第一章空间解析几何

1、第一部分第一部分 主要内容主要内容第二部分第二部分 典型例题典型例题第一章第一章 空间解析几何空间解析几何 第一部分第一部分 主要内容主要内容一、向量代数一、向量代数二、空间解析几何二、空间解析几何向量的向量的线性运算线性运算向量的向量的表示法表示法向量积向量积数量积数量积向量的积向量的积向量概念向量概念一一、向量代数向量代数如果向量如果向量,zyxaaaa kajaiaazyx 向量的坐标表示为向量的坐标表示为( (一一)向量的坐标表示向量的坐标表示已知空间两点已知空间两点111222(,),(,)a x y zb xy z则向量则向量212121,abxx yy zzyzxaxayaza.

2、 .轴上的投影轴上的投影分别为向量在分别为向量在其中其中,xyzaaa, ,x y z(二）向量的加减法、向量与数的乘积的坐标表达式二）向量的加减法、向量与数的乘积的坐标表达式,xyzaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa 设设222|zyxaaaa （三）向量模（三）向量模( (长度长度) )的坐标表示的坐标表示222coszyxxaaaa 222coszyxyaaaa 222coszyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式)1coscoscos(222 ( (四四) )数量积数量积 cos|bab

3、a ( (点积、内积点积、内积) )zzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式ba 0 zzyyxxbababa222222cosxxyyzzxyzxyza ba ba ba ba baaabbb 利用内积求两向量的夹角的公式利用内积求两向量的夹角的公式其中其中为为与与的夹角的夹角. . ab利用内积表示向量的长度利用内积表示向量的长度aa a 0a b ( (五五) )向量积向量积( (叉积、外积叉积、外积) )abcab sin|bac 其中其中为为与与的夹角的夹角ab的方向既垂直于的方向既垂直于又垂直于又垂直于指向符合右手系指向符合右手系. .c,a,b向量向量a

4、与与b的向量积为一个向量的向量积为一个向量,记为记为cab向量向量c的长度为的长度为;kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式ba zyxzyxbbbaaakjiba zzyyxxbababa a与与b平行平行0ab直线直线曲面曲面曲线曲线平面平面参数方程参数方程旋转曲面旋转曲面柱面柱面二次曲面二次曲面一般方程一般方程参数方程参数方程一般方程一般方程对称式方程对称式方程点法式方程点法式方程一般方程一般方程空间直角坐标系空间直角坐标系二二、空间解析几何空间解析几何x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o( (一一) )空间直角坐标

5、系空间直角坐标系空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx 21221221221zzyyxxmm 它们距离为它们距离为两点间距离公式两点间距离公式设设为空间两点为空间两点, ,1111(,),mxy z2222(,)mxyz( (二二) )曲面及其方程曲面及其方程如果曲面如果曲面与三元方程与三元方程有下述关系：有下述关系：s( , , )0f x y z (1) (1) 曲面曲面上任一点的坐标都满足方程；上任一点的坐标都满足方程；s(2) (2) 那么，方程那么，方程就叫做曲面就叫做曲面的方程，而的方程，而曲面曲面就叫做方程的图形就叫做方程的图形. .( , , )0f x y z ss坐

6、标满足方程的点都在曲面坐标满足方程的点都在曲面 上上s1. 1. 旋转曲面旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所面上的一条定直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面成的曲面称为旋转曲面, ,称这称这条定直线为该旋转曲面的轴条定直线为该旋转曲面的轴. .ozyxc),(zyxm), 0(111zym绕坐标轴旋转的旋转曲面方程的特点绕坐标轴旋转的旋转曲面方程的特点: :) )2 2( (方程为方程为轴旋转所成的旋转曲面轴旋转所成的旋转曲面绕绕曲线曲线设有平面曲线设有平面曲线( , )0:0f x ylz ) )1 1( (方程为方程为轴旋转所成的旋转曲面轴

7、旋转所成的旋转曲面绕绕曲线曲线lx22( ,)0f xyzly22(, )0fxzy（2 2）圆锥面）圆锥面222zyx （1 1）球面）球面（3 3）旋转双曲面）旋转双曲面2222221xyzabc2222xyzr2. 2. 柱面柱面定义：定义： 平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线c c移动的直线移动的直线l l所形成所形成这条定曲线叫柱面的这条定曲线叫柱面的准准线线，动直线叫柱面的，动直线叫柱面的母线母线. .柱面方程的特征：柱面方程的特征：只含只含yx,而缺而缺 的方程的方程在空间直角在空间直角坐标系中表示坐标系中表示母线平行于母线平行于 轴的柱面，其轴的柱面，其准线为准线为

8、xoy( , )0,f x y .czz平面上曲线平面上曲线的曲面称为柱面的曲面称为柱面.clxyzoclm1m(1) (1) 圆柱面圆柱面 222ryx xyzo(2) (2) 抛物柱面抛物柱面 )0(22 ppyxxyzo(3) (3) 椭圆柱面椭圆柱面 12222 byax3. 3. 二次曲面二次曲面定义定义: :三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面. .（1 1）椭球面）椭球面1222222 czbyaxzqypx 2222（2 2）椭圆抛物面）椭圆抛物面(p与与q同号同号)（4 4）单叶双曲面）单叶双曲面1222222 czbyax（6 6）圆锥面

9、）圆锥面222zyx zxyo2222221xyzabc （5 5）双叶双曲面）双叶双曲面xyz( (三三) )空间曲线空间曲线 0),(0),(zyxgzyxf1. 1. 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 )()()(tzztyytxx2. 2. 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程3. 3. 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影 0),(0),(zyxgzyxf消去变量消去变量 后得后得：0),( yxh设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程： 00),(zyxh曲线在曲线在 面上的投影曲线为面上的投影曲线为xoy 00),(xzyr 00),(yzxt面上的投影曲线面

10、上的投影曲线yoz面上的投影曲线面上的投影曲线xozz( (四四) )平面平面,cban ),(0000zyxmxyzon0mm1. 平面的点法式方程平面的点法式方程0)()()(000 zzcyybxxa2. 平面的一般方程平面的一般方程0 dczbyax1 czbyax3. . 平面的截距式方程平面的截距式方程xyzoabc0:11111 dzcybxa0:22222 dzcybxa4.4.平面的夹角平面的夹角( (即它们的法向量的夹角即它们的法向量的夹角) )121212222222111222|arccosa ab bc cabcabc 5. 5. 两平面位置特征：两平面位置特征：21

11、)1( 0212121 ccbbaa21)2( /212121ccbbaa 1 1n2 2n ( (五五) )空间直线空间直线0:11111 dzcybxa0:22222 dzcybxa 00:22221111dzcybxadzcybxal1. 1. 空间直线的一般方程空间直线的一般方程xyzo1 2 lxyzosl0m m 3. 空间直线的参数方程空间直线的参数方程pzznyymxx000 2. 2. 空间直线的对称式方程空间直线的对称式方程 ptzzntyymtxx000),(0000zyxm,pnms 121212222222111222|cosm mn np pmnpmnp 直线直线:

12、1l111111pzznyymxx 直线直线:2l222222pzznyymxx 两直线的夹角两直线的夹角 公式公式4. 4. 两直线的夹角两直线的夹角 5. 5. 两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(ll 1212120m mnnp p21)2(ll/111222mnpmnppzznyymxxl000: 0: dczbyax6. 直线与平面的夹角直线与平面的夹角222222|arcsinambncpabcmnp 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式: :直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系 l)1(abcmnp l)2(/0ambncp二、典型例题二、典型例题(1, 2,3

13、)p关于关于xoz平面的对称点平面的对称点m为为 . xyz(1, 2,3)m(1,2,3)mo答案答案(1,2,3)m测试点测试点: 关于坐标平面的对称点的坐标的特征关于坐标平面的对称点的坐标的特征.例例1 1例例2 2 设向量设向量a与与b的夹角的夹角,3 4,5.ab计算计算.ab解解() ()ababab2a aa bb b 222cos3aa bb 22142 4 552 21.测试点测试点:(1)(1)如何应用内积求向量的长度如何应用内积求向量的长度; ;(2)(2)内积的性质内积的性质( (与多项式运算类似与多项式运算类似););(3)内积的定义内积的定义.例例3 3 以下各组数

14、不能作为某向量的方向余弦的是以下各组数不能作为某向量的方向余弦的是22a. ,022632b. 632, 1c. 312,25132d.141414,解解 根据数组根据数组123,a a a能作为某向量的方向余弦能作为某向量的方向余弦的充要条件是的充要条件是2221231.aaa答案答案c c例例4 4 在三维直角坐标系中在三维直角坐标系中, ,方程方程2222221zxycab表示的图形是表示的图形是 ( ). a.单叶双曲面单叶双曲面b.双叶双曲面双叶双曲面c.锥面锥面d.抛物面抛物面解解 从方程容易看出从方程容易看出z的取值范围是的取值范围是.zc答案答案测试点测试点 根据二次方程判断方

15、程表示的图形根据二次方程判断方程表示的图形b例例5 5 求过点求过点123(3,0,1),(1,2,3),( 1,0,0)ppp 的平面方程的平面方程.解法解法1 11213npppp 2222108401ijkijk 1213 2,2,2, 4,0, 1p pp p 由平面的点法式方程知所求平面方程为由平面的点法式方程知所求平面方程为( 2)( 1) 10(0)8(0)0 xyz 即即5410.xyz 解法解法2 2 用一般式方程用一般式方程设所求平面方程为设所求平面方程为0axbyczd将将 点的坐标代入得方程组点的坐标代入得方程组 323acdabcdad 取取1a 解得解得1,4,5.

16、dcb 于是于是, ,所求平面方程为所求平面方程为5410.xyz123,p p p测试点测试点:(1)(1)平面的点法式方程平面的点法式方程 ( (如何根据已知如何根据已知条件求出平面的法向量条件求出平面的法向量) )求平面方程的一般方法求平面方程的一般方法:(2)根据平面的一般式方程根据平面的一般式方程( (设平面方程为设平面方程为: :0,axbyczd将已知条件代入确定将已知条件代入确定系数系数,.a b c d( (注意注意: :有一个自由未知数有一个自由未知数.).)例例6 6 求过点求过点0(2,0,1)p且与直线且与直线423902360 xyzxyz 平行的直线方程平行的直线

17、方程. .解解 所求直线的方向向量为所求直线的方向向量为12423728231ijkvnnijk用直线的点向式用直线的点向式( (对称式对称式) )方程得所求直线方程为方程得所求直线方程为21.728xyz测试点测试点:(1)(1)根据直线的一般方程求直线的方向向量根据直线的一般方程求直线的方向向量; ;(2)(2)写直线的点向式写直线的点向式( (对称式对称式) )方程的方法方程的方法. .例例7 7 求求xoy平面上的曲线平面上的曲线224936xy绕绕y轴旋转轴旋转所得旋转曲面方程所得旋转曲面方程解解 因为绕因为绕y轴旋转轴旋转, ,故所得旋转曲面方程是由曲线方程故所得旋转曲面方程是由曲

18、线方程中中y不动不动, ,将将2x变成变成22xz 得到得到. .故所求曲面方程为故所求曲面方程为2224()936.xzy测试点测试点: : 如何求旋转曲面的方程如何求旋转曲面的方程思考思考 改为绕其他坐标轴旋转改为绕其他坐标轴旋转, ,结果如何结果如何? ?所所得二次曲面的图形怎样得二次曲面的图形怎样? ?. 解解 设动点设动点例例8 8 一动点与点一动点与点的距离是它到平面的距离是它到平面的的距离的一半，试求该动点轨迹曲面的方程距离的一半，试求该动点轨迹曲面的方程. . 为为( , , ),p x y z则则222(1)pmxyz它到平面它到平面4x 的距离为的距离为4 .x 故所求曲面方程为故所求曲面方程为2221(1)42xyzx即即22234412xyz(1,0,0)m4x 测试点测试点: (1)求两点的距离公式求两点的距离公式;(2)(2)求一点到平行于坐标平面的平面的距离求一点到平行于坐标平面的平面的距离; ;(3)(3)求满足某种条件的曲面方程的一般方法求满足某种条件的曲面方程的一般方法. .例例9 9 求直线求直线30:0 xyzlxyz 与平面与平面21