第3讲平面及其方程

1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学一元微积分学 大大 学学 数数 学学（一一）第八讲第八讲 平面及其方程平面及其方程第一章第一章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第三节第三节 平面及其方程平面及其方程本节教学要求： 理解平面的法向量的概念。 熟悉平面的点法式方程、三点式方程、截距式方程 和一般方程以及它们间的转化。 熟悉平面间的夹角、点到平面的距离的计算。 掌握平面间垂直、平行与它们的法向量间的关系。一一. 平面的法向量平面的法向量第三节第三节 平面及其方程平面及其方程二二. 平面的方程平面的方程三三. 与平面有关的几个问题与平面有关的几个问题一一. 平面的法向量平面的法向

2、量 垂直的任何非零与已知平面 向量。向量均称为该平面的法 ) , ,( 。法向量通常记为cban 1 的法向量称为单位法模等于 , ,0。记为称为单位法向量向量n ) 0( , 的法向量。均为为实数则的法向量为平面若nn ,/ / , 11的法向量。也是平面则平面的法向量为平面若nnn1nn二二. 平面的方程平面的方程1. 平面的点法式方程2. 平面的一般方程3. 平面的三点式方程4. 平面的截距式方程5. 小结(点法式)1. 平面的点法式方程xyzon 0m ),( 0000zyxm通过点已知平面 , 3中在空间r ),( cban 的法向量及 ) ,( 。不同时为零cba m : ),(

3、0mmzyxm构成向量上任取一点在平面 , ),(0000zzyyxxmm 0 , 00即有。故则nmmnmm 0)()()(000。zzcyybxxa2. 平面的一般方程 , 0)()()( 000得由平面的点法式方程zzcyybxxa 0000。czbyaxczbyax ),( 000则有令czbyaxd 0。dczbyax , ),( ,0000则有满足上面的方程如果点反过来zyxm , 0000dczbyax , 000从而故czbyaxd , 0)()()(000zzcyybxxa ),( 0000上。在平面即点zyxm定理定理 1 1 , , , 3的一次方程任何一个关于空间中在z

4、yxr 0dczbyax 的法向量为该方程所表示的平面都是平面方程。 ) , ,(。cban ) , , , (不全为零。其中cba 的转化一般方程与点法式方程 0 dczbyax一般方程 0)()()( 000zzcyybxxa点法式方程 , 0 则假设a ), , ,(cban )0 0, ,( 0。过点adm 000czbyaxd令 ) , ,( 0000zyxm过点 ), , ,(cban )( 1 截距式方程。czbyax 位置平面在坐标系中的特殊 , 0 则的一般方程为设平面dczbyax , 0 ) 1 (则平面方程为若d , 0 czbyax , 0 , 0 , 0 ,满足方程

5、此时zyx , 0 过坐标原点。平面时故dyxzo 位置平面在坐标系中的特殊 , 0 则的一般方程为设平面dczbyaxoyxz , 0 )2(则平面方程为若c , 0 dbyax ) 0 , ,( 。平面的法向量ban , 01 0 0)0 ,(），（，bakn 轴。znkn 0c / , 0轴。则平面zd , 0轴。则平面通过 zd 0c / , 0轴。则平面zd , 0轴。则平面通过 zd 位置平面在坐标系中的特殊 , 0 则的一般方程为设平面dczbyax 0c / , 0轴。则平面zd , 0轴。则平面通过 zd 0b / , 0轴。则平面yd , 0轴。则平面通过 yd 0a /

6、, 0轴。则平面xd , 0轴。则平面通过 xd 位置平面在坐标系中的特殊 , 0 则的一般方程为设平面dczbyax , 0 , 0 )3(则平面方程为若ba , 0 dzc 0 , 0ba ) ( / , 0。轴垂直于平面则平面zxyd , 0平面重合。与则平面xyd / / ), , 0 , 0(。且kncnoyxz 位置平面在坐标系中的特殊 , 0 则的一般方程为设平面dczbyax 0 , 0ba ) ( / , 0。轴垂直于平面则平面zxyd , 0平面重合。与则平面xyd 0 , 0ca ) ( / , 0。轴垂直于平面则平面yxzd , 0平面重合。与则平面xzd 0 , 0c

7、b ) ( / , 0。轴垂直于平面则平面xyzd , 0平面重合。与则平面yzd3. 平面的三点式方程 3的三点空间中不在同一直线上已知 r ),( ),( ),(333322221111zyxmzyxmzyxm 面的方程。求由此三点所确定的平不在同一直线上的三点确定一个平面。1m2m3m3121mmmmn 点法式方程),(zyxm 向量共面定理定理 1 11m2m3m),(zyxm 的充要条件是 3的三点空间中不在同一直线上设 r ),( ),( ),(333322221111zyxmzyxmzyxm上位于平面则空间中点确定一个平面 ),( , zyxm 0)(13121。mmmmmm 3

8、的三点空间中不在同一直线上r ),( ),( ),(333322221111zyxmzyxmzyxm 所确定的平面的方程为 0 131313121212111。zzyyxxzzyyxxzzyyxx, 0)(13121mmmmmm ,),( 3即其中rzyxm )( 0 131313121212111三点式方程。zzyyxxzzyyxxzzyyxx4. 平面的截距式方程 3标轴上的三点空间中分别位于三个坐r ) , 0 , 0( ),0 , , 0( ),0 , 0 ,(crbqap 所确定的平面的方程为 , 0 00 0000000000 cabazyaxcabazyax 0 。即abcabz

9、acybcx 1 。czbyax轴上的截距。平面在分别为 , , , ,zyxcba , 0 故该平面方程为由于abcoyxz)0 , 0 ,(ap)0 , 0(bq), 0 , 0(cr 3空间中的三点r 所确定的平面的方程为 1 。czbyax ) 1 , 1 , 1 ( ,。此时cban , , 称为方程中的cba 截距。平面在相应坐标轴上的 ) , 0 , 0( ),0 , , 0( ),0 , 0 ,(crbqap )( 1 截距式方程。czbyax , 3的方程有平面空间中r(点法式) 0)()()(000zzcyybxxa )( 0 131313121212111三点式方程zzy

10、yxxzzyyxxzzyyxx )( 1 截距式方程czbyax 0dczbyax ) (一般方程例 )3 , 2 , 0( ),2 , 3 , 1( ),4 , 1 , 2( 321的求过点mmm 平面的方程。解解 , 得所求平面方程为由平面的三点式方程 , 0 55113232 322301342102320 zyxzyx 021 139 20 。即zyx )13 , 9 ,20(n例解解 :平面方程求由下列条件所确定的 ; ) 1 , 3 , 4( )1 (轴和通过点xm ; )7 , 11 , 5( )2 , 0 , 4( )2(21轴且平行于和通过点xmm ) 1 , 3 , 0(

11、) 1 , 2 , 0( ) 1 , 1 , 1( )3(。且平行于和通过点aba , ) 1 (上。及坐标原点均在平面故轴通过平面ix , )3, 1, 0( 134001 kjiomin平面的法向量 ) )0 , 0 , 0( ( ,o点得所求平面方程为由点法式方程 0 3。zy例解解 : 的方程平面求由下列条件所确定的 ; ) 1 , 3 , 4( )1 (轴和通过点xm ; )7 , 11 , 5( )2 , 0 , 4( )2(21轴且平行于和通过点xmm ) 1 , 3 , 0( ) 1 , 2 , 0( ) 1 , 1 , 1( )3(。且平行于和通过点aba ,/ / , /

12、/ )2(。故即平面轴平面inix , )11, 9, 0( 001)2(701145 21kjiimmn平面的法向量 ) )11 , 9 , 0( , ( ,1nm点得所求平面方程为由点法式方程 022119。zy例解解 : 的方程平面求由下列条件所确定的 ; ) 1 , 3 , 4( )1 (轴和通过点xm ; )7 , 11 , 5( )2 , 0 , 4( )2(21轴且平行于和通过点xmm ) 1 , 3 , 0( ) 1 , 2 , 0( ) 1 , 1 , 1( )3(。且平行于和通过点aba ,/ / )3(。故平面ana , )3, 1, 5( 1301112) 1(0 kj

13、iaabn平面的法向量 ) )3 , 1 , 5( , ( ,nb点得所求平面方程为由点法式方程 0135。zyx) 3 , 1 , 5( 或n例解解 )3 , 1 , 2( ) 1 , 0 , 1 ( 且过点和求平行于向量ba )4 , 1 , 3(的方程。的平面p , , ,/ / ,/ / 故取的法向量故平面因为bnanba ),1, 5, 1( 312101 kjiban ) ) 1 , 5 , 1( , ( ,np点的方程为得平面由平面的点法式方程 , 0)4)(1()1()(5()3)(1(zyx 025 。即zyx) 1 , 5 , 1 ( n或三三. 有关平面的几个问题有关平面

14、的几个问题 . 1两个平面间的夹角 . 2点到平面的距离1. 两个平面间的夹角定定 义义 ,。角称为这两个平面间的夹夹角两个平面的法向量间的) ( 0 1. :为两平面间的夹角。规定 0 ,/ / . 221。或则若 设两平面的方程为 ), , ,( , 0 :111 11111 1cbandzcybxa ) , ,( , 0 :222222222。cbandzcybxa , , , 2 1 21则记nn , | |cos222222212121 212121 2121cbacbaccbbaannnn 0 。其中 夹角的计算公式例解解 , 094 : , 01354 : 21zyxzyx已知平

15、面 21。间的夹角与求 , ),1 , 4 , 1 ( ),3 , 5 , 4( 21所以因为nn ) 1()4(1 3)5(4) 1(3)4()5(14cos222222 , 7 . 0 30 21 4345 o。故 则 行关系平面间的相互垂直和平 设两平面的方程为 ), , ,( , 0 :111 11111 1cbandzcybxa ) , ,( , 0 :222222222。cbandzcybxa 0 0 212121212121。ccbbaannnn 0 / / / /212121212121。ccbbaannnn 21212121 21。重合与ddccbbaa例解解 : )2 ,

16、7 , 4( ) 1 , 3 , 8( 121且与平面和通过点平面mm , 021753的方程。平面垂直zyx11m2m1nn , ) 1 ,10 , 4( :21引入向量mm )7 , 5 , 3( : 11。的法向量平面n , , ,211故取由题意mmnnn ),2, 1, 3(25)50,25,75( 1104753 211kjimmnn ) ( : ,1m点的方程得平面由点法式方程 02323。zyx例解解 , , )2, 3, 4( 21垂直和使它与平面的平面求过点p 05432 : ; 02 : ,21。其中zyxzyx , , , , 2121。的法向量为依次记平面nnn ,

17、, , , , 2121故取所以因为nnnn ),7, 6, 5( 432121 21kjinnn ) ( p点的方程为由点法式方程得平面 052765。zyx2. 点到平面间的距离外的一点及平面已知平面 0 : dczbyax d ), , ,(11111。的距离到平面求点mzyxm1mp |d1pmm1 的投影的投影1mp |d1pm0mn ),( 0000zyxm上任取一点在平面 0 000。则dczbyax , 100则和引入向量mmpm ),( 。的法向量为平面cban , | | |101mmprjpmn ),( ,01010110。其中zzyyxxmm | )()()(| | d22