第一型线积分与面积分

1、第六节第六节第一型线积分第一型线积分第一型面积分第一型面积分 第一型线积分与面积分第一型线积分与面积分 我们将把积分概念推广到积分范围为一段曲线弧或我们将把积分概念推广到积分范围为一段曲线弧或一片曲面的情形。一片曲面的情形。曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对弧长的曲线积分（第一型线积分第一型线积分）对坐标的曲线积分（第二型线积分第二型线积分）对面积的曲面积分（第一型面积分第一型面积分 ）对坐标的曲面积分（第二型面积分第二型面积分 ）本节讨论：本节讨论：1.1.引例引例: :曲线形构件的质量曲线形构件的质量oxyab1 nmim1 im2m1m),(ii l分割分割121,nm mmln用用点点

2、分分 成成 个个小小段段，,),(iiis 取取.),(iiiism 求和求和.),(1 niiiism 取极限取极限.),(lim10 niiiism 近似值近似值精确值精确值一、对弧长的曲线积分的概念一、对弧长的曲线积分的概念 一曲线形构件在一曲线形构件在x o y平面内所平面内所占位置是一段曲线弧占位置是一段曲线弧l，l上任一上任一点处的线密度点处的线密度(x,y)在在l上连续上连续.计算此构件的质量计算此构件的质量. .10121,.iiinsmm inmamb记记（， ，），= = ，= =,( , ).lxoyf x yl设设 为为面面内内一一条条光光滑滑曲曲线线弧弧 函函数数在在

3、 上上有有界界2.定义定义oxyab1 nmim1 im2m1m),(ii l010,lim(,),niiiifs 令令 小小弧弧段段长长度度的的最最大大值值若若极极限限存存在在( , ).lf x y ds 记记作作121,.nlm mmln在在 上上任任意意插插入入点点把把 分分成成 个个小小段段,iis 设设第第 个个小小段段的的长长度度为为1( ,),( ,),niiiiiiifsfs 作作乘乘积积并并作作和和(,),iii 在在第第 个个小小段段上上任任意意取取定定的的一一点点( , )f x yl函函数数在在曲曲线线弧弧 上上对对弧弧长长的的曲曲线线积积分分也也叫叫第第一一型型线线

4、积积分分. .( , ),f x yl则则称称此此极极限限是是函函数数在在曲曲线线弧弧 上上对对弧弧长长的的曲曲线线积积分分01( , )lim(,).niiilif x y dsfs 积分弧段积分弧段类似地可定义类似地可定义( , , )f x y z 函函数数在在空空间间曲曲线线弧弧 上上对对弧弧长长的的曲曲线线积积分分为为.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 注意：注意：12(1).(),()llll若或是分段光滑的.),(),(),(2121 lllldsyxfdsyxfdsyxf(2).( , )( , ).lf x ylf x y ds 函数在闭曲线上对弧长的曲线积

5、分记为01( , )lim(,).niiilif x y dsfs 存在条件：存在条件：( , ),( , ).lf x ylf x yds当当在在 光光 滑滑 曲曲 线线 弧弧 上上 连连 续续 时时对对 弧弧 长长 的的 曲曲 线线 积积 分分存存 在在( , )f x yl今今后后总总假假定定在在 上上是是连连续续的的. .定理定理 ( ,),( ),(),( ),f x yllxttyt 设设在在光光滑滑曲曲线线弧弧上上连连续续的的参参数数方方程程为为则则二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路基本思路:计算定积分转 化求曲线积分22( , ) ( ), ( )

6、( )( )()lf x y dsftttt dt ( )( )iiiitt设，上的一个分割。上的一个分割。为为证：设证：设,10 ntttisttii 上上的的弧弧长长为为相相应应曲曲线线有有一一分分割割，记记,11iiitttdtttsiitti 1)()(22 iiittt )()(22 连连续续上上连连续续，在在因因为为)()(),(22ttlyxf 2201lim ( ),( )( )( )niiiiiiftttttdtttttf )()()(),(22oxyab1 nmim1 im2m1m),(ii l可积可积)()()(),(22ttttf niiiisf10),(lim max

7、is记( , )lf x y ds 注意注意: :;. 1 一定要小于上限一定要小于上限定积分的下限定积分的下限特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyl .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbal )(ba .)(:)3( rrl.sin,cos),(22 drrrrfdsyxfl .)(:)2(dycyxl .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcl )(dc 推广推广:)().(),(),(: ttztytx222( , , ) ( ),( ),( )( )( )( )f x y z dsftttttt dt 例例1,:liydsl 求求其其 中中 2)(1,0)(1,1

8、).oabab折折线线，其其中中， 21)4 ,(1,2)(1, 2);yxab点点到到一一段段例例2. 计算曲线积分计算曲线积分 ,d)(222szyx其中其中 为螺旋线为螺旋线的一段弧的一段弧.)20(,sin,costtkztaytax三、几何与三、几何与物理意义物理意义1 ( )( , ),当当表表示示 的的线线密密度度时时f x yl( , );lmf x y ds;,1),()2( ldslyxf弧长弧长时时当当3( )( , )( , ),当当表表示示以以 为为准准线线的的柱柱面面在在点点处处的的高高时时f x ylx y.),( ldsyxfs柱柱面面面面积积sl),(yxfz

9、 4xy( ) 均均匀匀曲曲线线弧弧对对 轴轴及及 轴轴的的转转动动惯惯量量.22xylli =yds,i =xds5( ) 曲曲线线弧弧的的质质心心坐坐标标,.llllx dsy dsxydsds 26.319y2 2x x例例 （柱柱面面的的侧侧面面积积） 设设椭椭圆圆柱柱面面被被5 5平平面面z=yz=y与与z=0z=0所所截截。求求位位于于第第一一、二二卦卦限限内内所所截截下下部部分分的的侧侧面面积积. .6.4 例例设设 有有 半半 圆圆 形形 的的 金金 属属 丝丝 ， 质质 量量 均均 匀匀 分分 布布 ，求求 它它 的的 质质 心心 和和 对对 直直 径径 的的 转转 动动 惯

10、惯 量量 。三、对面积的曲面积分的概念三、对面积的曲面积分的概念引例引例: 求求具有连续面密度 的曲面形构件的质量.( , , )x y zoxyz类似求平面薄板质量的思想, 采用可得 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法,kkkks),(nk 10limm其中, 表示 n 小块曲面的直径的最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). ),(kkkks 定义定义记为记为 dszyxf),(.叫被积函数，叫被积函数，其中其中),(zyxf.叫叫积积分分曲曲面面 则对面积的曲面积分存在则对面积的曲面积分存在.即即),(zyxf若在光滑曲面在光滑曲面 上连续上连续, 定理定理 对

11、积分域的可加性.,21则有szyxfd),(1d),(szyxf2d),(szyxfszyxgkzyxfkd),(),(21 线性性质.则为常数设,21kkszyxgkszyxfkd),(d),(21对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.若 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面四、对面积的曲面积分的计算法四、对面积的曲面积分的计算法 1.曲面面积的计算曲面面积的计算3,rs设设空空间间有有一一曲曲面面其其参参数数方方程程为为( , )( ( ,( , ), ( , )rr u vx u vy u vz u v）, ,（u,vu,v） d d212300,( , ),(, ),(,),( ,

12、)(,).vcdu vm uu vmuu vvmu vvuv 1 1 我我们们用用微微元元法法来来讨讨论论曲曲面面的的面面积积。用用坐坐标标线线u u= =c c把把区区域域 划划分分成成若若干干小小区区域域，考考察察其其中中一一个个以以点点m m为为顶顶点点的的小小矩矩形形，123123( , ),(, ),(,),( ,),u vm uu vmuu vvm u vvsp p p ps 设设在在映映射射r r下下,m,m的的像像点点分分别别为为曲曲面面 上上的的所所围围成成的的区区域域。oxyzks 由由于于221223(, )( , )( ()() )( ,)( , )( ()() )uu

13、vvppr uu vr u vruouvruppr u vvr u vrvouvrv ,uvru rvsmuv分分别别为为曲曲面面 上上过过点点的的u u曲曲线线和和v v曲曲线线的的切切向向量量，当当，都都很很小小时时，有有|uvdsrrdudv| |uvuvsru rvrru v 。00,uv令令取取极极限限，得得|uvdsrrdudvs从从而而曲曲面面 的的面面积积为为24|.dsrrd dr r例例6.5 6.5 求求半半径径为为 的的球球面面的的面面积积。解解 球球面面的的参参数数方方程程为为os ,sinsin ,cosrsin cyrzrx=x=0 20( , ) , , d 0

14、(sin ,sinos , ),(cosos ,cossin ,sin )rrsinrcrrcrr 经经计计算算知知，2|sinrrr于于是是22|1.xyxyxyxyddsrrdxdyzz dxdy :( , ),xyzz x yxoydx y 若若曲曲面面在在面面上上的的投投影影区区域域为为将将看看成成参参数数，此此曲曲面面的的向向量量方方程程为为, , ( , ) ,r = r(x,y)= (x y z x y )从从而而(1,0,),(0,1,)xxyyrzrz于于是是22|1xyxyrrzz所所以以221;xzxzdyy dxdzds则s=221.yzyzdxx dydzsds则则:

15、( , )若若曲曲面面在在面面上上的的投投影影区区域域为为xzyy x zxozd :( , )若若曲曲面面在在y y 面面上上的的投投影影区区域域为为yzxx y zozd 2.对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分的计算法 定理定理: 设有光滑曲面( , )( ( ,( , ), ( , )rr u vx u vy u vz u v）, ,（u,vu,v） d df (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有szyxfd),(szyxfd),(则曲面积分( ( , ), ( , ), ( , )|uvdf x u vy u vz u vrrdudvoxyz定理定理: 设有光滑曲面yxd

16、yxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有szyxfd),(yxdyxf),(szyxfd),( , )z x y221d( , )( , )dxyzx yzx yx y则曲面积分yxd),(kkkyxk)(ks 22 , ( , ), 1;xzxzdf x y x zzyy dxdz( , , )f x y z ds则22 ( , ), , 1.yzyzdf x y zy zxx dydz dszyxf),(则则:( , )若若曲曲面面在在面面上上的的投投影影区区域域为为xzyy x zxozd :( , )若若曲曲面面在在y y 面面上上的的投投影影区区域域为为yzxx y zozd 2,12dzdsdyzz2 例6.7 计算其中曲面 是圆锥面z= x上介于与间的部分。yxd例例1. 计算曲面积分,dzs其中是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的顶部.解解: :yxdyxyxaz),( ,:2222222:hayxdyx221yxzz 222yxaazsd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxdyxayxa222dd22022dhararr2aoxzyha例例2. 计算dxyz s 其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面.