正、余弦定理及应用举例

1、1【考纲下载考纲下载】1. 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题有关的实际问题.正、余弦定理及应用举例正、余弦定理及应用举例2正弦定理正弦定理(1)定理定理： = 其中其中r为三角形外接圆的半径为三角形外接圆的半径(2)变式变式：a，b ，c ；sin a ，sin b ，sin c ；abc .2rsina2rsinb2rsincsinasinbsinc1提示：提示：已知三角形的

2、两边和其中一边的对角，利用正弦定理求其他的角和已知三角形的两边和其中一边的对角，利用正弦定理求其他的角和边时，要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解，两解，无解三边时，要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解，两解，无解三种情况种情况32余弦定理余弦定理 (1)定理：定理：a2 ； b2 ； c2 ； (2)变式：变式：cos a ； cos b ； cos c .b2c22bccosaa2c22accosba2b22abcosc提示：提示：在在abc中，已知中，已知a，b，a，求，求c时，利用余弦定理时，利用余弦定理a2b2c22bccos a得到关于得到关于c的二次方程，但也应注

3、意三角形解的个数的判断的二次方程，但也应注意三角形解的个数的判断43三角形面积公式三角形面积公式(1)s (ha表示表示a边上的高边上的高)；(2)s absin c ；(3)s r(abc)(r为内切圆半径为内切圆半径)实际问题中的常用角实际问题中的常用角(1)仰角和俯角仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线线在水平视线 叫仰角；目标视线在水平视线叫仰角；目标视线在水平视线 叫俯角叫俯角( (如图如图) )上方上方下方下方45(2)方位角方位角指从指从 方向顺时针转到目标方向线的水平角，如

4、方向顺时针转到目标方向线的水平角，如b点的方位角为点的方位角为(如图如图)正北正北(3)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数提示：提示：在解决与三角形有关的实际问题时，首先要明确题意，正确画出平在解决与三角形有关的实际问题时，首先要明确题意，正确画出平面图形或空间图形，然后根据条件和图形特点将问题归结到三角形中解决面图形或空间图形，然后根据条件和图形特点将问题归结到三角形中解决61abc的内角的内角a，b，c的对边分别为的对边分别为a，b，c.若若c ，b ，b120， 则则a等于等于()解析：解析：由正弦定理得由正弦定理得 又又c为锐角，则为锐角，则c30

5、，a30，abc为等腰三角形，为等腰三角形，ac . 答案：答案：d72(2009广东卷广东卷)已知已知abc中，中，a，b，c的对边分别为的对边分别为a，b，c. 若若ac ，且，且a75，则，则b()解析：解析：ac，a75，b30，b2a2c22accos 30b2.答案：答案：a83已知锐角已知锐角abc的面积为的面积为3 ，bc4，ca3，则角，则角c的大小为的大小为() a75 b60 c45 d30答案：答案：b94在在200m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别是高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别是 30、60，则塔高为，则塔高为_m.在在acd中，由余弦

6、定理得，中，由余弦定理得，解析：解析：如如图，由已知可得图，由已知可得bac=30，cad=30， bca=60，acd=30，adc=120，10判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形等腰直角三角形”与与“等腰三角形或直角三角形等腰三角形或直角三角形”的区别依据已知条件中的区别依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两条途径：的边角关系判断时，主要有如

7、下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用abc这个结论这个结论11 在在 中，中， 分别表示三个内角分别表示三个内角 的对边，如的对边，如果果 ，判

8、断三角形的形状，判断三角形的形状思维点拨：利用正弦定理、余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角思维点拨：利用正弦定理、余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系角关系【例例1】解：解法一：已知等式可化为解：解法一：已知等式可化为a2sin(ab)sin(ab)b2sin(ab)sin(ab)2a2cos asin b2b2cos bsin a由正弦定理可知上式可化为：由正弦定理可知上式可化为：sin2acos asin bsin2bcos bsin asin asin b(sin acos asin bcos b)0sin 2asin 2b，由，由02a,2b2，得得2a2b或或2a2b

9、，即，即ab或或a b，abc为等腰或直角三角形为等腰或直角三角形12解法二：解法二：同解法一可得同解法一可得2a2cos asin b2b2sin acos b，由正、余弦定理，可得由正、余弦定理，可得a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)即即(a2b2)(a2b2c2)0ab或或a2b2c2，abc为等腰或直角三角形为等腰或直角三角形.13三角形一般由三个条件确定，比如已知三边三角形一般由三个条件确定，比如已知三边a，b，c，或两边，或两边a，b及夹角及夹角c，可以将可以将a，b，c或或a，b，c作为解三角形的基本要素，根据已知条件，通过正作为解三角形的基本要素，根据已知条件，通过正弦定

10、理、余弦定理、面积公式等利用解方程组等手段进行求解，必要时可考弦定理、余弦定理、面积公式等利用解方程组等手段进行求解，必要时可考虑作辅助线，将所给条件置于同一三角形中虑作辅助线，将所给条件置于同一三角形中14(1)求求abc的面积；的面积；(2)若若c1，求，求a的值的值形面积公式求解即可；形面积公式求解即可；(2)(2)根据第根据第(1)(1)问求出的问求出的bcbc，结合，结合b bc c就可以求出就可以求出b b， c c的值，根据余弦定理求解的值，根据余弦定理求解15解：解：(1)因为因为得得bccos a3，所以，所以bc5.因此因此sabc bcsin a2.(2)由由(1)知，知

11、，bc5.又又c1，所以，所以b5，由余弦定理，得由余弦定理，得a2b2c22bccos a20，所以所以a2 . 16 已知已知abc顶点的坐标分别为顶点的坐标分别为a(3,4)，b(0,0)，c(c,0)(1)若若c5，求，求sin a的值；的值；(2)若若a为钝角，求为钝角，求c的取值范围的取值范围解：解：(1)解法一：解法一：a(3,4)，b(0,0)，|ab|5.又又c(c,0)，sin b .当当c5时，时，|bc|5，由正弦定理得由正弦定理得变式变式2：17解法二：解法二：a(3,4)，b(0,0)，|ab|5.当当c5时时，|bc|5.由余弦定理得由余弦定理得(2)a(3,4)

12、，b(0,0)，c(c,0)，|ac|2(c3)242，|bc|2c2.a为钝角，为钝角，cos a0，即，即|ab|2|ac|2|bc|20.52(c3)242c2506c .18三角函数作为联系代数与几何问题的纽带和桥梁，往往出现在综合题中三角函数作为联系代数与几何问题的纽带和桥梁，往往出现在综合题中解三角形就是这样一种常见而又典型的问题，在三角形的三角变换中，正、解三角形就是这样一种常见而又典型的问题，在三角形的三角变换中，正、余弦定理是解题的基础余弦定理是解题的基础【例例3】 abc中，中，a，b，c所对的边分别为所对的边分别为a，b，c，tan c ， sin(ba)cos c. (

13、1)求求a，c； (2)若若sabc3 ，求，求a，c. 19思维点拨：思维点拨：(1)变换变换tan c ，寻找寻找a，b，c的三角函数之间的关的三角函数之间的关系系；(2)在解决了第在解决了第(1)问的情况下，则相当于知道了三角形的三个内角，根问的情况下，则相当于知道了三角形的三个内角，根据三角形面积公式和正弦定理就可以得到一个关于据三角形面积公式和正弦定理就可以得到一个关于a，c的方程组，解这个方的方程组，解这个方程组即可程组即可20解：解：(1)因为因为tan c所以所以sin ccos asin ccos bcos csin acos csin b，即即sin ccos acos c

14、sin acos csin bsin ccos b，得得sin(ca)sin(bc)所以所以cabc，或，或ca(bc)(不成立不成立)， 即即2cab，又因为又因为sin(ba)cos c ，21由正弦定理，得由正弦定理，得由由、得得22变式变式3： (2009山东卷山东卷)已知函数已知函数f(x)2sin xcos2 cos xsin sin x(0)在在x处取最小值处取最小值(1)求求的值；的值；(2)在在abc中，中，a，b，c分别是角分别是角a，b，c的对边已知的对边已知a1，b ，f(a) ，求角，求角c.解：解：(1)f(x)2sin x cos xsin sin xsin xs

15、in xcos cos xsin sin xsin xcos cos xsin sin(x)因为因为f(x)在在x处取最小值，所以处取最小值，所以sin()1，故故sin 1.又又0，所以所以 .23(2)由由(1)知知因为因为且且a为为abc的内角，所以的内角，所以由正弦定理得由正弦定理得24解斜三角形有着广泛的应用，如测量、航海、几何、物理诸方面都要用到解解斜三角形有着广泛的应用，如测量、航海、几何、物理诸方面都要用到解斜三角形的知识，解此类问题一般步骤是：斜三角形的知识，解此类问题一般步骤是：(1)阅读理解，画出示意图，分阅读理解，画出示意图，分清已知和所求，尤其要理解应用题中有关名词和

16、术语，如坡度、仰角、俯角、清已知和所求，尤其要理解应用题中有关名词和术语，如坡度、仰角、俯角、象限角、方位角等；象限角、方位角等；(2)分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形；分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形；(3)解这些三角形，求出答案解这些三角形，求出答案25 (2009 (2009辽宁卷辽宁卷)如图，如图，a，b，c，d都在同一个与水平面垂直的平面内，都在同一个与水平面垂直的平面内，b，d为为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面a处测得处测得b点和点和d点的仰角分别为点的仰角分别为75，30，于水面，于水面c处测得处测得b点和点和d点的仰角均为点

17、的仰角均为60，ac0.1 km.试探究图中试探究图中b，d间间距离与另外哪两点间距离相等，然后求距离与另外哪两点间距离相等，然后求b，d的距离的距离(计算结果精确到计算结果精确到0.01 km， 1.414， 2.449)【例例4】26解：解：在在acd中中，dac30，adc60dac30，所以所以cdac0.1.又又bcd180606060，故故cb是是cad底边底边ad的中垂线，所以的中垂线，所以bdba.故故b，d的距离约为的距离约为0.33 km.27【方法规律方法规律】1正、余弦定理和三角形面积公式是本讲课的重点，能利用三角形内角正、余弦定理和三角形面积公式是本讲课的重点，能利用

18、三角形内角和、边、角之间的关系，三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求解三和、边、角之间的关系，三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求解三角形，以及利用它们解决一些实际问题角形，以及利用它们解决一些实际问题2应熟练掌握和运用内角和定理：应熟练掌握和运用内角和定理：abc， 中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数3正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin2asin2bsin2c2sin bsin ccos a，可以进行化简或证明，可以进行化简或证明4根据所给

19、条件确定三角形的形状，主要有两种途径：根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；化边为角；(2)化角为边，并常用正弦化角为边，并常用正弦(余弦余弦)定理实施边、角转换定理实施边、角转换.28【高考真题高考真题】(2009安徽安徽)在在abc中，中，sin(ca)1，sin b .(1)求求sin a的值；的值；(2)设设ac ，求，求abc的面积的面积29【规范解答规范解答】解：解：(1)由由sin(ca)1，ca，知知又又abc，所以，所以2ab ，故故cos 2asin b，30 本题的关键是关系式本题的关键是关系式2ab ，命题者把这个关系用，命题者把这个关系用sin

20、(ca)1表达表达出来，然后在条件出来，然后在条件sin b 下求解下求解sin a(实际上也可给出实际上也可给出sin a或或cos a的值的值求解求解sin b、cos b等等)，重在考查方程思想在解题中的应用，重在考查方程思想在解题中的应用【探究与研究探究与研究】31 确定三角形的条件之一就是知道三角形的两个内角的大小确定三角形的条件之一就是知道三角形的两个内角的大小(实际上就是知实际上就是知道了三个内角的大小道了三个内角的大小)及一个边长，在解题中要善于利用确定三角形的条及一个边长，在解题中要善于利用确定三角形的条件分析解决问题，如本题中由第件分析解决问题，如本题中由第(1)问的结果，实际上就是知道了该三角问的结果，实际上就是知道了该三角形的三个内角的大小，第形的三个内角的大小，第(2)问中又给出了一个边长，根据正弦定理可以问中又给出了一个边长，根据正弦定理可以求出另外两边的长，这样使用