第四章几何图形初步

1、第四章 几何图形初步4.1 几何图形知识点1 几何图形例 将下图中的立体图形进行分类解：柱体：(2)(3)(5)(6)；锥体：(1)；球体：(4)点睛：知识点2 从不同方向看几何体例 如图41-4是一个斜插吸管的饮料盒，你能想象出从正面、左面、上面看到的结果分别是图41-5中的哪幅图吗?答案： 解：从正面、左面、上面看到的结果分别是A、B、C点睛：从正面、左面、上面观察物体时，视线应与物体的表面垂直，所以从三个方向看到的饮料盒都是长方形，其区别在于吸管，从正面看到的吸管是向右倾斜的，即图A所示；从左面看到的吸管是竖直的，即图B所示；从上面看到的吸管应是“横放”的，即图C所示知识点3 展开图例

2、(2011，呼和浩特)将如图41-10所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是图41-11中的( )答案：C点睛：考查了几何体的展开图，解决此类问题，要充分考虑带有各种图案的面的特点及位置由原正方体知，带图案的三个面相交于一点，而通过折叠可知A、B都不符合，D折叠后图案的位置不对，所以选C知识点4 点、线、面、体例1 下列说法中：平面上的线都是直线；曲面上的线都是曲线；两条线相交只能得到一个交点；两个面相交只能得到一条线，不正确的个数为( ) A4 B3 C2 D1答案：A点睛：线有直线、曲线之分，根据点动成线，在平面上或曲面上都可以由一点任意运动形成直线或曲线，而不能误认为平面上

3、的线就是直的，曲面上的线就是曲的，故说法错误说法中没有明确是两条怎样的线相交，如一条曲线可以与一条直线相交形成无数个交点，同样两个曲面相交也可能得到不止一条线本题主要考查几何基本概念的辨析，线有直线和曲线之分，面有平面和曲面之分，所以我们考虑问题要全面例2 (2011，铜仁地区)将如图41-12所示的直角三角形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是图41-13中的( )答案：B点睛：此题考查面动成体；考查学生的空间想象能力及分析问题、解决问题的能力提升点全面突破例1 (2010，宁波)骰子是一种特别的数字立方体(见图41-14)，它符合规则：相对两面的点数之和总是7，图41-15中可以折成符合规则

4、的骰子的是( )答案：C点睛：用排除法：A选项中，点数1与点数3相对，它们的和为4，不等于7B选项和D选项中，点数1与点数5相对，它们的和不等于7，所以选C排除法是解决此类问题常用的方法例2 如图41-16是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，从正面、上面、左面看，所得图形为图41-17中的( )答案：B点睛：注意本题中四个正方体组成的立体图形从左面看与从正面看得到的图形是一样的例3 (2011，莱芜改编)如图41-18所示是由几个相同的小正方体搭成的几何体从不同方向看所得的图形，则搭成这个几何体的小正方体的个数是( ) A3 B4 C5 D6答案：C点睛：这个几何体的底层应该有3+1=4(

5、个)小正方体，第二层应该有1个小正方体，因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是4+1=5此题主要体现了对空间想象能力的考查综合能力养成例1 新年晚会某班教室内悬挂着多种多样的小饰品来增加节日的喜庆气氛，现在有长1 m，宽0.5 m的彩纸10张，将它们贴在正方体的表面能装饰多少个棱长为8 cm的正方体小饰品(互相之间可以拼接，不计接头损失)? 解：每个小正方体的表面积为6×8×8=384(cm2)，一张彩纸的面积为100×50=5000(cm2) 所以可装饰小正方体饰品5000 x 10÷384130(个)例2 用一个平面去截正方体，截得的多边形从边数来看

6、，可能有哪些结果?请画出这些可能的结果 解：用一个平面去截正方体，截面示意图如图41-20点睛：由于面与面相交得线，故当用平面去截一个正方体时，平面必然和正方体的一些面相交，当平面和正方体的三个面相交时，得到的多边形应该有三条边，即三角形；当平面和正方体的四个面相交时，得到的多边形必然有四条边。用平面去截一个正方体时。平面与正方体的几个面相交，则得到的多边形就是几边形，多边形的边数不可能超过正方体的面数例3 马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如图41-21所示的拼接图形(实线部分)，经折叠后发现还少一个面，请你在图中的拼接图形上再拼接一个正方形，使新拼接成的图形

7、经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子(添加所有符合要求的正方形，添加的正方形用阴影表示)答案： 解：如图41-22所示点睛：再拼接一个正方形，这个正方形必然与这5个大小一样的正方形相邻。我们可逐一讨论得满足题意的正方形的位置有4种情况例4 (探究题)把正方体的六个面分别涂上六种不同颜色，并画上朵数不等的花，各面上的颜色与花的朵数情况列表如下：颜色红黄蓝白紫绿花的朵数123456 现将上述大小相同，颜色、花朵分布完全一样的四个正方体拼成一个水平放置的长方体(如图41-23所示)，那么长方体的下底面共有多少朵花?答案： 解：由题意可得，右一的正方体的下侧为白色，右二的正方体的下侧为绿色，右三的正方

8、体的下侧为黄色，左一的正方体的下侧为紫色，那么长方体的下底面共有花4+6+2+5=17(朵)点睛：由图中显示的规律可分别求出右边正方体的下面为白色，左面为绿色，后面为紫色，按此规律，可依次得出右二的正方体的下侧为绿色，右三的正方体的下侧为黄色，左一的正方体的下侧为紫色，即可求出下底面的花朵数本题考查生活中的立体图形，同时考查了学生的空间思维能力分层实战训练A组1如下图所示的几何体中，由4个面围成的是( )答案：C 点睛：面有平面和曲面之分，A选项由四个平面和一个曲面围成，B选项由两个平面和一个曲面围成，C选项由四个平面围成，D选项由两个平面和一个曲面围成6如下图所示的四个几何体中，从正面看与从

9、上面看所得图形不同的共有( ) A1个 B2个 C3个 D4个答案：B点睛：圆柱从正面看是长方形或正方形，从上面看是圆，二者不同；圆锥从正面看是等腰三角形，从上面看是圆(含圆心)，二者不同7如下图，三个正方体的六个面都按相同规律涂有红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色，那么黄色、白色、红色的对面分别是( ) A蓝色、绿色、黑色 B绿色、蓝色、黑色 C绿色、黑色、蓝色 D蓝色、黑色、绿色答案：B 点睛：黄色与白、黑、红、蓝有公共边，因此黄色与绿色相对；同理，白色与蓝色相对，红色与黑色相对B组 1由平面图形围成的立体图形又叫做多面体，有几个面，就叫做几面体，三棱锥有4个面，所以三棱锥又叫做四面体；正方体

10、又叫做面体答案：六 点睛：多面体是以面数的多少来命名的3从长方体的正面看与从左面看得到的平面图形如下图所示(单位：cm)，则从其上面看得到的平面图形的面积是( ) A12 cm2 B8 cm2 C6 cm2 D4 cm2答案：A 点睛：结合从正面看和从左面看得到的平面图形可知从上面看得到的图形是长为4 cm，宽为3 cm的长方形所以从上面看得到的平面图形的面积是12 cm2，故选A5如图41-40是一个由多个相同的小正方体堆积而成的几何体从上面看得到的图形，图中所示数字为该位置小正方体的个数，则从左面看这个几何体得到的图形是图41-41中的( )答案：D 点睛：根据从上面看得到的图形，可知这个

11、几何体从左面看共有两列，其中左边一列有两个小正方体，右边一列有三个小正方体，因此选D6(2011，自贡)某位同学用棱长为l的正方体积木在水平桌面上堆成如下图所示的图形，然后把露出的表面都染成红色，则表面被他染成红色的面积为( ) A37 B33 C24 D21答案：B 点睛：此题关键是在计算面积时减去不露的或重叠的面积4.2 直线、射线、线段知识点1 直线例 下列关于直线的说法中，正确的是( ) A直线ab B直线AB与直线BA不是同一条直线 C直线a D直线AB与直线CD一定是两条直线答案：C点睛：选项A错，用两个字母表示直线时，必须大写；选项B错，直线AB与直线BA是同一条直线；选项C对；

12、选项D错，若A、B、C、D在同一直线上，则直线AB与直线CD是同一条直线知识点2 直线的基本事实例 过两点可确定一条直线，过A、B、C三点中的任意两点，共可确定直线的条数是( ) A1 B3 C1或2 D1或3答案：D点睛：需要分两种情况讨论，当A、B、C三点不在同一条直线上时，点A、点B确定一条直线，点B、点C确定一条直线，点A、点C确定一条直线，所以一共可以确定三条直线；当A、B、C三点在同一条直线上时，直线AB、BC、AC是同一条直线知识点3 线段例1 下图中共有线段( )A3条 B4条 C5条 D6条答案：D点睛：图中的线段有：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6条有两种解题思路，

13、思路一：如果按从左向右的顺序表示线段(重复的不计)，以A开头的线段有AB、AC、AD三条，以B开头的线段有BC、BD两条，以C开头的线段有CD一条，则共有1+2+3=6(条)线段思路二：每个点和其他三个点都能确定一条线段，则四个点共可以确定3×4=12(条)线段；每条线段如线段AB在A点和B点各被统计了一次，同理每条线段都被统计了2次，所以线段的条数为6例2 下图中共有线段条答案：31点睛：根据图形可得：线段AB上共有3条线段；线段AC上共有3条线段；线段BC上共有6条线段；线段AG上共有3条线段；线段AF上共有3条线段；线段CH上共有10条线段；线段EF上共有3条线段，所以共有3&

14、#215;5+10+6=31(条)线段知识点4 线段的延长线例 如下图所示，已知四点A、B、C、D(任意三点都不在一条直线上)，按照下列语句画出图形： (1)画线段AB； (2)画线段BD，作线段BD的延长线； (3)画线段AC，与线段DB相交于点O； (4)画线段BC并反向延长线段BC答案： 解：如下图所示点睛：(1)画线段AB，就是利用直尺将A、B两点用直的线连接起来；(2)作线段BD的延长线是指从D开始，沿着BD的方向画虚线；(3)画出线段AC，和线段DB相交的地方点个小圆点，标上字母O；(4)画出线段BC，反向延长线段BC即从点B开始，沿着CB的方向画虚线知识点5 射线例 如下图所示，

15、图中有几条射线?其中可表示的是哪几条?答案： 解：图中有8条射线，其中可以表示的有6条，即射线AB、射线BA、射线CA、射线CB、射线DA、射线DB点睛：以端点和方向分类，以A为端点的射线左右各一条，可表示的是射线AB；以B为端点的射线左右各一条，可表示的是射线BA；以C为端点的射线左右各一条，可表示的是射线CA、射线CB；以D为端点的射线左右各一条，可表示的是射线DA、射线DB知识点6 线段的大小比较例 如下图所示，有一张三角形纸片，你能准确地比较线段AB与线段BC的长短吗?答案： 解：方法一：叠合法：把边BC折到AB上，可知点C在线段AB上，所以ABBC 方法二：度量法：用刻度尺测得AB=

16、2.4 cm，BC=2 cm，所以ABBC.点睛：比较两条线段的长短可以用叠合法或度量法，如果使用叠合法，就设法使两条线段的一个端点重合，另一端点均在重合端点的同侧，从而比较线段的长短；如果使用度量法，则分别度量出两条线段的长，然后比较度量值的大小知识点7 中点例 如图4225，C是线段AB的中点，D是线段BC的中点，下列各式不正确的是( ) ACD=AC-DB BCD=AD-BC CCD=AB-BD DCD=AB-AD答案：C点睛：本题考查中点的文字语言、符号语言、图形语言的相互转化知识点8 线段的性质例 A、B、C三点在同一条直线上，A、B两点之间的距离为7 cm，B、C两点之间的距离为3

17、 cm，则A、C两点之间距离为答案：10 cm或4 cm点睛：(1)当点C在线段AB的延长线上时(如下图)， AC=AB+BC=10 cm(2)当点C在线段AB上时(如下图)， AC=AB-BC=4 cm 由于A、B、C三点共线，但没有说明A、B、C三点的顺序，故本题有两种情况，点C在线段AB的延长线上或点C在线段AB上提升点全面突破例1 如下图所示，图中有直线条，射线条，线段条答案：2；11；6点睛：图中有直线BC、AC，共两条；射线向一方延伸，以A为端点的射线有3条，以B为端点的射线有3条，以C为端点的射线有4条，以D为端点的射线有1条，共11条；线段有两个端点，图中共有线段6条例2 线段

18、AB上有两点P、Q，点P将AB分成两部分，AP：PB=2：3；点Q将AB也分成两部分，AQ：QB=4：1；且PQ=3 cm求AP、QB的长解：画出图形，如下图所示设AP=2x cm，则PB=3x cm，AB=5x cm因为AQ：QB=4：1，所以AQ=4x cm，QB=x cm所以PQ=PB-QB=2x cm。因为PQ=3 cm，所以2x=3所以x=1.5所以AP=3 cm，QB=1.5 cm点睛：(1)题目没有提供图形，我们首先应该考虑根据题意画出图形；(2)当题目出现线段长的比的时候，我们常考虑设未知数，利用方程思想解决例3 如下图所示，AB=16 cm，C是AB上任意一点，D是AC的中点

19、，E是BC的中点，求线段DE的长 解：因为D是AC的中点(已知)，所以DC=AC(m,点的定义)因为E是BC的中点(已知)，所以CE=BC(中点的定义)因为DE=DC+CE，所以DE=AC+BC=(AC+BC)= ABN为AB=16 cm，所以DE=8 cm点睛：根据线段中点的定义，可得出DC=AC，CE=BC，而DE=DC+CE，所以DE=AC+BC=(AC+BC)= AB，可求出DE的长例4 如下图所示，平原上有A、B、C、D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池，不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它与四个村庄的距离之和最小答案： 解：如下图所示，连接AC、

20、BD交于点H，H点即为所求的点点睛：要求点H与四个村庄的距离之和最小，即要求HA+HB+HC+HD最小，要使HA+HC最小，则H点必须在线段AC上；要使HB+HD最小，则H点必须在线段BD上，所以H点应该为AC与BD的交点例5 (2011，崇左)在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是答案：两点之间，线段最短点睛：根据线段的性质解答例6 往返于梅州与广州的某列车，运行途中停靠的车站依次是：梅州兴宁华城河源惠州东莞广州，试用所学知识说明要为该列车制作的火车票有几种答案： 解：可将这七个站看成七个点，如果将每两点之间都连一条线段，则可以得到条线段，每两个站间需要制作两种车票，所以一共

21、需要制作42种不同的车票点睛：本题易只考虑单程车票，没考虑双程车票数学知识的实际应用需要考虑实际情况综合能力养成例1 (阅读理解题)如下图，点O是线段AB上的点，点C、D分别是线段OA、OB的中点，小明很轻松地求得CD=AB。他在反思过程中突发奇想：若点O在线段AB的延长线上或直线AB外，原有的结论“CD=AB”是否仍然成立呢?请帮小明画出图形分析，并说明理由O在直线AB外时，通过画图、测量说明该结论是否成立 图1答案： 解：当点0在线段AB的延长线上时，如下图， 图2 CD=AB仍然成立 理由：因为点C、D分别是线段OA、OB的中点，所以0C=0A，OD=OB。 因为CD=OC-OD，所以C

22、D=0A-OB= (OA-OB)= AB当点0在直线AB外时，如下图， 图3 可通过度量，得出CD=AB仍然成立点睛：当点0在线段AB的延长线上时，如图2，可以看出CD=OC-OD，由中点定义得：OC=OA，OD=0B，由于AB=OA=OB，所以我们可以很容易用AB的长表示出CD的长如图3，当点0在直线AB外时，通过度量CD和AB的长来检验结论是否成立例2 (学科内综合题)如下图，在同一直线上有四点A、B、C、D，已知AD= DB，AC=CB且CD=4 cm。求AB的长答案： 解：设DB=x cm，则AD=x cm，AB=x cm AC=CB， CB=AB=×x =x (cm) CD

23、=DB-CB=x cm CD=4 cm，x=4，x=9 AB=×9=14(cm)点睛：由于AD= DB，AC=CB，故我们可借用这一关系，用一个未知数2表示出CD的长，即可得到一个关于x的一元一次方程，求出x的值，即可得到AB的长例3 如下图所示，一只小蚂蚁在圆锥形玩具底边的A处，它想绕着圆锥爬行一周后再回到A处，你能在圆锥的侧面展开图中画出它爬行的最短路线吗?答案： 解：能如下图所示，沿圆锥的顶点P和点A的连线剪开，将其侧面展开得到一个扇形，点A与点A在圆锥上是同一个点，连接AA，线段AA就是小蚂蚁爬行的最短路线点睛：解决立体图形上两点之间的最短距离问题时，通常把立体图形展成平面图

24、形，将问题转化为平面图形中两点之间距离的问题分层实战训练A组2下列说法正确的个数是( ) 数轴是一条射线，因为它有方向；射线AB和射线BA是同一条射线；线段AB和线段BA是同一条线段 A0 B1 C2 D3答案：B 点睛：数轴是一条具有原点、正方向、单位长度的直线；射线具有方向性，所以射线AB和射线BA不是同一条射线；线段AB和线段BA是同一条线段4四条直线两两相交时，交点的个数可能是( ) A1或4 B1或5 C1或6 D1、4或6答案：D 点睛：需要画图，分三种情况讨论5下列关于作图的语句中正确的是( ) A画直线AB=10厘米 B画射线OB=10厘米 C已知A、B、C三点，过这三点画一条

25、直线 D画线段AB=5厘米，并反向延长AB到C，使BC=10厘米答案：D点睛：由于直线和射线都无限长，所以A、B两个选项错误；因为C选项并没有说明A、B、C三点在同一直线上，所以C选项的说法也是错误的；D选项是正确的7如下图所示，平面上有6个点，任意三个点都不在同一条直线上，以这些点为端点，可以得到条线段答案：15点睛：以A为一个端点的线段有AB、AC、AD、AE、AF共5条，同理：以B、C、D、E、F为一个端点的线段也分别有5条，每条线段被重复统计了一次，所以共有=15(条)线段9如下图所示，有一个三角形ABC，你能说出AB+BC与AC的大小关系吗?答案：AB+BCAC点睛：本题采用了化归的

26、数学思想，将AB、BC两条线段组合在一起理解成从A到C的一条折线，然后根据“两点之间，线段最短”来确定AB+BC与AC的大小关系B组3如下图所示，在直线PQ上找一点C，使PC=3CQ，则点C( )A在点P、Q之间 B在点P左边C在点Q右边 D在点P、Q之间或在点Q的右边答案：D 点睛：注意应分情况讨论8在同一所学校上学的小明、小伟、小红三位同学住在A、B、C三个住宅区，如下图所示，A、B、C三点共线，且AB=60米，BC=100米，他们打算合租一辆接送车去上学，由于车位紧张，准备在此之间只设一个停靠点(设在直线AC上)，为使三位同学步行到停靠点的路程之和最小，你认为停靠点应该设在什么位置?答案

27、： 解：易知停靠点不应设在A左边或C右边若停靠点设在A住宅区，则他们的路程总和为220米； 若停靠点设在A住宅区与8住宅区之间，则他们的路程总和大于160米而小于220米； 若停靠点设在B住宅区，则他们的路程总和为160米； 若停靠点设在B住宅区与C住宅区之间，则他们的路程总和大于160米而小于260米； 若停靠点设在C住宅区，则他们的路程总和为260米 综上可知，接送车停靠点应设在B住宅区点睛：要确定停靠点的位置，我们需要分情况讨论4.3 角4.3.1 角知识点1 角的定义例 下列说法：两条射线所组成的图形叫做角；一条射线旋转而成的图形叫做角；两边成一直线的角是平角；平角是一条直线其中正确的

28、有( ) A1个 B2个 C3个 D4个答案：A点睛：由于和没有说明两条射线是否有公共端点，缺少角的组成要素，因而都是错的；正确；错，因为平角是角，不是直线角的概念是识别一个图形是不是角的主要依据，其他图形的识别也是如此，所以我们要十分重视对概念的正确理解。知识点2 角的四种表示方法例 如下图所示，(1)写出能用一个字母表示的角；(2)写出以点B为顶点的角；(3)图中共有多少个小于平角的角?解：(1)能用一个字母表示的角有：A、C(2)以点B为顶点的角有3个，即ABD、ABC、DBC(3)图中共有7个小于平角的角点睛：在统计图中小于平角的角的个数时，应有明确的分类标准，可以按顶点来分类：以A为

29、顶点的角有1个，以B为顶点的角有3个，以C为顶点的角有1个，以D为顶点的角有2个知识点3 角的度量例 (1)把3.38°化为度、分、秒的形式(2)把28°1818化成度的形式解：(1)3.38°=3°2248；(2)28°1818=28.305°点睛：(1)3.38°先取整数，得到3°，还剩下0.38°=(0.38×60)=22.8，取整数后是22，还剩下0.8=(0.8×60)=48，所以3.38°=3°2248；(1)28°1818=28°+

30、(18+)=28+°=28.305°.提升点全面突破例1 如下图所示，图中共有个小于平角的角答案：9点睛：以0A为一边的角有AOB、AOC、AOD；以OB为一边的角(除去已经统计的)有：BOC、BOD、BOE；以OC为一边的角(除去已经统计的)有：COD、COE；以OD为一边的角(除去已经统计的)有：DOE所以图中共有4+2+3+3=9(个)小于平角的角例2 如下图所示，已知：1：2：3：4=1：2：3：4，求1、2、3、4的度数答案： 解：设1=x°，2=2 x°，3=3 x°，4=4 x° 因为1+2+3+4=360°，

31、所以x+2 x+3 x+4 x=360，解得x=36 所以1=36°，2=72°，3=108°，4=144°点睛：由于本题图中1、2、3、4四个角恰好组成一个周角，因此我们可以根据这四个角的比例关系设出这四个角的度数，列方程解决这个问题综合能力养成例 (探究题)由2点30分到2点55分，时针走了度。分针走了度答案：12.5；150点睛：时针一小时转过的角度为30。，分针-h,时转过的角度为360°，因此时针转动的速度为0.5度分钟，分针转动的速度为6度分钟，又因为由2点30分到2点55分共经过了25分钟所以时针走了0.5×25=12.

32、5(度)，分针走了6×25=150(度)分层实战训练A组1如下图所示的四个图形中，能用l、AOB、0三种方法表示同一个角的图形是( )答案：B点睛：A选项不能用O表示，C选项也不能用O表示，D选项1和O表示的不是同一个角3如图4312所示，与B不是同一个角的是( )A1 BABCCDBE DDAC答案：D点拨：DAC的顶点是A，不是BB组1从1点15分到1点35分，时钟的分针转了度，时针转了度答案：120；10 点睛：时针每分钟转0.5°，分针每分钟转6°3如下图所示是一只蜗牛在地面上爬行时留下来的痕迹，若蜗牛从P点出发按顺时针方向沿图中弧线爬行，最后又回到P点，

33、则该蜗牛共转过了多少度角?答案： 解：由P点开始转一圈回到P点与由A点开始转一圈回到A点所转角度一样，而由A点转至C有180°，由C点转至D有180°，由D点转至E有180°，由E点转至F有180°，由F点转到B有180°，由B点转到A有180°，共6×180°=1080°答：该蜗牛共转过了1080°点睛：注意可将问题转化为更简单的形式4.3.2 教的比较与运算知识点1 角的大小比较例 某工厂生产如下图所示的工件，其中称为工件的中心角，生产要求的角度为30°±1°，

34、一名质检员在检验时，手拿一量角器逐一测量的度数。 请你运用所学的知识分析一下，该名质检员采用的是哪种比较方法?你还能给该质检员设计较好的质检方法吗?请说说你的方法答案： 解：该质检员采用的是度量法还可以使用叠合法，即分别找一个中心角度数为31°和一个中心角度数为29°的工件，然后可把所要检验的工件夹在这两个工件中间，使顶点和一边重合，观察另一边的情况点睛：角的比较方法有两种，即度量法和叠合法，度量具体，而叠合更直观在检验中，采用叠合法比较快捷知识点2 两角的和与差例1 如下图所示，已知AOC-BOD=78°，BOC=35°，则AOD的度数为( ) A86

35、° B156° C121° D113°答案：C点睛：本题主要考查角的度量和运算，解题的关键是搞清已知角和未知角的关系：AOD=AOC+BOD-BOC例2 计算： (1)36°5326+37°1749； (2)108°2730-98°2542； (3)23°2514×7； (4)109°114÷7答案： 解：(1) 36°5326+37°1749=73°7075=74°1115；(2)108°2730-98°2542=

36、108°2690-98°2542=10°148；(3)23°2514×7=161°17598=l63°5638；(4) 109°114÷7=(105°+4°114)÷7=15°+2514÷7=15°+35+64÷7=15°+35+364÷7=15°+35+52=15°3552点睛：角的加减运算应把度、分、秒分别加减，计算中要注意满60进1或借1为60的进位制，乘除法也是如此进行除法运算时，先用度除

37、以除数，整数保留，余数化为分后与原分相加，再除以除数，整数保留，余数化为秒后与原秒相加，再除以除数知识点3 角平分线例 如下图所示，AOD=80°，OB是AOC的平分线，AOB=30°，求COD的度数答案： 解：因为OB是AOC的平分线，AOB=30°， 所以AOC=2AOB=60° 因为AOD=80°，COD=AOD-AOC， 所以COD=20°°点睛：由于AOD=80°，根据COD=AOD-AOC可知，要求出COD，首先要求出AOC，而AOC可由角平分线的定义求得提升点全面突破例1 如下图所示，DOE：BOE=

38、1：2，DOC：COA=1：2，如果AOB=120°，那么EOC是多少度?答案： 思路一：由于DOE：BOE=1：2，DOC：COA=1：2，所以BOD=BOE+DOE=3DOE，AOD=DOC+COA=3DOC然后根据AOB=BOD+AOD=3DOE+3DOC=3(DOE+DOC)=3EOC=120°，即可求解 解：因为DOE：BOE=1：2，DOC：COA=1：2， 所以BOE=2DOE，COA=2DOC，所以BOD=3DOE，AOD=3DOC 又因为AOB=BOD+AOD=3DOE+3DOC=3(DOE+DOC)=3EOC， 所以EOC=AOB=40° 思路

39、二：本题也可利用方程思想，可设DOE=x，COD=y，即求x + y ，易推得3(x + y)=120°，故x + y=40° 解：设DOE=x，COD= y，由题意得BOE=2x，COA=2y 因为AOB=DOE+COD+BOE+COA，所以AOB=3x +3 y 因为AOB=120°，所以3x + 3y =120°，即x + y=40° 所以EOC=40°点睛：第二种方法体现了方程思想，比第一种方法更直观弄清各个角之间的关系，尤其是EOC和AOB的倍分关系很重要例2 如下图所示，AOB=90°，OM平分BOC，ON平分A

40、OC，求MON的度数答案： 思路一：虽然AOB=90°，但AOC的度数却不知道因为ON平分AOC，所以不妨设CON=x°，则AON=x°，BOC=90°+2x°又OM平分BOC，所以MOC=45°+x°.因此根据两角的差可以求出MON的度数 解：因为ON平分AOC(已知)，所以AON=CON(角平分线的定义) 设CON=x°，所以AON=CON=AOC=x° 又因为AOB=90°，所以BOC=AOB+AOC=90°+2x° 又因为OM平分BOC，所以MOC=BOC=45

41、76;+x°(角平分线的定义) 因为MOC=MON+NOC，所以MON=MOC-NOC=45°+x°-x°=45° 思路二：要求出MON的度数，由于MON=MOC-NOC，因此我们可转而求MOC-NOC 解：因为ON平分AOC，OM平分BOC(已知)， 所以MOC=BOC，NOc=AOC(角平分线的定义)因为AOB=90°，所以MON=MOC-NOC=BOC-AOC= (BOC-AOC)= AOB=45°例3 在飞机飞行时，飞行方向是用飞行路线与实际的南或北方向线之问的夹角大小来表示的，如图43-25，用AN(南北线)与飞行

42、线之间顺时针方向夹角作为飞行方向角，从A到B的飞行方向角为35°，从A到C的飞行方向角为60°，从A到D的飞行方向角为145°，则AB与AC之间夹角为多少度?AD与AC之问夹角为多少度?并画出从A飞出且方向角为105°的飞行线°答案： 解：由题意可知NAB=35°，NAC=60°，NAD=145° 故AB与AC之间夹角为BAC=NAC-NAB=60°-35°=25°， AD与AC之间夹角为CAD=NAD-NAC=l45°-60°=85°以A为顶点，AN为一

43、边作l05°角，另一边为AE，如图4326，AE即为从A飞出且方向角为105°的飞行线点睛：此题是一道材料分析题，解答时要认真阅读，明确题目条件，找到南北线与飞行线之间顺时针方向夹角是解题关键综合能力养成例1 (操作题)用一副三角板画一个角，使这个角等于75°答案： 解：如图4327，AOB就是要画的角点睛：三角板中的角的度数有30°、45°、60°、90°四种，利用三角板画角，即为用这四种角的和、差得到要画的角，分析可得75°=30°+45°，所以只要利用三角板中的30°和45

44、76;两个角画角即可例2 (计算评估题)已知BOC在AOB的外部，OE平分AOB，OF平分BOC，OD平分AOC，AOE=30°，BOD=20°，试求COF的度数 下面是李小雨同学的解题过程：解：如图43-28所示 因为OE平分AOB，所以BOE=AOE=30°， 所以DOE=BOE-BOD=30°-20°=l0°， AOD=AOE+DOE=30°+10°=40°. 因为OD平分AOC，所以COD=AOD=40°. 所以BOC=COD-BOD=40°-20°=20°

45、 又因为OF平分BOC，所以COF=BOC=×20°=l0° 请判断李小雨同学的解题过程是否正确，若不正确，请写出正确的解题过程，答案： 解：李小雨同学的解题过程不完整，正确的解题过程为： (1)当AOBBOC时，见李小雨的解题过程(2)当AOB2BOC时，如图43-29所示 因为0E平分AOB，所以AOB=2AOE=2×30°=60°， 所以AOD=AOB+BOD=60°+20°=80° 因为0D平分AOC，所以COD=AOD=80°， 所以BOC=COD+BOD=80°+20

46、76;=l00° 又因为OF平分BOC，所以COF=BOC=×100°=50°. 综上可知，COF的度数为l0°或50°点睛：正确画出图形，结合图形解题是解答此类题目的关键题目中没有给出图形，而根据题意，本题应有AOBBOC和AOBBOC两种情况，应分情况进行讨论.注意可能出现的情况，避免漏解分层实战训练A组1在AOB的内部任取一点C，作射线OC，则一定成立的是( ) AAOBAOC BAOCBOC CBOCAOC DAOC=BOC答案：A 点睛：AOC+BOC=AOB，因此AOBAOC，AOBBOC2(2011，邵阳)如下图所示，已

47、知O是直线AB上一点，1=40°，OD平分BOC，则2的度数是( ) A20° B25° C30° D70°答案：D点睛：本题考查的是平角的定义及角平分线的定义.先根据平角的定义求出COB的度数，再由OD平分BOC即可求出2的度数3已知AOB=60°，其角平分线为OM，BOC=20°，其角平分线为ON，则MON的度数为( ) A20° B40° C20°或40° D10°或30°答案：C点睛：分OCAOB内部和OC在AOB外部两种情况讨论4如图下图所示，已知1=2，

48、3=4，则下列结论正确的个数为( ) AD平分BAF；AF平分BAC；AE平分DAF；AF平分DAC；AE平分BACA4 B3 C2 D1答案：C点睛：AE平分DAF，同时平分BAC6如图下图所示，如果AOC=BOD，那么AOB与COD的大小关系是答案：相等 点睛：因为AOC=BOD，所以AOC-BOC=BOD-BOC，即AOB=COD8如图下图所示，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分EOC，EOC=70°，则BOD的度数等于答案：35°点睛：因为OA平分EOC，EOC=70°，所以AOC=35°因为BOD+BOC=AOC+BOC=180°

49、，所以BOD=AOC=35°4.3.3 余角和补角知识点1 互余、互补例 如下图所示，AB是一条直线，AOC=90°，DOE=90°，图中互余的角有几对?互补的角有几对(直角除外)?请写出来答案： 解：互余的角有4对：AOD与COD，AOD与BOE，COE与COD，COE与BOE； 互补的角有4对：AOD与BOD，COE与8OD，COD与AOE，BOE与AOE点睛：由互为余角和互为补角的定义，只需找出图中和为90°的两个角以及和为180°的两个角即可提升点全面突破【例l】 (2011，湛江)已知1=30°，则l的补角的度数为度答案：1

50、50点睛：本题考查了补角的定义，解题时牢记定义是关键.例2 (2012，郴州模拟)一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角等于度答案：60点睛：设这个角为x°，则根据题意，得180°-x°=4(90°-x°)，所以180°-x=360°-4x°，所以x°=60° 根据一个角与它的补角的和是平角，与它的余角的和是直角，设这个角为x°，则它的补角是180°-x°，余角是90°-x°，由题目中所给的数量关系列出方程，便可以解决问题例3 如下图所示，已知C

51、DF=OEF=90°，CE与OA相交于点F，若C=20°，求O的大小解：因为CDF=OEF=90°，所以O十OFE=90°，C+CFD=90°因为OFE十CFO=180°，CFD+CFO=180°，所以OFE=CFD(同角的补角相等)，所以O=C=20°(等角的余角相等)点睛：OFE、CFD都是CFO的补角，根据同角的补角相等，可得OFE=CFD；又O与OFE互余，C与CFD互余，根据等角的余危相等，可得O与C相等例4 如图4.3-45所示，在O处测得北偏东30°的小岛A处有一暗礁区，为避开这一危险区，轮

52、船在O处应改为向东北方向航行才能避开(1)在图中画出轮船的航线；(2)求出轮船航线与OA的夹角解：(1)如图43-46所示，作MON=45°，射线OM即为轮船的航线(2)由题意可得AON=30°，所以MOA=MON-AON=45°-30°=15°，所以轮船的航线与OA的夹角为15°点睛：方位角可看成将正北或正南方向的射线旋转一定角度形成的，东北方向就是北偏东45°的方向综合能力养成例 如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：90°-；-90°； (+)；(-)，正确的有( ) A4个 B3个 C2个 D

53、1个 答案：B点睛：因为和互补，所以+=180°，所以的余角为：90°-=90°-(180°-)=-90°或90°-=(+)-=(-)分层实战训练A组1(2011，葫芦岛)如图4.3-47，1的余角可能是图4.3-48中的( )答案：C点睛：本题主要考查了互余两角的和为90°，比较简单2若+=90°，+=90°，则与的关系是( ) A互余 B互补 C相等 D以上都不对答案：C点睛：根据同角的余角相等，知=4(2011，芜湖)一个角的补角是36°35，这个角是.答案：143°25点拨：此

54、题考查了补角的定义，属于基础题，较简单，主要记住互为补角的两个角的和为180度5如图43-49.小明把一块含60°的三角板ABC绕60°角的顶点A逆时针旋转到三角形AED的位置.若已量出CAE=100°，则DAB=答案：20°点睛：因为CAE=100°，EAD=60°，所以CAD=40°，而CAB=60°，所以DAB=20°B组1若1与2互余，1与3互补，2与3的和等于周角的，则1、2、3这三个角的度数分别是( )A50°、40°、l30° B70°、20°、110° C75°、15°、l05° D60°、30°、120°答案：C点睛：设1=x°，则2=(90-x)°，3=(180-x)°因为2+3=120°，所以90-x+180=120°所以x=75，所以l=75°，2=15°，3=105°5轮船航行到C处观测小岛A的方向是北偏西46°，