第一类曲线积分

1、问题的提出问题的提出对弧长的曲线积分的概念对弧长的曲线积分的概念几何意义与物理意义几何意义与物理意义对弧长的曲线积分的计算对弧长的曲线积分的计算第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分第一类曲线积分第一类曲线积分一、问题的提出一、问题的提出实例实例分割分割121, nmmm,),(iiis 取取iiiism ),(求和求和 niiiism1 ),(取极限取极限m取近似取近似曲线形构件的质量曲线形构件的质量 niiiis1 ),( 0lim oxy2m1 nmablis 1 im),(ii 1mim二、对弧长的曲线积分的概念二、对弧长的曲线积分的概念1.1.定义定义设设l为为 xoy面内一

2、条光滑曲线弧面内一条光滑曲线弧,is 为为又又),(ii ,),(iiisf ,),(1 niiiisf 在在l上有界上有界.),(yxf函数函数作乘积作乘积并作和并作和如果当各小弧段的长度的最大值如果当各小弧段的长度的最大值,0时时 在在l上任意插入一点列上任意插入一点列把把l分成分成n个小段个小段.设第设第i个小段的个小段的第第i个小段上任意取定的个小段上任意取定的长度为长度为一点一点,oxy2m1 nmablis 1 im),(ii 1mim121,nm mm曲线形构件的质量曲线形构件的质量 lsyxmd),( ,d),( lsyxf即即 lsyxfd),(这和的极限存在这和的极限存在,

3、 则称此极限为则称此极限为),(yxf函数函数在曲线弧在曲线弧 l 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分或或第一类曲线积分第一类曲线积分. . 积分和式积分和式被积函数被积函数 弧元素弧元素积分弧段积分弧段记作记作 niiiisf1),( niiiisf1),( 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分0lim 2. 性质性质 (1) 与积分路径的方向无关与积分路径的方向无关,即即 lsyxfd),( lsyxfd),()(ab)(ba对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分在在函函数数),()2(yxf lsyxfd),(闭曲线闭曲线l l上上对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分记作记作三、对弧长曲线积分的计算三、

4、对弧长曲线积分的计算定理定理),()()( ttytxl的参数方程为的参数方程为上上在在曲曲线线弧弧设设lyxf),(上上在在,)(),( tt其中其中且且 f),(t )(t )( 有定义且连续有定义且连续,具有一阶连续导数具有一阶连续导数, lsyxfd),( 注意注意对弧长的曲线积分要求对弧长的曲线积分要求0d s定积分的下限定积分的下限一定要小于上限一定要小于上限 tttd)()(22 特殊情形特殊情形bxaxyl ),(: lsyxfd),()(ba baxf,(1)xx d)(12 )(x dycyxl ),(: lsyxfd),()(dc (2) dcyyf),( yy d)(1

5、2 f),(t )(t lsyxfd),( tttd)()(22 )()(),(),(: ttztytx推广推广 szyxfd),(tttttttfd)()()()(),(),(222 )( f),(t )(t lsyxfd),( tttd)()(22 例例解解例例)20(.,sin,cos:,d 的一段的一段其中其中求求kzayaxsxyzi解解 kai 202sincos22221kaka .)2 , 2(2,d2的的一一段段上上自自原原点点到到为为其其中中求求xylsyil 20yi)155(31 xy22 )20( y22yx d22ka yy d12 )2 , 2( xy22 xyo

6、,d22 lyxse计算计算,:222ayxl 由圆周由圆周轴轴及及直线直线xxy 在第一象限中所围图形的边界在第一象限中所围图形的边界.ab lyxsed22 boaboa提示提示解解:oa, 0 y oayxsed22xsd01d2 :abcos ,sin ,xat yat04t seabyxd2240dtdtae a xeaxd01 aeaae4 ,0ax xyoab:bo,xy seboyxd22xsd11d2 xeaxd222021 ae lyxsed22故故aaaee4)1(2 .220ax xyo,1),(时时当当 yxf上的上的表示立于表示立于当当lyxf),( ssl),(y

7、xfz 几何意义几何意义 lsd(1)(2),),(处的高时处的高时柱面在点柱面在点yx四、几何四、几何意义与物理意义与物理意义意义 lsyxfd),(柱面面积柱面面积弧长弧长 l lsyxfd),(22 ( )cos , ( )sin ( )( )df rrrr:( ),l rr 22222()()rrxy2222xyzr解解例例 求圆柱面求圆柱面 被截在球被截在球02:cos , ,l rr 由对称性知，所求面积是第一卦限部分面由对称性知，所求面积是第一卦限部分面积的积的4倍倍2224lsrxy ds24r222204cosrr对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分内的部分曲面的面积。内的部分曲

8、面的面积。rd轴轴的的转转动动惯惯量量轴轴及及曲曲线线弧弧对对yx)2(,d2 lxsyi 曲曲线线弧弧的的质质心心坐坐标标)3(,dd llssxx 的线密度时的线密度时表示表示当当lyx),()( 1 lsyxmd),( 物理意义物理意义 lysxid2 llssyydd 则则为为下下半半圆圆周周设设平平面面曲曲线线,12xyl ).(d)(22 syxl曲线积分曲线积分 解解 设下半圆周的参数方程设下半圆周的参数方程cos ,sinxt yt则则syxld)(22 22(cossin)tt 22dtdt( sin )(cos )tt 2对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分还有更简单的方法吗还

9、有更简单的方法吗? 在一条光滑在一条光滑(或分段光滑或分段光滑)的的是是l上上关于关于x 的奇函数的奇函数 lsyxfd),(是是l上关于上关于x 的偶函数的偶函数 ,d),(21 lsyxfl1是曲线是曲线l落在落在y 轴一侧的部分轴一侧的部分.在分析问题和算题时常用的在分析问题和算题时常用的l关于关于y轴轴 对称对称,补充补充对称性质对称性质曲线曲线l上连续上连续, ),(yxf设函数设函数则则, 0当当),(yxf(或或y)(或或y)当当),(yxf(或或x轴轴)(或或x) 例例 lsyx.d)(3其中其中l是圆周是圆周.222ryx 解解 llsysxdd3 lsyxd)(3,d ls

10、x对对因因积分曲线积分曲线l关于关于被积函数被积函数x是是l上上0d lsx lsy,d3对对被积函数被积函数0d3 lsy因因积分曲线积分曲线l关于关于3y222ryx 对称性对称性, ,计算计算得得0 是是l上上y轴对称轴对称,关于关于x的奇函数的奇函数x轴对称轴对称,关于关于y的奇函数的奇函数xyo例例).0(222 xryxabl解解xyo即即是右半圆周是右半圆周其中其中计算计算,d|lsyl ,轴轴对对称称关关于于xl故故 lsy d|2xyrd22r sydab,|的偶函数的偶函数为为yy ry02则则其周长为其周长为为椭圆为椭圆设设, 13422ayxl lsyxxyd)432(22a12解解 lsxyd20 lsyxd)43(1211222 lsyxd)34(1222sld112 a12 对称性对称性对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 lsyxxyd)432(22022