中学数学教育学概论

1、 苏霍姆林斯基 帕夫雷什中学首先，意味着他是个热爱孩子的人，第二，一个好老师应是精通他所教科目的那门科学的人，第三，一个好教师要是个懂得心理学和教育学的人，第四，一个好老师要精通某项技能，并且是这项技能的能手。数学教育的含义：1 广义：传播数学知识、数学技能的活动 2狭义：在中小学进行数学教学的活动数学教育学的含义：研究数学教育现象，揭示数学教育规律 “教什么、学什么”； “怎样教、怎样学”；“教得怎样， 学得怎样”以及相关的理论 数学教育学的特征：综合学科、交叉学科（ 历史性、发展性、实践性） 数学教育学是一门年轻学科，但其历史源远流长 （1）历史悠久 西方：“七艺”教育（文法、修辞、逻辑学

2、、算术、几何、天文、音乐） 中国：“六艺”教育（礼、乐、射、御、书、数） （2）年轻学科：（约100年） 1908年，第四届国际数学家大会，成立国际数学教育 委员会（ICMI） 1969年，法国里昂，第一届国际数学教育大会我国的最初的数学教育研究学科称“数学教授法”（1904）辛亥革命后改称“数学教学法”，并逐渐形成独立的学科案例分析：关于不等式性质的运用 已知 2x+y4, 1x-y2, 求4x-2y的范围。 一学生的解答过程为： 解 +得 32x6, 所以 64x12. 又由得 -4-x-y-2, +得 -3-2y0 故由、得 34x-2y12 请你分析学生的错误原因,并给出正确解答。以上

3、解法是常见的错解。此解法中，式说明了x的最大值是3，式说明了y的最大值是1.5，则x+y的最大值应是4.5，这显然与已知中x+y的最大值是4.5，那么究竟错在哪里呢？在解不等式或求变量范围时，不能违背不等式的等价性原则。事实上，x+y与x-y中的x，y不是独立的，而是相互制约的，只有x+y与x-y互不影响。因此，若将4x-2y用x+y与x-y线性表示，问题才能获得正确结果。正确解答设4x-2y=m(x+y)+n(x-y)(m，n为待定系数)则4x-2y=(m+n)x+(m-n)y于是得m+n=4m-n=-2得到m=1n=34x-2y= (x+y)+3(x-y)2x+y4,1x-y2，5(x+y

4、)+3(x-y) 10，故54x-2y 10，学习数学教育学的意义：1、有利于提升数学教师的专业素养2、有利于促进学生数学的学习发展 3、有利于数学课程改革的有效实施数学教育是一门综合学科、交叉学科：1研究领域的综合性 2 理论来源的综合性3研究方法的综合性4数学教育是一门关于 数学、教育学、心理学的交叉学科。课程是指学校学生所应学习的学科总和及其进程与安排。广义的课程是指学校为实现培养目标而选择的教育内容及其进程的总和，它包括学校老师所教授的各门学科和有目的、有计划的教育活动。狭义的课程是指某一门学科。国际课程改革的共同特征： 选择性、现代性、创新性、人文性我国基础教育的优势与不足：优势：

5、中小学生学习勤奋，基本功扎实，基础知识和基本技能熟练，等等（表现：国际评价中成绩优秀）问题与不足： 1 过分重视知识的传授，忽视学生学习兴趣和态度的培养。2课程内容繁、难、偏、旧和过于注重书本知识的现状，过分重视学科体系，忽视课程内容与学生生活以及现代社会发展的联系。3 过分强调接受学习、模仿训练，忽视学生的主动探索和合作交流，忽视学生创新意识的培养。4过分强调评价的甄别和选拔作用，忽视对学生纵向发展的关注。5学生的负担较重.全日制义务教育数学课程标准（2011版）介绍基本出发点：促进学生全面、持续、和谐地发展。基本理念;（1） 数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，面向全体学生，适应学

6、生个性发展的需要，使得：1人人都能获得良好的数学教育。2不同的人在数学上得到不同的发展2.课程内容要反映社会的需要、数学特点，要符合学生的认知规律。（2）数学课程的内容“应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动的进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流。（3）教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上（4） 评价应帮助学生认识自我，建立信心. 评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学.应建立评价目标多元、评价方法多样的评价体系 有效的教学活动是学生学与教师教的统一，

7、学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。（5）信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响。数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术，要注意信息技术与课程内容的整合，注重实效。内容解读：学段：通盘考虑义务教育阶段九年的课程内容，根据儿童发展的生理、心理特征，将九年的学习时间划分为三个学段。 第一学段 13年级第二学段 46年级第三学段 79年级 目标：四个方面：知识技能，数学思考，问题解决，情感态度。知识技能：获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。数学思考、问题解决：体会数学知识之间、数学与

8、其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。情感态度：了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度。课程实施义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。普通高中教育的定位和培养目标：普通高中教育是在九年义务教育基础上进一步提高国民素质、面向大众的基础教育，普通高中教育应为学生的终身发展奠定基础。课程的总体目标：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。必修5个模块，选修

9、系列1 有2个模块，系列2有3个模块，系列3有6个专题；系列4有10个专题课程的具体目标：知识与技能； 过程与方法； 情感态度价值观。弗赖登塔尔被称为“二十世纪数学教育之父” 创办了数学教育研究杂志，主要数学教育观点“现实数学教育”理论，现实数学教育理论具有五个基本特征：1情景问题是教学的平台：2 数学化是数学教育的目标；3学生通过自己努力得出的结论和创造是教育内容的一部分；4“互动”是主要的学习方式；5学科交织是数学教育内容的呈现方式。概括为：数学现实，数学化，再创造数学现实不同于客观现实，而是学生从现实中抽象、整理出来的数学知识及其现实背景的总和。人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运

10、用数学的思想方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程即数学地组织现实世界的过程就是数学化。数学化，是一个由浅入深，具有不同层次、不断发展的过程。学生“再创造”学习数学的过程实际上就是一个“做数学”(doing mathematics)的过程。其核心是数学过程再现。数学学习是一个经验、理解和反思的过程，强调以学生为主体的学习活动对学生理解数学的重要性，强调激发学生学生主动学习，做数学是学生理解数学的重要途径。波利亚的数学教育观：1.数学教育的根本目的： 1）“教会学生思考”传授知识，努力发展学生运用所学知识的能力，强调技能、技巧、有益的思考方式和理想的思维习惯。主动学习尽量让学生

11、在现有条件下亲自发现尽可能多的东西。最佳动机激发学生在学习中的好奇心，并寻求欢乐。循序渐进从行动与感知开始，发展到词语与概念，养成合理的思维习惯。解题理论：弄清问题，拟定计划，实现计划，回顾。广义：学习是人和动物所共有的一种心理活动，是指经验的获得以及比较持久的行为变化。狭义：仅指人类的学习。行为主义对学习的解释是强调可观察行为的获得，个体学到什么，怎么学习的都是环境刺激决定的。桑代克的尝试与错误学习说，斯金纳的操作性条件反射学习说 认知主义强调学习是获得知识、形成认知结构的过程。格式塔学派、布鲁纳、奥苏伯尔格式塔心理学也称为完形心理学，其学习理论又称“顿悟说”。这一理论认为，学习是知觉的重新

12、组织，而知觉经验变化的过程不是渐进的尝试与错误的过程，而是突然领悟的，且知觉起源于整体。 布鲁纳的认知结构学习论：学习的实质是学生主动地形成认知结构的过程。学生的认知学习就是获得知识结构的过程。奥苏泊尔的认知学习论：学习的实质是学习者利用原有认知结构中与新学习知识有关的观念去同化新知识，将知识纳入认知结构，并对其进行改组和再构，形成新的认知结构的过程。迁移的分类：从影响的作用来说，可分为正迁移和负迁移从影响方向来划分，分为顺向迁移和逆向迁移在数学学习中，应根据迁移的规律，充分发挥正迁移的促进作用，防止或减少负迁移的干扰作用 学生学习主要指在教育情境中，以掌握一定的系统科学知识技能、社会活动规范

13、和行为准则等为基本任务，有目标、按计划在一定组织形式下进行的比较持久的行为变化过程。学生学习的特点 1、以系统掌握间接经验为主，是在人类发现基础上的再发现；2、是在教师的指导下依据一定的课本教材进行的；3、目的是为今后进一步学习和发展奠定基础；4、受规定的学制时间限制数学的特点：抽象性、严谨性、广泛的应用性数学学习的特点 1、学生的数学学习是数学知识“再发现”的学习。2、学生的数学学习需要教师的“点拔”和“引导”。3、学生的数学学习需要较强的抽象概括能力与逻辑思维能力。影响学生数学学习的因素（内部因素，外部因素）内部因素：1智力因素2非智力因素外部因素：1教学因素2环境因素3学法因素智力是一种

14、综合的认识能力，它包括注意力、观察力、记忆力、想象力和思维力5个基本因素，抽象思维能力是智力的核心，创造力是智力的最高表现。非智力因素，它主要包括动机、兴趣、意志、情感和性格等。研究表明，学生的学业成就与智力因素具有中等程度相关，而非智力因素对学生成才起决定作用。在学习活动中，智力因素逻辑基本规律：同一律，矛盾律，排 中律，充足 理由律数学概念是反映客观事物空间形式和数量关系的本质属性的思维形式，它反映的是一类具有共同属性的事物（能区别于其他事物）的全体。数学概念是用数学语言表达的，主要表达形式是词语和符号。内涵：数学概念所反映对象的本质属性的总和，是概念在质的方面的反映，说明概念所反映的事物

15、是什么。 外延：数学概念所反映的全部对象，是概念在量方面的反映，说明概念所反映事物的范围数学概念的内涵和外延相互联系、互相依赖，给定一个概念，意味着就确定了它的内涵和外延。 概念的内涵和外延之间遵循着反变关系概念间的关系分为相容关系和不相容关系。相容关系：1同一关系：正三角形、等边三角形2交叉关系：矩形、菱形 3属种关系：有理数、实数不相容关系：1对立关系： 质数、合数（整数范围内）2矛盾关系：有理数、无理数（实数范围内）概念的定义就是揭示一个概念的内涵或外延的逻辑方法。所谓定义概念，就是准确地揭示一个概念的内涵或外延，使概念具有确定的内容和含义。定义一般由被定义项（DS）、定义项（DP）和定

16、义联项三部分组成。其中，被定义项是指要求给予明确的概念；定义项是指用来明确被定义项的概念；定义联项是指用来联接定义项和被定义项的词语。属加种差的定义 ：被定义项=邻近的属+种差发生式定义：发生式定义是属加种差定义的一种特殊形式。这是以被定义概念所反映的对象产生或形成的过程作为种差下定义的方式。关系定义。关系定义是属加种差定义的另一种特殊形式。这是以被定义概念所反映的对象之间的关系作为种差下定义的方式。如偶数的定义：“偶数是能被2整除的数，”就是关系定义。外延定义。外延定义就是通过揭示外延，明确被定义项概念所反映对象的全体范围的定义方式。 例如：正、负整数，正、负分数和零统称为有理数。有理数和无

17、理数统称为实数。约定式定义。语词定义。递归定义。定义规则：定义要相称。定义不能循环。 定义一般不用否定形式。定义应当简明、确切，完整。概念的划分规则：1划分应当是相称的。2每次划分都应按同一标准进行。3划分不应越级。推理合情推理燃情推理归纳部分到一般，特殊到一般类比（特殊到特殊）演绎推理必然性推理-三段论（一般到特殊）这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物也具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，通常称为归纳推理（简称归纳）简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。归纳推理的一般步骤： 对某类事物的部分对象(有限的资料)进行观察、分析、整理； 提出猜想；

18、检验猜想 这种由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理类比推理的一般步骤： 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； 检验猜想(通过证明确认猜想的正确性,或举出反例否定猜想)归纳推理、类比推理统称为合情推理，合情推理的结论不一定正确。演绎推理的形式正确，大前提错误，结论也是错误的演绎推理的含义：从一个一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法叫做演绎推理，它是一种由一般到特殊的推理过程，是一种必然性推理演绎推理

19、的前提与结论之间有蕴涵关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但是错误的前提可能导致错误的结论“三段论”推理是演绎推理的一般模式， 它包括：大前提：已知的一般性推理小前提：所研究的特殊情况结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断也可表示为： 大前提:M是P，小前提：S是M，结论：S是P用集合的知识可以理解为：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P合情推理与演绎推理的区别与联系区别：从定义上看：合情推理：前提为真，结论可能为真的推理演绎推理：根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理从定义上可以看出，合情推理与演绎

20、推理的区别是结论是否为真合情推理的结论可能为真，但演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，其结论必定为真故在数学论证中，证明命题的正确性，都是用演绎推理，而合情推理不能用作证明从推理形式上看：合情推理是由特殊到一般（归纳推理），或由特殊到特殊（类比推理）的认识过程，而演绎推理是由一般到特殊的认识过程 联系：二者相辅相成，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理 证明直接证明综合法分析法数学归纳法间接证明-反证法综合法：一般地，利用已知条件和某些已经学过的定义、公理、定理等，经过一系列的推理、论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做

21、综合法 。分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法数学归纳法是一种特殊的证明方法，主要用于证明与正整数有关的数学命题。特点：通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形数学能力是顺利完成数学活动所必须具备的，直接影响数学思维活动效率的一种个性心理特征。它是在数学活动过程中形成和发展起来的，并在这类活动中表现出来比较稳定的心理特征。 学校的主要教学原则有1科学性和思维性统一原则2因材施教原则3理论联系实际的原则4直观性原则5循序渐进原

22、则中学数学教学的基本原则：严谨性与量力性相结合原则，抽象与具体相结合原则，启发性与探索性相结合原则，理论与实践相结合原则，巩固与发展相结合原则数学的严谨性，是指数学具有很强的逻辑性和较高的精确性，即逻辑的严格性和结论的确定性 量力性是指学生的可接受性在数学教学中既要关注教学理论与教学实际的结合，也要关注数学理论与数学实际的结合。中学数学教学模式几种基本教学模式：讲授式，探究式，合作交流式，指导自学式讲授式教学模式是数学教学的基本模式，是一种以教师系统讲授为主的课堂教学模式主要实施程序为：组织教学；导入新课；讲授新课；巩固练习和布置作业优缺点：（1）优点： 能保证教师传授知识的系统性，主动性与连

23、贯性，易于控制课堂教学，充分利用时间（2）缺点：学生处于被动状态，不利于培养学生自学习惯和独立思考能力，搞不好会变成注入式满堂灌。 探究式模式也称为“引导发现”式，其主要目标是学习发现问题的方法，培养、提高创造性思维能力。模式程序：其突出的几个特点： 1主体性（学生）引导性（教师）2情景性（实验）探究性（原理）3建构性（认知）合作交流模式 其突出的几个特点：1 讨论交流的民主性（师生平等）2 好的话题（“一石激起千层浪”） 讨论交流的开放性（苹果交换，双方仍是一个苹果；思想交换，双方各有两种思想） 指导自学模式其策略为：“先学后教，先练后讲，教师指导，学生自学”。其突出的几个特点：1、有合适的

24、学习任务和明确的学习目标2、教师有效的指导3·体现自主学习的策略4、对数学自学的监控5、教、学的有序性当前我国数学教学模式的发展趋势：1教学模式的理论基础进一步加强；2数学教学模式由“以教师为中心”，逐步转向更多“学生参与”；3现代教育技术成为改变传统教学模式的一个突破口；4教学模式由单一化走向多样化和综合化；5研究性学习列入课程以后，随着“创新教育”的倡导，探究和发现的数学教育模式将会有一个大的发展广义的数学问题是指在数量关系和空间形式中出现的困难和矛盾。狭义的数学问题则是已经明显地表示出来的题目，用命题的形式加以表述， 包括证明类问题，求解类问题等。 传统的数学题的特征：接受性、

25、封闭性和确定性体现“问题解决”的数学问题类型：1、可以构建模型的非常规的实际问题，2、探究性问题 ，3、开放性问题 ，4、情景性问题问题解决是指综合地、创造性地运用各种数学知识去解决那种非单纯练习题式的问题，包括实际问题和源于数学内部的问题。数学问题解决的教育意义：学数学应该是“做数学”，即让学生通过问题解决来学习数学。 以“问题解决”作为数学教育的中心，则是应当努力帮助学生学会“数学地思维”。问题解决教学的策略1.创设问题情景，选择好问题；2.形成知识组块，优化认知结构；3.加强数学思维解题策略训练，注意及时反馈；4.引导学生开展探索活动。 以习题演练为基础，以问题解决为主导”一般的课堂教学

26、都包括五个环节：复习思考、创设情境、探究新课、巩固反思以及小结练习等。 （常规课堂教学模式教学重点，教学难点是指学生接受起来比较困难的知识点n 教学目标有远期目标,近期目标,过程性目标 新课标：知识技能目标，方法能力目标，情感 态度目标教案的主要项目和要求（1）课题（2）课型（2）教学目标 （3）教学重点和难点（4）教学方法（4）课时安排 （5）教法与教具 （6）教学过程（步骤）（7）板书设计和课后分析 常规数学教学的基本结构有复习、引入、 讲授、巩固和布置作业等几个基本步骤1直接导入 2以旧引新导入3悬念导入4问题导入5类比导入6练习导入7实例导入导入设计的基本要求1、导入目标要明确2、导入

27、要具有趣味性3、导入要具有启发性4、导入要遵循简洁性教学情境的类型：1、问题情境2、故事情境 3、活动情境4实验情境5、竞争情境数学问题的教学设计好的数学问题的特点： 探索性、现实性、趣味性、开放性、拓展性数学提问的设计的功能：a.反馈调控功能b.引发动机、激活思维的功能c.强化巩固功能d.培养能力的功能数学例题的功能： 引入新知识、解题示范、加深理解、提高能力等数学例题的选择：目的性、典型性、示范性、启发性、科学性、变通性和有序性。课堂练习一般可分为如下类型：导入性练习，理解性练，巩固知识的基础练习，应用性练习，综合性练习，形成性检测练习设计数学练习应遵循以下几个原则：目的性，针对性，层次性

28、，系统性，精练性，多样性数学课堂小结常见类型：总结根据式小结，比较异同式小结，提示规律式小结，延伸发展式小结所谓说课，一般地说就是让教师以语言为主要表述工具，在备课的基础上，面对同行、专家，系统而概括地解说自己对具体课程的理解，阐述自己的教学观点，表述自己具体执教某课题的教学设想、方法、策略以及组织教学的理论依据等，然后由大家进行评说。说课活动由两部分组成，依次为解说和评说。重点在解说，它要阐明的问题是教什么、怎样教和为什么要这样教及其理论依据。评说则是针对解说而进行的评议、交流和研讨。说课是对课程的理解、备课的解说、上课的反思。说课的内容：1说教材，2说学生，3说教法与学法，4说教学流程，5说板书及评价标准. 1说教材（1）教材简析。（2）明确提出本课时的具体教学目标。（3）说清本课教学重点、难点。2.说学生（1）学生知识基础和生活经验。（2）起点能力分析。（3）学生年龄上的心理特点。（4）学生学习上的差异。教师应抓住备课中备教材与备学生的结合点，结合点包括新知识点、新旧知识连结点、兴奋点、创新点。3.说教法与学法：说教法可以理解为教学方式，或者教学方法中某个具体的教学方式和手段的选择及应用。说学法不能停留在介绍学习方法这一层面上，要把主要精力放在解说如何实