导数运算法则

1、一、和、差、积、商的求导法则定理定理并且并且可导可导处也处也在点在点分母不为零分母不为零们的和、差、积、商们的和、差、积、商则它则它处可导处可导在点在点如果函数如果函数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()()3();()()()( )()()2();()( )()()1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuvuvu )(vuvuuv )(2)(vvuvuvu 证证 (2)(2),()()(xvxuxf 设设xxfxxfxfx)()(lim)(0 xxvxuxxvxxux)()()()(lim0 xxvxxvxuxxvxuxx

2、ux)()()()()()(lim0)()()()(xvxuxvxu );()()()( )()(xvxuxvxuxvxu n n2 21 1n n2 21 1n n2 21 1u uu uu uu uu uu u) )u uu u( (u u2推论uc)cu( 1推论 n21uuu3推论2)1(vvv例例1 1.sin223的导数的导数求求xxxy 解解23xy x4 .4cos 例例2 2.4sin36的导数的导数求求 xxy解解56xy 3 .cos x . 0 例例4 4.tan的导数的导数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(s

3、in xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得例例5 5.sec的导数的导数求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos0 .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得 )(secx.tansecxx基本初等函数的导数有：基本初等函数的导数有：. 0)(c)(.)(1rxx .cos)(sinxx .)(cossimxx.ln1)(logaxxa.1)(lnxx .sec)(tan2xx .csc)(cot2xx )(secx.tansecx

4、x.cotcsc)(cscxxx 122|11xyyxxy及求设12yxxxy求设cosln二、反函数的导数定理定理)(1 )( )()()()(111xfyf，yf，yfxxfxxfy且有存在则在相应点连续且反函数，处有不等于零的导数在点如果函数即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.例例7 7.arcsin的导数的导数求函数求函数xy )(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11.112x)(arcsin x211x.112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx )(arcsin x.11)cot(

5、2xx arcyaaayx求且已知)10(例：的反函数是解yxay：axlog)(xa)(log1yaaylnaaxln：即 )(xaaaxln特别地： xxee )(三、复合函数的求导法则定理定理000,)(,)()(,)(0000 xxuuxxdxdududydxdyxxfyxuufyxxu且其导数为可导在点则复合函数可导在点而可导在点如果函数即即 函数函数对自变量求导对自变量求导, ,等于等于函数函数对中间变量求对中间变量求导导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则) )证证,)(0可可导导在在点点由由uufy )(lim00ufuyu )0lim

6、()(00 uufuy故故uuufy )(0则则xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)().()(00 xuf 推广推广),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的导数为的导数为则复合函数则复合函数 dxdududydxdy 例例1010.sinln的导数的导数求函数求函数xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 9例例.3的导数的导数求函数求函数xey 解解,3xueyu dxdududydxdy .33223xexexu 例例111

7、1.)1(102的导数的导数求函数求函数 xy解解xu2109 xx2)1(1092 .)1(2092 xxdxdududydxdy 1,210 xuuy例例1212.arcsin22222的导数的导数求函数求函数axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy 22122xxa.22xa )0( a2222222222121xaaxaxxa 222xa x20 22a2)(1ax a1xx21)( 211)(arcsinxx 例例1313.)2(21ln32的导数的导数求函数求函数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy11212 xy)2(3112 xxx例

8、例1414.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解xey1sin xe1sin .1cos11sin2xexx x2 )2(31 x)1(sin xx1cos )1( x 只需在方程只需在方程f(x,y)=0的两边同时对的两边同时对x求导。而在求求导。而在求导过程中，把导过程中，把y看成看成x的函数。（导数结果中可含有的函数。（导数结果中可含有y)四、隐函数求导法：四、隐函数求导法：隐函数：隐函数：若若x与与y的函数关系由方程的函数关系由方程f(x,y)=0确定，确定，则称这种函数关系为隐函数。则称这种函数关系为隐函数。.)(形式称为显函数形式称为显函数xfy 0),( yxf)(xfy

9、 隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程解解,求导求导方程两边对方程两边对x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 五、对数求导法五、对数求导法观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数

10、.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :.)()(的情形的情形数数多个函数相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函xvxu例例1 1解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得求导得上式两边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设例例2 2解解.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求导得求导得上式两边对上式两边对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy

11、)sinln(cossinxxxxxx 六、由参数方程所确定的函数的导数六、由参数方程所确定的函数的导数.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?t),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都可导都可导再设函数再设函数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数

12、的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx 例例解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方方程程处的切线处的切线在在求摆线求摆线2)cos1()sin( ttayttax.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12( axay)22( axy即即 七、初等函数的求导问题七、初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式 )(csc)(sec)(cot)(tan)(c

13、os)(sin)()(xxxxxxxc )cot()(arctan)(arccos)(arcsin)(ln)(log)()(xarcxxxxxeaaxx01 xxcosxsin x2secx2csc xx tansec xx cotcsc xaxlnxeaxln/1x/121/1x 21/1x )1/(12x )1/(12x 2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则3.复合函数的求导法则复合函数的求导法则),(),(xuufy 而而设设可导，则可导，则、设设)()(xvxu )( 10vuv vu u ) ( 20cuuc 03 )(uvvuvu 04 )(vu2vvu

14、vu 的导数为的导数为则复合函数则复合函数)(xfy ).()()(xufxydxdududydxdy 或或5、隐函数求导法、隐函数求导法：只需在方程只需在方程f(x,y)=0的两边同时对的两边同时对x求导。求导。而在求导过程中，把而在求导过程中，把y看成看成x的函数。（导数结果中可含有的函数。（导数结果中可含有y)4、反函数的求导法则、反函数的求导法则：反函数的导数等于直接函数导数反函数的导数等于直接函数导数的倒数的倒数.6、对数求导法、对数求导法：先对函数取对数再求导的方法。先对函数取对数再求导的方法。7、参数方程求导法、参数方程求导法：。例例1515.的导数的导数求函数求函数xxxy 解解xxxy 21xxx 21xxxxx 211(21.812422xxxxxxxxxx )( xxx 1(xx 21)( xx)211(x yxyx 求求例例, 16sin1sinsin xxxy解：解：xxyxlnsin )(xfa )(xf指数函数指数函数幂函数幂函数幂指函数幂指函数)(sin xxy)(sinln xxe)(lnsin xxe )(lnsinxxe)ln(sin xx xxsinx(cosxln xsi