66方向导数与梯度71830

1、第六节第六节 方向导数与梯度方向导数与梯度一、方向导数一、方向导数二、梯度二、梯度实例实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的问题的实质实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方：应沿由热变冷变化最骤

2、烈的方向（即梯度方向）爬行向（即梯度方向）爬行问题的提出问题的提出 讨论函数讨论函数 在一点在一点p沿某一方向沿某一方向的变化率问题的变化率问题),(yxfz 一、方向导数一、方向导数oyxlp xy引射线引射线内有定义，自点内有定义，自点的某一邻域的某一邻域在点在点设函数设函数lppuyxpyxfz)(),(),(00 ).(),(,00puplyyxxplx 上的另一点且上的另一点且为为并设并设为为的转角的转角轴正向到射线轴正向到射线设设 （如图）（如图）pl00ecos icos jllxxtcost.yytcos 设设为为与与 同同方方向向的的单单位位向向量量，则则 的的，参参数数方方

3、程程为为，00pp(xx ,yy )(tcos ,tcos )te,pptet ,tpp.zf(xtcos ,ytcos )f(x,y), 表表示示点点 到到点点的的有有向向距距离离且且当当 沿着沿着 趋于趋于 时，时，p pl0000t0f(xtcos ,ytcos )f(x ,y )limt 是否存在？是否存在？000000l0000t0 xy0000t0 xyzf(x,y)p(x ,y ),l,e(cos,cos )l,f(xtcos,ytcos )f(x ,y )limt,plflf(xtcos,ytcos )f(x ,y )flimlt （，）（，）定定义义设设函函数数在在点点的的某

4、某个个邻邻域域内内有有定定义义 是是一一非非零零向向量量是是与与 同同方方向向的的单单位位向向量量 如如果果极极限限存存在在 则则称称这这极极限限为为函函数数在在点点沿沿方方向向 的的方方向向导导数数，记记为为，即即定理定理 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yxp是可微分是可微分的，则对于任一单位向的，则对于任一单位向(cos ,cos ),le函数在该函数在该点沿任意方向点沿任意方向 l l 的方向导数都存在，且有的方向导数都存在，且有 000000(,)(,)(,)coscosxyxyxyffflxy， 依依定定义义，函函数数),(yxf在在点点p沿沿着着x轴轴正正向向)0

5、, 1(1 e、y轴轴正正向向)1 , 0(2 e的的方方向向导导数数分分别别为为yxff ,； 沿沿着着x轴轴负负向向、y轴轴负负向向的的方方向向导导数数是是 yxff ,.例例 1 1 求求函函数数yxez2 在在点点)0 , 1(p处处沿沿从从点点 )0 , 1(p到到点点)1, 2( q的的方方向向的的方方向向导导数数.解解; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz所求方向导数所求方向导数112 ()22 (1,0)zl .22 这这里里方方向向l即即为为1, 1 pq,解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxffl

6、f 由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx sincos),4sin(2 故故（1）当）当4 时，时，方方向向导导数数达达到到最最大大值值2;（2）当当45 时时，方方向向导导数数达达到到最最小小值值2 ;（3）当）当43 和和47 时，时，方向导数等于方向导数等于 0.000000t0f(xtcos,ytcos,ztcos)f(x ,y ,z )lim,t 推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义 同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任意方向沿任意方向 l的

7、方向导数都存在，且有的方向导数都存在，且有coscoscos .fffflxyz0uxyzp例：求在 （0,0,1）沿平行z轴正向的方向导数。222例3：求u=(x-1) +2(y+1) +3(z-2) -6在p(2,0,1)沿向量i-2j-2k方向的方向导数。定义定义 设函数设函数),(yxfz 在平面区域在平面区域 d 内具有内具有一阶连续偏导数，则对于每一点一阶连续偏导数，则对于每一点dyxp ),(，都可定出一个向量都可定出一个向量jyfixf ，这向量称为函数，这向量称为函数),(yxfz 在点在点),(yxp的梯度，记为的梯度，记为 ),(yxgradfjyfixf .二、梯度二、

8、梯度?:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函数在点函数在点问题问题pcoscosffflxy(,) (cos,cos)ffxyleyxgradf ),(,cos| ),(| yxgradf 其其中中),(,leyxgradf 当当1),(cos( leyxgradf时，时， lf 有有最最大大值值.设设coscosleij是方向是方向 l上的单位向量，上的单位向量， 由方向导数公式知由方向导数公式知 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为而它的模为方向导数的最大值梯度的模

9、为方向导数的最大值梯度的模为 22| ),(| yfxfyxgradf.结论结论当当xf 不不为为零零时时，x轴到梯度的转角的正切为轴到梯度的转角的正切为xfyf tangradfgradf p),(yxfz 在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),( czyxfz所得曲线在所得曲线在xoy面上投影如图面上投影如图oyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf),(等高线等高线),(yxgradf梯度为等高线上的法向量梯度为等高线上的法向量p等高线的画法等高线的画法播放播放等高线的画法等高线的画法等高线的画法等高线的画法等高线的画法等高线的画法等

10、高线的画法等高线的画法等高线的画法等高线的画法等高线的画法等高线的画法等高线的画法等高线的画法等高线的画法等高线的画法等高线的画法等高线的画法图形及其等高线图形图形及其等高线图形函数函数xyzsin 例如例如, 三元函数三元函数),(zyxfu 在空间区域在空间区域 g 内具有内具有一阶连续偏导数，则对于每一点一阶连续偏导数，则对于每一点gzyxp ),(，都可定义一个向量都可定义一个向量(梯度梯度).),(kzfjyfixfzyxgradf 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模

11、为方向导数的最大值为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数22f,yz2例3.设 (x,y,z)= x求gradf(1,-1,2).解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(kjigradu 在在)0 ,21,23(0 p处梯度为处梯度为 0.1、方向导数的概念、方向导数的概念2、梯度的概念、梯度的概念3、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别）（注意梯度是一个（注意梯度是一个

12、向量向量）四、小结四、小结.),(最快的方向最快的方向在这点增长在这点增长梯度的方向就是函数梯度的方向就是函数yxf讨讨论论函函数数22),(yxyxfz 在在)0 , 0(点点处处的的偏偏导导数数是是否否存存在在？方方向向导导数数是是否否存存在在？思考题思考题xfxfxzx )0 , 0()0 ,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 同理：同理：)0,0(yz yyy |lim0故两个偏导数均不存在故两个偏导数均不存在.思考题解答思考题解答沿沿任任意意方方向向,zyxl 的的方方向向导导数数, )0 , 0(),(lim0)0,0(fyxflz 1)()()()(lim22220 yxy

13、x 故故沿沿任任意意方方向向的的方方向向导导数数均均存存在在且且相相等等.一、一、 填空题填空题: :1 1、 函数函数22yxz 在点在点)2 , 1(处沿从点处沿从点)2 , 1(到点到点 )32 , 2( 的方向的方向导数为的方向的方向导数为_._.2 2、 设设xyzyxzyxf 22232),(zyx623 , , 则则 )0 , 0 , 0(gradf_._.3 3、 已知场已知场,),(222222czbyaxzyxu 沿沿则则u场的梯度场的梯度方向的方向导数是方向的方向导数是_._.4 4、 称向量场称向量场a为有势场为有势场, ,是指向量是指向量a与某个函数与某个函数 ),(zyxu的梯度有关系的梯度有关系_._.练练 习习 题题三三、 设设vu,都都是是zyx,的的函函数数, ,vu,的的各各偏偏导导数数都都存存在在且且连连续续, ,证证明明: :ugradvvgraduuvgrad )(四四、 求求222222czbyaxu 在在点点),(000zyxm处处沿沿点点的的向向径径0r的的方方向向导导数数, ,问问cba,具具有有什什么么关关系系时时此此方方向向导导数数等等于于梯梯度度的的模模? ?二、求函数二