第一章导数与微分第四节导数运算

1、第1页求导运算 第四节学习重点学习重点导数的四则运算法则导数的四则运算法则复合函数，隐函数，参数方程函数的求导复合函数，隐函数，参数方程函数的求导第2页函数的和差积商的求导法则函数的和差积商的求导法则( )( ) uu xvxv xx 如果函数及，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）在都点处也在点处可导可导， 且()uvuv()uvu vuv2( )0uu vuvvvv （）()uvwu vwuv wuvw()cucu你记住了吗？21( )0vvvv （）特别特别推广推广第3页2( )34sinfxxx32(2537)yxxx32(2 )(5 )(3 )(7)xxx22 35 23 0

2、 xx 26103xx23( )424fsin2是 常 数322537yxxxy求例例1 设设解解3( )4cossin2f xxx( )()2fxf，求及例例2解解第4页 3( )(sin )fxxx233sincosxxxx()uvuv uv2( )0uu vuvvvv （）2(sin ) cossin (cos )cosxxxxx222cossincosxxx21cos x2sec x2(tan )secxx 2(cot )cscxx 33() sin(sin )xxxx3( )sinf xxx( )fx求例例3 设设解解tanyxy求例例4sin(tan )cosxyxx解解导数公式导

3、数公式第5页(1)seccscyxyx和求下列函数的导数求下列函数的导数2(2)lnc os yxxxln (3) xyx(sec )sec tanxxx2 2lncosc oslnsin yxxxxxxxx 21l nxyx (csc )csc cotxxx第6页反函数的求导法则反函数的求导法则0000000()()0()()1()()yfxxfxfxxxyyfxyfx如 果 函 数在 点处 的 导 数 存 在 ，且，在 点的 某 一 邻 域 内 连 续 ，且 严 格 单 调 ， 则 其 反 函 数在 对 应 的点 可 导 ， 且 （ 。推广：推广：()()0()()xxyyfxifxfxi

4、xyi如 果 函 数在 区 间内 可 导 ， 且，在 区 间内 严 格 单 调 ， 则 其反 函 数在 对 应 的 去 间内 可 导 ， 且1)( )yfx（第7页例例5 设设 ，求，求 arccosyxdydx解解 由于由于 的反函数为的反函数为 arccosyxcos ,0, xy y所以所以11arccossincosxyy211x （因为（因为 ）(0, )y同理，可求得同理，可求得21cot1arcxx21arccos1xx 21arctan1xx即即21(arcsin)1xx 第8页1logln.lnxxaxxaaaa 由反函数求导法则和公式推导指数函数的导数公式 解解 因为因为

5、的反函数是的反函数是xyalogaxy所以所以11lnln1loglnxxaayaaayya特别特别xxee第9页基本导数公式基本导数公式( )0c1()xx (sin )cosxx (cos )sinxx 2(tan )secxx 2(cot )cscxx (sec )sec tanxxx (csc )csc cotxxx ()lnxxaaa ()xxee 1(log)lnaxxa 1(ln)xx 21(arcsin )1xx 21(arccos )1xx 21(arctan )1xx 21(cot )1arcxx 第10页复合函数的求导法则复合函数的求导法则( )( )( ) ( ) ug

6、 xxyf uug xdyyf gdydudxdudxxx如果函数在点可导,而在对应点处可导, 则复合函数在点处可导，且其导数为 dydydudvdxdudvdx推广推广 ( )( ),( ),( ),yfxyf uuvvx 对于复 合函数， 设均可导 则链式法则链式法则chain rule证明关键式子证明关键式子yyuxux第11页3,.uyeux 1cosxu1cossinxxcot x323xx e3()xdyedx33()xex323xx e也可以不写出中间变量也可以不写出中间变量lnsin ,dyyxdx求例例6 设设3,xdyyedx求例例7 设设解解ln sinyx可 分 解 为

7、ln,yusinux解解 因为因为d yd yd ud xd ud x所以所以3xye可分解为可分解为d yd yd ud xd ud x所以所以代入代入第12页dydydudvdxdudvdx1( sin )xveu 1( sin)cos()xxxeee tan()xxee 也可以不写出中间变量也可以不写出中间变量lncos()xdyedx1cos()cos()xxeetan()xxee 环环环环相扣相扣1( sin) ()cos()xxxeee 1( sin)cos()xxxeee lncos(),xdyyedx求例例8 设设ln,cos ,xyu uv veln cos()xye可 分

8、解 为解解第13页求下列函数的导数求下列函数的导数123(12) yx2231(1 2) ( 4 )3xx1sin()xye1sin211cos()xexx 32(1)12yx1sin(2)xye2(3)(arcsin)2xy 2(4)1lnyx2112arcsin221( )2xyx 2112ln2 1lnyxxx 第14页332() 3(3 )(3 )xxxxxy 232333 ln3(3 )xxxxx233ln33xxx2212112 1xyxxx 211x2221111xxxxx3,3xxyy求例例92ln(1),yxxy求例例10解解解解第15页求下列函数的导数求下列函数的导数21(

9、1)(arcsin1)2yxxx22(2)sinsinyxx222112(1)212 1xyxxxx 21x22221cos2(2sincos) sinsin22 sinxxyxxxxxx 22221cossin2sinsin2sinxxxxxxx第16页高阶导数高阶导数 22( )d yfxdx或，或，( )( )( )( )yf xyfxxyfxyf xy 一般地，函数的导数仍然是 的函数，我们把的导数叫做的二阶导数，记作 ，y而则称为一阶导数33( )d yyfxyydx，或，或。 相似地，二阶导数的导数称为函数的三阶导数，三阶导数相似地，二阶导数的导数称为函数的三阶导数，三阶导数的导数

10、称为四阶导数，的导数称为四阶导数，（n-1)阶导数的导数称为函数的阶导数的导数称为函数的n阶导阶导数数，分别记作，分别记作三阶导数三阶导数4(4)(4)(4)4,( ) d yyfxyydx或，或。四阶导数四阶导数( )( )( )(1),( ) nnnnnnd yyfxyydx或，或。n阶导数阶导数导函数的导数导函数的导数10981090yxyxyyx 设， 则， 我们还可以对继续求导，（ ） 引例引例第17页 ( )sin()2nyxn( )(sin )sin()2nxxn( )(cos )cos()2nxxn cosyxsinyx cosyx (4)sinyx规律：规律：每四阶导数每四阶

11、导数重复一次；重复一次；正弦、余弦正弦、余弦交替出现。交替出现。( )sin ,nyxy求例例11解解sin()2xsin()sin(2)2xx 3sin()sin(3)22xx sin(2 )sin(4)2xx 所以所以即即同理可得同理可得第18页常用的高阶导函数常用的高阶导函数 (1) nxxee (2) !nnxn (3) lnnnxxaaa 11 !(4) ln(1)11nnnnxx 11!(5) 111nnnnxx 第19页隐函数的导数隐函数的导数( , )0( )f x yxyyy x 由方程确定的变量与变 量之间的函数关系，称为隐函数。0ydexyedx0ydydyeyxdxdx

12、隐函数的求导方法隐函数的求导方法将方程两边同时对自变量将方程两边同时对自变量x求导。求导。0( )ydyexyeyy xdx求由方程所确定的隐函数的导数 。例例12将方程两边同时对将方程两边同时对 x 求导，得：求导，得：解解ydyydxxe (0)yxe所以所以注意：注意：y是是x的函数，的函数，则则y的函数的函数f(y)视为视为x的复合函数。的复合函数。()yyddyeedxdx第20页57=230( ).xdyyyxxyy xdx 0求由方程所确定的隐函数的导数解解 将方程两边同时对将方程两边同时对 x 求导，得：求导，得：46521210dydyyxdxdx 6412152dyxdxy

13、因为当因为当 x = 0时，从原方程可以解得时，从原方程可以解得 y = 0012xdydx所以所以第21页解解 将方程两边同时对将方程两边同时对 x 求导，得：求导，得：11cos02dydyydxdx22cosdydxy将上式两边再对将上式两边再对 x 求导得：求导得：2222sin(2cos )dyyd ydxdxy34sin(2cos )yy注意注意 y 是是 x 的函数的函数221sin0.2d yxyyydx 求由方程所确定的隐函数 的二阶导数例例13 第22页幂指函数的导数幂指函数的导数两边取对数，得两边取对数，得lnsinlnyxx将方程两边同时对将方程两边同时对 x 求导（求

14、导（注意注意 y 是是 x 的函数的函数）得：）得：11coslnsinyxxxyx 1(coslnsin)yyxxxx sin1(coslnsin)xxxxxx解法解法2解法解法1sinsin ln()()xxxyxesin ln(sinln )xxexx sinsin(cosln)xxxxxx转化为初等转化为初等函数，直接函数，直接求导法求导法转化为隐函转化为隐函数，对数求数，对数求导法导法sin0,1xyxxxy求的导数例例14第23页一般地，幂指函数一般地，幂指函数 的求导，可有两种方法，的求导，可有两种方法，都可得到一般公式：都可得到一般公式：( )( )v xyu x( )( )(

15、 ) ln( )v xyu xv xu x 如如sinsinsinlnxxxxxxsin1coslnsinxxxxxx练习练习 设设 33333 ,.xxyxxy求 3233 ln33lnxxxyxxx 32333 ln33 ln3 lnxxxxxxxx解答解答第24页对数求导法对数求导法1lnln(1)ln(2)ln(3)3yxxx两边取对数，得两边取对数，得两边对两边对 x 求导（求导（注意注意 y 是是 x 的函数的函数）得：）得：11111()3123yyxxx 31(1)(2)111()33123xxyxxxx 对数求导法常用于幂指函数和以乘、除、乘方、开方运算对数求导法常用于幂指函

16、数和以乘、除、乘方、开方运算为主的函数的求导。为主的函数的求导。3(1)(2),3xxyyx设求例例15解解第25页tan xyxy ( 1 ) 求的 导 数tantan ln()()xxxyxesin1xyxxey ( 2 ) 求的 导 数11lnlnln sinln(1)22xyxxe11 1cos12sin2 1xxxeyyxxe111sin1cot22 1xxxeyxxexxe 解解解解tan2tan(secln)xxxxxx所以所以第26页由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数 (以下内容不讲以下内容不讲)( )( )xtdyytdx由 参 数 方 程确 定 的 函

17、 数 的 导 数( )( )dytdydtdxtdxdt22()dydd ydtdxdxdtdxdydydtdxdtdxdydydtdxdxdt()ddydtdxdxdt注意一阶导注意一阶导数也是数也是 t t 的函数的函数11( )( )( )( )xttxytx y是是x的复合函数的复合函数t是中间变量是中间变量第27页求由摆线的参数方程求由摆线的参数方程所确定的函数的二阶导数。所确定的函数的二阶导数。(sin )(1 cos )xa ttyatttxydydxsin(1cos )atatsin(1cos )ttcot2t22()ddyd ydt ddtxxdxd(cot)2txt21cs

18、c2 2(1 cos )att21(1cos )at 解解例例16是是t的函数，的函数，是是x的复合的复合函数函数第28页23331 , xtd ydxytt 设求解解 21 332221ttydyxtttdxt 221322ttd ytdxx3331344td yttdxx4233442ttt23131322424tttt 311344tttx253 18tt 第29页22( )( )( )( )xftytftf td yftdx求由参数方程确定的函数的二阶导数 （设存在且不为零）.ttxydydx( )( )( )( )tftftftft22()tddyd ydtxdxdxt1( )ft解解第30页相关变化率相关变化率( )( )xx tyy txydxdydtdt 设及都 可 导 ，而 变 量与存 在 某 种 关 系 ， 从而 变 化 率与间 也 存 在 一 定 关系 ， 这 两 个 相 互 依 赖 的 变 化 率 称 为相 关 变 化 率 。第31页例例1 1 一个飞机观察员观察到一架飞机正在一个飞机观察员观察到一架飞机正在的的1143米的高度米的高度向他飞来，仰角为向他飞来，仰角为 ，并以，并以