第六章第2讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题

1、第 2 讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题,学生用书 P111)1二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域AxByC0直线 AxByC0 某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线AxByC0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的 x 和y 的取值构成的有序数对(x， y)， 叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集3线性规划的有关概念名 称意 义约束条件由变量 x，y 组成的不等式(组)线性约束条件由 x，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组

2、)目标函数关于变量 x，y 的函数解析式，如 zx2y线性目标函数关于变量 x，y 的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题1辨明两个易误点(1)画出平面区域，避免失误的重要方法就是首先将二元一次不等式化为 axbyc0(a0)的形式；(2)线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有2求 zaxby(ab0)的最值方法将函数 zaxby 转化为直线的斜截式：yabxzb，通过求直线的截距

3、zb的最值间接求出 z 的最值(1)当 b0 时，截距zb取最大值时，z 也取最大值；截距zb取最小值时，z 也取最小值；(2)当 b0 时，截距zb取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值1(必修 5 P91 练习 T1(1)改编)已知实数 x，y 满足约束条件yx，xy1，y1，则 z2xy 的最大值为()A3B.32C32D3解析：选 A.画出可行域，如图阴影部分所示由 z2xy，知 y2xz，当目标函数过点(2，1)时直线在 y 轴上的截距最大，为 3.2(2015高考福建卷)若变量 x，y 满足约束条件x2y0，xy0，x2y20，则 z2xy 的最小值等于()A5

4、2B2C32D2解析：选 A.作可行域如图，由图可知，当直线 z2xy 过点 A 时，z 值最小，由x2y20，x2y0，得点 A(1，12)，zmin2(1)1252.3(2016扬州模拟)点(2，t)在直线 2x3y60 的上方，则 t 的取值范围是_解析：因为直线 2x3y60 的上方区域可以用不等式 2x3y60 表示，所以由点(2，t)在直线 2x3y60 的上方得43t60，解得 t23.答案：23，4在平面直角坐标系中，若不等式组xy10，x10，axy10(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于 2，则 a 的值等于_解析：易知 axy10 过定点 B(0，1)，作出可行域(如

5、图)，可得点 A(1，a1)，所以 SABC12(a1)12，解得 a3(经检验满足题意)答案：3考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域学生用书 P111(1)(2014高考安徽卷)不等式组xy20，x2y40，x3y20表示的平面区域的面积为_(2)若不等式组xy0，2xy2，y0，xya表示的平面区域是一个三角形， 则 a 的取值范围是_解析(1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由x3y20，x2y40得 A(8，2)由 xy20 得 B(0，2)又|CD|2，故 S阴影122212224.(2)不等式组xy0，2xy2，y0表示的平面区域如图所示(阴影部分)解yx，2xy2得

6、A23，23 ；解y0，2xy2得 B(1，0)若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线 xya 中的 a 的取值范围是 0a1 或 a43.答案(1)4(2)(0，143，若本例(2)条件变为：若不等式组xy50，ya，0 x2表示的平面区域是一个三角形，则 a 的取值范围是_解析：如图，当直线 ya 位于直线 y5 和 y7 之间(不含 y7)时满足条件答案：5，7)二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定方法(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式(组)若满足不等式(组)，则不等式(组)表示的平面区域为直线与

7、特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域；(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点.1.(1)不等式(x2y1)(xy3)0 在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是()(2)不等式组x0，xy3，yx1表示的平面区域为，直线 ykx1 与区域有公共点，则实数 k 的取值范围为()A(0，3B1，1C(，3D3，)解析：(1)选 C.(x2y1)(xy3)0，即x2y10，xy30或x2y10，xy30，与选项 C符合故选 C.(2)选 D.直线 ykx1 过定点 M(0，1)，由图可知，当直线 ykx1 经过直线 yx1 与直线

8、xy3 的交点 C(1，2)时，k 最小，此时 kCM2（1）103，因此 k3，即k3，)故选 D.考点二求线性目标函数的最值(范围)(高频考点)学生用书 P112线性目标函数的最值(范围)问题是每年高考的热点，属必考内容，题型多为选择题和填空题，难度适中，属中档题高考对线性目标函数最值(范围)问题的考查有以下两个命题角度：(1)求线性目标函数的最值(范围)；(2)已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)(1)(2015高考全国卷)若 x， y 满足约束条件xy20，x2y10，2xy20，则 z3xy 的最大值为_(2)(2015高考山东卷)已知 x，y 满足约束条件xy0，xy2，

9、y0.若 zaxy 的最大值为 4，则a()A3B2C2D3解析(1)画出可行域(如图所示)因为 z3xy，所以 y3xz.所以直线 y3xz 在 y 轴上截距最大时，即直线过点 B 时，z 取得最大值由xy20，x2y10解得 B(1，1)，所以 zmax3114.(2)画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若 zaxy 的最大值为 4，则最优解为 x1，y1 或 x2，y0，经检验知 x2，y0 符合题意，所以 2a04，此时 a2.答案(1)4(2)B利用线性规划求目标函数最值的步骤(1)画出约束条件对应的可行域；(2)将目标函数视为动直线，并将其平移经过可行域，找到最优解对应的点

10、；(3)将最优解代入目标函数，求出最大值或最小值注意对于已知目标函数的最值，求参数问题，把参数当作已知数，找出最优解代入目标函数2.(1)(2016贵阳监测考试)已知实数 x，y 满足：x2y10，x2，xy10，则 z2x2y1 的取值范围是()A.53，5B0，5C.53，5D.53，5(2)当实数 x，y 满足x2y40，xy10，x1时，1axy4 恒成立，则实数 a 的取值范围是_解析：(1)画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线 l：2x2y10(图略)，平移 l 可知 2132231z0，且在点 A(1，0)处取得最小值，在点 B(2，1)处取得最大值，故 a1，2a

11、14，故 a 的取值范围为1，32 .答案：(1)D(2)1，32考点三线性规划的实际应用学生用书 P112(2016高考全国卷)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、 乙两种新型材料生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg，乙材料 1 kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg，乙材料 0.3 kg，用 3 个工时生产一件产品 A 的利润为 2 100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元该企业现有甲材料 150 kg，乙材料 90 kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为_元.解析由题意，设产品 A 生产

12、x 件，产品 B 生产 y 件，利润 z2 100 x900y，线性约束条件为1.5x0.5y150，x0.3y90，5x3y600，x0，y0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由 xN，yN，可知取得最大值时的最优解为(60，100)，所以 zmax2 10060900100216 000(元)答案216 000利用线性规划解决实际问题的步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，主要变量有哪些由于线性规划应用题中的量较多，为了了解题目中量与量之间的关系，可以借助表格或图形；(2)设元：设问题中起关键作用的(或关联较多的)量为未知量 x，y，并列

13、出相应的不等式组和目标函数；(3)作图：准确作图，平移找点(最优解)；(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)；(5)检验：根据结果，检验反馈3.A，B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品已知 A 产品需要在甲机器上加工 3 小时，在乙机器上加工 1 小时；B 产品需要在甲机器上加工 1 小时，在乙机器上加工 3 小时在一个工作日内，甲机器至多只能使用 11 小时，乙机器至多只能使用 9 小时A 产品每件利润 300 元，B 产品每件利润 400 元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是_元解析：设生产 A 产品 x 件，B 产品 y 件，则 x，y

14、满足约束条件3xy11，x3y9，xN，yN，生产利润为 z300 x400y.画出可行域，如图阴影部分(包含边界)内的整点，显然 z300 x400y 在点 A 处取得最大值，由方程组3xy11，x3y9，解得x3，y2，则 zmax300340021 700.故最大利润是 1 700 元答案：1 700,学生用书 P113)方法思想数形结合思想求解非线性规划问题(2015高考全国卷)若 x，y 满足约束条件x10，xy0，xy40，则yx的最大值为_解析画出可行域如图阴影所示，因为yx表示过点(x，y)与原点(0，0)的直线的斜率，所以点(x，y)在点 A 处时yx最大由x1，xy40，得

15、x1，y3.所以 A(1，3)所以yx的最大值为 3.答案3(1)本题在求yx的取值范围时，利用数形结合思想，把yx转化为动点(x，y)与定点(0，0)连线的斜率解决这类问题时，需充分把握目标函数的几何含义，在几何含义的基础上加以处理(2)常见代数式的几何意义： x2y2表示点(x，y)与原点(0，0)的距离； （xa）2（yb）2表示点(x，y)与点(a，b)的距离；yx表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率值；ybxa表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率值1.(2016高考山东卷)若变量 x，y 满足xy2，2x3y9，x0，则 x2y2的最大值是()A4B9C10D12解析：选

16、C.作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设 P(x，y)为平面区域内任意一点， 则 x2y2表示|OP|2.显然， 当点 P 与点 A 重合时， |OP|2即 x2y2取得最大值 由xy2，2x3y9，解得x3，y1，故 A(3，1)所以 x2y2的最大值为 32(1)210.故选 C.2(2016洛阳统考)已知不等式组xy2，x0，ym表示的平面区域的面积为 2，则xy2x1的最小值为()A.32B.43C2D4解析：选 B.画出不等式组所表示的区域， 由区域面积为 2， 可得 m0.而xy2x11y1x1，y1x1表示可行域内任意一点与点(1，1)连线的斜率，所以y1x1的最小

17、值为0（1）2（1）13，所以xy2x1的最小值为43.1(2016长春模拟)不等式组x3y60，xy20表示的平面区域是()解析：选 B.x3y60 表示直线 x3y60 以及该直线下方的区域，xy20，b0)的最大值为 4，则 ab 的值为()A.14B2C4D0解析：选 C.作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知，zaxby(a0，b0)过点 A(1，1)时取最大值，所以 ab4.6(2016河南省六市第一次联考)已知实数 x、y 满足y1，y2x1，xym，如果目标函数 zxy的最小值为1，则实数 m()A6B5C4D3解析：选 B.画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所

18、示，作直线 l：yx，平移l 可知，当直线 l 经过 A(2，3)时符合题意，又 A(2，3)在直线 xym 上，所以 m5，故选B.7满足不等式组xy30，xy10，2y3的点(x，y)构成的区域的面积为_解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)易知 A 点的坐标为(2，3)，B 点的坐标为(1，2)，从而可知图中阴影部分的面积为12211.答案：18若 x，y 满足约束条件x0，x2y3，2xy3，则 zxy 的最大值是_解析：作出约束条件x0，x2y3，2xy3表示的平面区域，如图阴影部分所示，当直线 zxy 过点A(1，1)时，目标函数 zxy 取得最大值 0.答

19、案：09若实数 x，y 满足xy10，xy0，x0，则 z3x2y的值域是_解析：令 tx2y，则 y12xt2，作出可行域，平移直线 y12x，由图象知当直线经过 O 点时，t 最小，当经过点 D(0，1)时，t 最大，所以 0t2，所以 1z9，即 z3x2y的值域是1，9答案：1，910(2016郑州质检)若 x，y 满足条件3x5y60，2x3y150，y0，当且仅当 xy3 时，zaxy取得最小值，则实数 a 的取值范围是_解析：画出可行域，如图，直线 3x5y60 与 2x3y150 交于点 M(3，3)，由目标函数 zaxy，得 yaxz，纵截距为z，当 z 最小时，z 最大欲使

20、纵截距z 最大，则23a35.答案：23，3511.已知 D 是以点 A(4， 1)， B(1， 6)， C(3， 2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部) 如图所示(1)写出表示区域 D 的不等式组；(2)设点 B(1，6)，C(3，2)在直线 4x3ya0 的异侧，求 a 的取值范围解：(1)直线 AB、AC、BC 的方程分别为 7x5y230，x7y110，4xy100.原点(0，0)在区域 D 内，故表示区域 D 的不等式组为7x5y230，x7y110，4xy100.(2)根据题意有4(1)3(6)a4(3)32a0，即(14a)(18a)0，得 a 的取值范围是18a14.12(2

21、014高考陕西卷)在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在ABC 三边围成的区域(含边界)上(1)若PAPBPC0，求|OP|；(2)设OPmABnAC(m，nR)，用 x，y 表示 mn，并求 mn 的最大值解：(1)法一：因为PAPBPC0，又PAPBPC(1x，1y)(2x，3y)(3x，2y)(63x，63y)，所以63x0，63y0，解得x2，y2，即OP(2，2)，故|OP|2 2.法二：因为PAPBPC0，则(OAOP)(OBOP)(OCOP)0，所以OP13(OAOBOC)(2，2)，所以|OP|2 2.(2)因为OPmABn

22、AC，所以(x，y)(m2n，2mn)，所以xm2n，y2mn，两式相减得，mnyx.令 yxt，由图知，当直线 yxt 过点 B(2，3)时，t 取得最大值 1，故 mn 的最大值为 1.1(2016东北三校联合模拟)变量 x，y 满足约束条件y1，xy2，3xy14，若使 zaxy 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数 a 的取值集合是()A3，0B3，1C0，1D3，0，1解析：选 B.作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示易知直线 zaxy 与 xy2 或 3xy14 平行时取得最大值的最优解有无穷多个， 即a1 或a3，所以 a1 或 a3.2(2015高考浙江卷)已知实数 x，y 满足 x2y21，则|2xy4|6x3y|的最大值是_解析：因为 x2y21，所以 2xy40，6x3y0，所以|2xy4|6x3y|42xy6x3y103x4y.令 z103x4y，如图，设 OA 与直线3x4y0 垂直，所以直线 OA 的方程为 y43x.联立y43x，x2y21，得 A(35，45)，所以当 z103x4y 过点 A 时，z 取最大值，zmax103(35)4(45)