62微积分基本定理98483

1、不定积分与定积分是从两个完全不同的角度引进的概念，它们之间是否有一定的关系呢？本节将讨论这个问题，并得出由原函数计算定积分的基本公式6.2 微积分基本定理 第六章 一、变限积分及其导数一、变限积分及其导数，上可积上可积在区间在区间设函数设函数,)(baxbaxf 考察定积分考察定积分 xadttf)(，则对于每一个取定的则对于每一个取定的上任意变动上任意变动在在如果上限如果上限xbax,，定积分都有一个对应值定积分都有一个对应值函数，函数，上定义了一个上定义了一个所以它在所以它在, ba记记为为.)( xadttf )(x)(积积分分上上限限函函数数变变上上限限积积分分 1. xadttfxg

2、)()( ., )( 2.中中所所含含未未知知量量混混淆淆以以免免积积分分变变量量与与积积分分限限建建议议不不要要写写 xadxxfdttxx 1)ln(:例例不是标准积分上限函数不是标准积分上限函数 bxdttf)(. 3 类似可定义变下限积分类似可定义变下限积分 xadttfxg)()(变上限积分的性质变上限积分的性质6.2定理定理)(原原函函数数存存在在性性定定理理,)(上连续上连续在区间在区间若函数若函数baxf可导，可导，上连续上连续在在则变上限积分则变上限积分,)( bax 且它的导数是且它的导数是)()(dttfxxa )(xf )(bxa 上的一个原函数上的一个原函数在在是是,

3、)()(baxfx )sin)(12xuduxsin xadttd3)33x xdttdxd2)cos(sin)2)cos(sin xdx )(,)()4bxdttfxf则则连续连续若若)(xf .,)(,)(6.1上的连续函数上的连续函数是是变上限积分变上限积分则则上可积上可积在在设设定理定理baxbaxf 如条件变弱如条件变弱abxyo证明证明xx x)(x , baxxx 设设),()( xfx 要证要证).(lim0 xfxx 即证即证 xxxxx)()(lim0)()(xxx dttfxxa )(dttfxa )(dttfxa )(,)( xxxdttfdttfxxx )(dttfx

4、a )(由积分中值定理可得由积分中值定理可得上连续上连续在在由于由于,)(baxf，xf )( ,xxx xx , 0又又),( fx )(limlim00 fxxx )( x)(lim fx).(,)(xfbaxf上连续上连续在在 )(x其中其中.)( xadttf:)(1xf 、求求下下列列函函数数的的导导数数例例dtttxfdttxfxex 183ln)()2(1)()1(dttxfx 831)()1( 因为因为)1()(83dttxfx所以所以的复合函数，的复合函数，与与视为视为将将xueudtttugxf1ln)()()2(，有，有则由复合函数求导法则则由复合函数求导法则)()()(

5、xuugxfxeuulnxeuxlnlndttx83131xxxxeeeln解:补充补充)()(xbxbf)()()()(xbxadttfxf的导数。的导数。、求、求例例dttxfxx42cos)(2)(xf )cos(2)cos(4243xxxx )()(xbadttf特别地，特别地，)()(xaxaf)()cos(22xx)()cos(44xx;)(;)()(cos5222 xxtxudtexfduuexf求导数：求导数：)()(xbxbf bxadttf)()()()(xaxaf 解: xdttftxxf0)()()( xdttfkey0)(:2020201cos201)(arctanl

6、im)3()r( .)(1lim)2(.1lim(1) 32xdttfdttxtfxdtexxxxxxtx 上连续上连续在在例例ekey21:练习：练习： 2102250)cos1(1limxxdttx101:key2)0(:fkey).2(),1()(, 0,)(2202fxxdttfxxfx求求并且并且连续连续设设例例 4. 5)2(,21)(: fxxfkey4:2 key例例5 5 试证试证为任意常数，为任意常数，的连续函数，的连续函数，是周期为是周期为若若atxf)(dxxfdxxfttaa 0)()(则有则有则有则有设设,)()(dxxfaftaa aaftatafaf )()()

7、()()(为任意常数为任意常数常数常数 acaf 即即任意的任意的故故)(),0()(afaf dxxfdxxfttaa 0)()(当被积函数为周当被积函数为周期函数时，可直期函数时，可直接引用此公式。接引用此公式。0解:课后练习课后练习 1.1.求求的极值。的极值。dttexfxt02)(p158 例例2)()(aftaf ?)0(000,)()(, 0)0()(120 xxxdtttfxfxfx则则设设，且，且是具有连续导数的函数是具有连续导数的函数、若、若思考：思考： xtxdtduufdttxtfxf000)()()(3为连续函数，证明：为连续函数，证明：、设、设23sin1lim02

8、0 xxduubuxax二、牛顿二、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式(定理定理6.3),)(上连续上连续在在设设baxf,也是一个原函数也是一个原函数若若)(xf则有则有的一原函数，的一原函数，是是则则)()()(xfdttfxxa .)()(cbfdxxfba 故故.)()(cxfdttfxa 时时，当当ax ,)(caf )()()(afbfdxxfba 所以所以)(xf ba|莱莱布布尼尼茨茨公公式式牛牛顿顿 称称为为微微积积分分学学基基本本公公式式牛牛顿顿莱莱布布尼尼茨茨公公式式也也)1(.原原函函数数问问题题求求定定积积分分问问题题转转化化为为求求不定积分问题不定积分问题).()()(a

9、fbfdxxfba 仍仍有有时，时，当当ba )2(（f(x)在在a,b上不连续或者原函数不能用初等函数表示时，此公式失效）上不连续或者原函数不能用初等函数表示时，此公式失效）.)1(1)3(;)2(;1)1(3122042 dxxxdxxedxxaxe求求例例 6. 14ln)1(: key.12133)3( ).1(21)2( ae.111dxx界界，故故必必定定不不可可积积上上不不仅仅不不连连续续，而而且且无无在在1 , 11 x算算分分的的区区间间可可加加性性进进行行计计可可积积的的，此此时时可可运运用用积积点点时时是是有有界界，且且有有有有限限个个间间断断而而当当被被积积函函数数不不

10、连连续续但但例例7 7 设设 , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf 102120)()()(dxxfdxxfdxxf 102152dxxdx原式原式. 6 xyo12解:.sin2120 dxx 8例例.1213: key( (带有绝对值的函数一般可化为分段函数处理带有绝对值的函数一般可化为分段函数处理.).)当被积函数为分段函数时当被积函数为分段函数时, ,定积分应该分段去积定积分应该分段去积. .例：例： 求求 .,max222 dxxx由图形可知由图形可知,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原式原式.211 xyo2xy xy 122 解:p160 例例4xdxxcos2sin120 练习：练习：1 1 求求的极值。的极值。dttexfxt02)(,)(2xxexf , 0, 0)( xxf得唯一驻点得唯一驻点令令。处处取取得得极极小小值值在在故故0)0(0)(fxxf( (求定积分极值的问题求定积分极值的问题) ), 01)0( f且且2)21()(2xexxf 解:, 1)(2)(0 dttfxxfx)