那么事故调查人员是么事故调查人员是如何判定如何判定事故车辆在事故车辆在紧急刹紧急刹车前的车速车前的车速的？的？ox10福福 州州 大大 学学82021-11-14ox10解：解： 22ddxmgmt 得得，0000( ), ( ),xvvfma 由由1d( ),dxv tgtct 设拖痕所在直线为设拖痕所在直线为 x 轴，轴，拖痕的起点为原点，拖痕的起点为原点， 车辆的滑动位移为车辆的滑动位移为

7、x(t),滑动速度为滑动速度为v(t).经测定摩擦系数为经测定摩擦系数为 =1.02.则则设设t1为滑动停止时刻，为滑动停止时刻，11100( ), ( ),x tv t则则滑动过程只受摩擦力滑动过程只受摩擦力f = mg22ddxgt 即即10cv 0( ) (1)v tgtv 2021( )2x tgtv tc 20c 201( ) (2)2x tgtv t 10=0 (3)gtv 210 11=10 (4)2gtv t 020vg 20 1.02 9.81 14.15(/ )ms 50.9(/ )km h 福福 州州 大大 学学92021-11-14五、小结五、小结解法解法 通过代换将二

8、阶微分方程化成一阶微通过代换将二阶微分方程化成一阶微分方程来求解分方程来求解.福福 州州 大大 学学102021-11-14一、求下列各微分方程的通解一、求下列各微分方程的通解: :1 1、xxey ； 2 2、21yy ；3 3、yyy 3)(； 4 4、0122 yyy. .二、二、 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解求下列各微分方程满足所给初始条件的特解: :1 1、0,1,01113 xxyyyy；2 2、1,0,0002 xxyyyay；3 3、2,1,300 xxyyyy. .三、三、 试求试求xy 的经过点的经过点)1,0(m且在此点与直线且在此点与直线12 xy相切的积分曲

9、线相切的积分曲线 . .练练 习习 题题福福 州州 大大 学学112021-11-14练习题答案练习题答案一、一、1 1、32123cxcxcexeyxx ； 2 2、21)cos(lnccxy ； 3 3、12)arcsin(cecyx ； 4 4、xcxcy2111 . .二、二、1 1、22xxy ； 2 2、)1ln(1 axay； 3 3、4)121( xy. .三、三、121613 xxy. .福福 州州 大大 学学122021-11-14第六节第六节 线性微分方程解的结构线性微分方程解的结构一、二阶线性微分方程概念一、二阶线性微分方程概念二、线性微分方程的解的结构二、线性微分方程

10、的解的结构 第四章第四章 福福 州州 大大 学学132021-11-14二阶二阶线性线性微分方程微分方程22dd( )( )( )ddyyp xq x yf xxx,0)(时时当当 xf二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程/,0)(时时当当 xf特点特点:方程左边关于方程左边关于 y, y 及及 y 都是都是一次一次的的一、二阶线性微分方程概念一、二阶线性微分方程概念福福 州州 大大 学学142021-11-14一阶线性一阶线性非齐次非齐次微分方程的通解为微分方程的通解为: cxexqeyxxpxxpd)(d)(d)(xexqecexxpxxpx

11、xpd)(d)(d)(d)( 对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程的一个特解非齐次方程的一个特解 (c=0) 回顾回顾福福 州州 大大 学学152021-11-14二、线性微分方程的解的结构二、线性微分方程的解的结构1.1.二阶线性二阶线性齐次齐次方程解的结构方程解的结构: :定理定理1 1.)1(),(,)1()()(21221121的解的解也是也是是任意常数是任意常数则则的两个解的两个解是方程是方程与与若函数若函数ccycycyxyxy )1(0)()( yxqyxpy问题问题: :一一定定是是通通解解吗吗？2211ycycy 例：设例：设 y1 为为 (1) 的解的解 , 则则 y

12、2=2 y1 是是 (1) 的解的解,但是但是 , y=c1 y1+c2 y2 不为不为 (1) 的通解的通解 .不一定不一定1122yc yc y11212()c ycy11212()c ycy1cy 福福 州州 大大 学学162021-11-14定义定义: :若在区间若在区间 i 上有上有常数，常数， )()(21xyxy则称函数则称函数)(1xy与与)(2xy在在 i 上上线性无关线性无关.例如例如, 0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常数常数且且 xyy.sincos21为方程的通解为方程的通解xcxcy 福福 州州 大大 学学172021-11-142.2.二阶二阶非

13、齐次非齐次线性方程的解的结构线性方程的解的结构: :福福 州州 大大 学学182021-11-140,.xxeeyyyxyyxyyx例例1 1 已已知知为为二二阶阶线线性性非非齐齐次次方方程程的的两两个个解解 又又为为的的一一个个特特解解求求的的通通解解 12xxyxc ec e 例例2 设设 是二阶线性非齐次方程的三个是二阶线性非齐次方程的三个线性无关的解，试用线性无关的解，试用 表示方程的通解表示方程的通解.321,yyy321,yyy 1322313yycyycyy ( 如作业如作业p87 一一4)福福 州州 大大 学学192021-11-14定理定理 4 4 设非齐次方程设非齐次方程(

14、2)(2)的右端的右端)(xf是几个函是几个函 数之和数之和, , 如如)()()()(21xfxfyxqyxpy 而而*1y与与*2y分别是方程分别是方程, , )()()(1xfyxqyxpy )()()(2xfyxqyxpy 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解. . 解的叠加原理解的叠加原理)2()()()(xfyxqyxpy 福福 州州 大大 学学202021-11-14n 阶阶线性微分方程线性微分方程).()()()(1)1(1)(xfyxpyxpyxpynnnn 二阶非齐次线性方程的二阶非齐次线性方程的解的结构解的结构可以可以推广推广: :定

15、定理理 设设*y是是 n 阶阶非非齐齐次次线线性性方方程程 )()()()1(1)(xfyxpyxpynnn 的的一一个个特特解解, , y是是与与其其对对应应的的齐齐次次方方程程的的 通通解解, , 那那么么*yyy 是是 n 阶阶非非齐齐次次线线性性微微分分 方方程程的的通通解解. . 福福 州州 大大 学学212021-11-14四、小结四、小结主要内容主要内容2、二阶线性微分方程解的结构定理、二阶线性微分方程解的结构定理1、函数的线性相关与线性无关；、函数的线性相关与线性无关；福福 州州 大大 学学222021-11-14补充内容补充内容可观察出可观察出一个一个特解特解0)()( yx

16、qyxpy, 0)()()1( xxqxp若若;xy 特解特解, 0)()(1)2( xqxp若若;xey 特特解解, 0)()(1)3( xqxp若若.xey 特特解解40( )( )( ),p xq x 若若4 4+ +2 22.xye 特特解解福福 州州 大大 学学232021-11-14思考题思考题思考题解答思考题解答321,yyy都是微分方程的解都是微分方程的解,23xeyy ,212xyy 是是对应对应齐次方程的解齐次方程的解,21223xeyyyyx 常数常数所求通解为所求通解为212.xc ec x 132221ycyycyy 福福 州州 大大 学学242021-11-14一、一、 验证验证21xey 及及22xxey 都是方程都是方程0)24(42 yxyxy的解的解, ,并写出该方程的通并写出该方程的通解解 . .二、二、 证明下列函数是相应的微分方程的通解证明下列函数是相应的微分方程的通解: :1 1、),(ln212221是任意常数是任意常数ccxxcxcy 是方程是方程 0432 yyxyx的通解；的通解；2 2、),(2)(12121是任意常数是任意常数cceececxyxxx 是是 方程方程xexyyyx 2的通解的通解 . .练练 习习 题题 福福 州州 大大 学学25202