33有理函数积分

1、mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxa 11101110其其中中m、n都都是是非非负负整整数数；naaa,10及及mbbb,10都都是是实实数数，并并且且00 a，00 b :有理函数有理函数多项式之商多项式之商即即, mn 若若则则为为假假分分式式有理函数积分有理函数积分10111011( )( )nnnnmmmma xa xaxap xq xb xb xbxb任何一个有理真分式均可表示为部分分式之和。22,(1)-( - ),(1)()nnaanx ax abxcbxcnxpxqxpxq部分分式： 22, , , , ,4a b c a p qnxpxqpq其中为常数， 为自然数，中

2、（）四个部分分式均可积1.1.假假分分式式多多项项式式真真分分式式dxxx 221 求求dxxx 231 求求解解231xx 21x x)11(2 x221)1(xxxx x 21xx dxxx 2312()1xxdxx221x 2112 1x2dx)1(2 xd221x 21ln(1)2xc)3)(2(3 xxx2ax 解解6532 xxx的系数的系数 x 1ba 的系数的系数常数项常数项 3)23(ba 5 a6 b6532 xxx3625 xx3bx dxxxx 653 2求求122. -(-)()nx ax axa 真真分分式式，分分母母可可化化为为（）dxxxx 6532dxxx )

3、2536( 36xdx)3( xd 25xdx)2( xd3ln6 xcx 2ln521(1)x x 11-ikkix ax a3.3.分分母母为为（）（）ax 2(1)bxcx (ax 2(1)bx )1cx 解解21 (1)dxx x 求求11)1(112 xxxdxxx 2)1(1 dxxxx)11)1(11(2xln 11 xcx 1ln220(1)()20(1)1aba xx bxcacx xa )1)(21(12xx 2121abxcxx dxxx)1)(21(1 2求求例例解解21()()()iaxbxcxaxa4.4.分分母母为为 dxxx)1)(21(12dxxxdxx 21

4、51522154)21ln(52x dxxdxxx 221151152)21ln(52x )1(212 xd)1ln(512x cx arctan51223)1()2)(1(1 xxxxx21() ()()kmnnaxbxcxaxa5. 5. 分分母母(1ax 3(2)bx 2(2)cx 2dx 22(1)exfxx 2)1gxhxx 2323221(2)(1)abxcxdexfxgxhxxxx dxxxx 1023 2求求6 6. .分分母母不不能能化化为为实实一一次次因因子子乘乘积积（第第三三种种, ,第第四四种种）: :配配方方，凑凑微微分分解解)102(2 xx22 xdxxxx 10

5、232214210 xdxxx 21210 xdxxx24210dxxx 102)102(2122xxxxd214(1)(1)9d xx)102ln(212 xx41arctan33xc253 210 xdxxx求（）解解253(210)xdxxx251(210)xdxxx254(210)dxxx2251(210)2(210)d xxxx2514(1)(1)9)d xx2418(210)xx 25552525105112111214(1)tan1(1)9)939(tan1)()1)312costan9xd xddtxxttdt二、三角函数有理式的积分 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函

6、数和常数经过有限次四则运算构成的函数称为构成的函数称为三角有理式三角有理式xsin2cos2sin2xx 2sec2tan22xx ,2tan12tan22xx xcos2sin2cos22xx 2sec2tan122xx 2tan12tan122xx 令令2tan xu 212sinuux 2211cosuux dxuxarctan2 duu212 （万能置换公式）（万能置换公式） dxxxxcossin1sin 求求例解解2tan xu 令令 dxxxxcossin1sinduuuu )1)(1(22 212uu 1212uu 2211uu duu212 dxx4sin1 求求解（一）解（

7、一）,2tanxu ,12sin2uux duudx212 dxx4sin1duuuuu 46428331cuuuu 333318133cxxxx 332tan2412tan832tan832tan241例解解(二二)修改万能置换公式修改万能置换公式, ,xutan 令令,1sin2uux ,112duudx dxx4sin1duuuu 2421111duuu 421cuu 1313.cotcot313cxx 解解(三三) dxx4sin1dxxx 22csccscdxxx)cot1(csc22 xdxxxdx222csccotcsc )(cot xd cxx 3cot31cot2。灵活利用三

8、角函数恒等式例 xdx2sin dxx)2cos1(212x cx 42sin xdx3sin xxdcossin2 xdxcos)cos1(231coscos3xxc 4sin xdx221 cos2111()(cos2cos 2 )2424xdxxx dx2111111 cos4(cos2sin 2 )(cos2)224228xxx dxxdx5422sinsincos(1 cos)cosxdxxdxxdx 24(1 2coscos) cosxx dx cossincosxxx注意：奇次幂和偶次幂处理方式不同，偶次时倍角公式降幂奇次时凑微分。积分函数若为或和乘积处理相似sinsin (co

9、ssin )sincoscos2xxxxdxdxxxx 例例211sinsin22sin2sin (1cos )2sin(1cos )xdxdxdxxxxxxx 例例863533secsectansincostantandxxxdxdxxxxx 例例3312222secsincostandxxdxxxx 例例sin,cos,cosmnm nxxmnx 在在分分母母上上，并并且且为为偶偶数数，同同除除2sintan12sincos1tan11xxtdxdxdxxxxtt 解解 ：无理函数积分taxsin taxtan taxsec 2201xa 2202xa 2203ax 其他其他 40t 其它

10、其它1。第二类换元法解解 dxxxx11例例txx 1 令令21txx ,112 tx ,1222 ttdtdx dxxxx11 dttttt 222121dtt 11122t 2 2112ln|1|xxxcxx 1222tdttctt 11ln解解 dxxxx11例例211 ydxdyxy 令令 dxxxx11211yydyy 1221ytttdtt 222122 (1)11tdtdttt 12ln|1ttct 1ydyy 112 1ln|11yycy 11112 1ln|111xcxx 2112 1ln|( 11) |xcxx 11xdxx 例例1,1xtx 解解1 1：可可作作变变换换但但解解题题过过程程很很繁繁琐琐33221(1)1122(1)33dxxxxxdxxdxxdxxxxxc 例例分母有理化分母有理化2