第3章微分中值定理与导数的应用第五节

1、第三章第三章 oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法第五节第五节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值设设函函数数)(xf在在0 x的的某某个个邻邻域域),(0 xu有有定定义义, ,且且当当),(0 xux 时时, ,恒恒有有)()(0 xfxf , ,则则称称)(0 xf为为)(xf的的一一个个极极大大值值；如如果果当当),(0 xux 时时, ,恒恒有有)()(0 xfxf , ,则则称称)(0 xf为为)(xf的的一一个个极极小小值值. . 定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称

2、为极值极值,使函数取得极值使函数取得极值的点称为的点称为极值点极值点.注注：极值是局部性的概念：极值是局部性的概念, ,极大值不一定比极小值大极大值不一定比极小值大. . oxy0 xoxy0 x定理定理1 1( (必要条件必要条件) )由费马引理可知，由费马引理可知，若若)(xf在在极极值值点点0 x .0)( 0 xf处处可可导导，则则导数等于零的点称为导数等于零的点称为驻驻点点. . 对可导函数来讲对可导函数来讲, ,极值点必为驻点极值点必为驻点, , 但驻点只是极值点的必要条件但驻点只是极值点的必要条件, ,不不是充分条件是充分条件. . 如如3xy 的的驻驻点点为为0 x, ,但但它

3、它不不是是极极值值点点. . 如如xy 在在0 x处处不不可可导导, ,但但却却是是极极小小值值点点. . 另一方面另一方面, , 不可导点不可导点也可能是极值点也可能是极值点, , x yo3xy x yoxy 这就是说这就是说, ,极值点要么是驻点极值点要么是驻点, ,要么是不可要么是不可导点导点, ,两者必居其一两者必居其一. . 我们把驻点和孤立的不可导点统称为我们把驻点和孤立的不可导点统称为极值极值嫌疑点嫌疑点. . 下面给出两个充分条件下面给出两个充分条件, ,用来判别这些嫌疑用来判别这些嫌疑点是否为极值点点是否为极值点. . 定理定理2(2(极值存在的第一充分条件极值存在的第一充

4、分条件) )xyoxyo0 x0 x 设设函函数数)(xf在在0 x处处连连续续, ,在在0 x的的某某去去心心邻邻域域),(0 xu内内可可导导. . (1) (1) 若若),(00 xxx 时时, ,0)( xf, , ),(00 xxx时时, ,0)( xf, , 则则0 x为极大值点；为极大值点； ( (2 2) ) 若若),(00 xxx 时时, ,0)( xf, , ),(00 xxx时时, ,0)( xf, , 则则0 x为极为极小小值点；值点； ( (3 3) ) 如如果果在在上上述述两两个个区区间间内内)(xf 同同号号, ,则则 0 x不不是是极极值值点点. . xyoxy

5、o0 x0 x 一阶导数一阶导数变号法变号法例例1 1解解.593)(23的的极极值值求求函函数数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得驻点得驻点列表讨论列表讨论x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00极大值极大值极小值极小值)3(f极小值极小值.22 )1( f极大值极大值,10 ,)3)(1(3 xx593)(23 xxxxfmm图形如下图形如下例例2 2解解.)2(1)(32的极值的极值求出函数求出函数 xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在时时当当xfx 时，时，当当2 x; 0)( xf时，时

6、，当当2 x. 0)( xf.)(1)2(的极大值的极大值为为xff .)(在该点连续在该点连续但函数但函数xfm定理定理3(3(极值存在的第二充分条件极值存在的第二充分条件) )设设函函数数)(xf在在它它的的驻驻点点0 x处处二二阶阶可可导导, ,则则 ( (1 1) ) 如如果果0)(0 xf, ,则则 0 x为为极极小小值值点点； ( (2 2) ) 如如果果0)(0 xf, ,则则 0 x为为极极大大值值点点； ( (3 3) ) 如如果果0)(0 xf, ,则则无无法法判判断断. . 称为称为“二阶导数非零法二阶导数非零法”(1)(1)记忆记忆: :几何直观；几何直观； ( (3

7、3) )当当0)(0 xf时时, ,失失效效, ,如如: :32, xx在在0 x处处 . . xyo0 x xyo0 x 说明说明：(2) (2) 此此法只适用于驻点法只适用于驻点,不能用于判断不能用于判断不可导点；不可导点； 例例3 3解解.20243)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得驻点得驻点, )2)(4(3 xx,66)( xxf )4(f, 018 )4( f故极大值故极大值,60 )2(f, 018 )2(f故极小值故极小值.48 mm20243)(23 xxxxf图形如下图形如下(1) 确定函数的定

8、义域；确定函数的定义域； (4) 用极值的第一或第二充分条件判定用极值的第一或第二充分条件判定. .注意注意 第二充分条件只能判定驻点的情形第二充分条件只能判定驻点的情形. . 求极值的步骤求极值的步骤: :);(2)xf 求导数求导数(3) 求定义域内部的极值嫌疑点求定义域内部的极值嫌疑点(即驻点或即驻点或 一一阶导数不存在的点阶导数不存在的点) )； oxyoxybaoxyabab.,)(,)(在在上上的的最最大大值值与与最最小小值值存存在在上上连连续续，则则在在若若函函数数baxfbaxf二、函数的最大值、最小值问题二、函数的最大值、最小值问题极值是局部性的极值是局部性的, ,而最值是全

9、局性的而最值是全局性的. . 具体求法：具体求法： ( (1 1) ) 求求出出定定义义域域内内部部的的极极值值嫌嫌疑疑点点( (驻驻点点和和不不可可导导点点) ) kxx,1, ,并并算算出出函函数数值值), 2 , 1()(kixfi ； (2) (2) 求出端点的函数值求出端点的函数值)(),(bfaf； ( (3 3) ) 最最大大值值 )(),(),(,),(max1bfafxfxfmk 最最小小值值 )(),(),(,),(min1bfafxfxfmk . 14123223 xxxy例例4 4解解)1)(2(6)( xxxf.4 , 314123223上的最大值与最小值上的最大值与

10、最小值的在的在求函数求函数 xxxy得得解方程解方程, 0)( xf. 1, 221 xx计算计算 )3(f;23 )2(f;34 )1(f;7;142 )4(f，最大值最大值142)4( f比较得比较得. 7)1( f最小值最小值1 1）如如果果)(xf在在,ba上上单单调调, ,则则它它的的最最值值必必在在端端点点处处取取到到； 2 2）如果）如果)(xf在在,ba上连续上连续, ,且在且在 ),(ba内可导内可导, ,且有惟一驻点且有惟一驻点, , 更进一步更进一步, ,若若实际问题实际问题中有最大中有最大( (小小) )值值, ,且有且有惟一驻点惟一驻点, ,则不必判断极大还是极小则不

11、必判断极大还是极小, ,立即可以断立即可以断定该驻点即为最大定该驻点即为最大( (小小) )值点值点. . 则则若为极小值点必为最小值点，若若为极小值点必为最小值点，若为极大值点必为最大值点；为极大值点必为最大值点； 说明说明: :axa2x 将边长为将边长为a的正方形铁皮的正方形铁皮,四角各截去相同的小四角各截去相同的小正方正方形形, ,折成一个无盖方盒折成一个无盖方盒, ,问如何截问如何截, ,使方盒的容使方盒的容积最大？为多少？积最大？为多少？ 设小正方形的边长为设小正方形的边长为x，则方盒的容积为则方盒的容积为 例例5 5解解a2x 将边长为将边长为a的正方形铁皮的正方形铁皮,四角各截

12、去相同的小四角各截去相同的小正方正方形形, ,折成一个无盖方盒折成一个无盖方盒, ,问如何截问如何截, ,使方盒的容使方盒的容积最大？为多少？积最大？为多少？ 求导得求导得设小正方形的边长为设小正方形的边长为x，则方盒的容积为则方盒的容积为 例例5 5解解，2)2(xaxv ， 2, 0ax，)6)(2(xaxav x惟惟一一驻驻点点 6ax , , 所所以以当当6ax 时时, ,v有有最最大大值值 32726aav . . ，axv824 ，046 aav 将边长为将边长为a的正方形铁皮的正方形铁皮,四角各截去相同的小四角各截去相同的小正方正方形形, ,折成一个无盖方盒折成一个无盖方盒, ,

13、问如何截问如何截, ,使方盒的容使方盒的容积最大？为多少？积最大？为多少？ 求导得求导得设小正方形的边长为设小正方形的边长为x，则方盒的容积为则方盒的容积为 解解，2)2(xaxv ， 2, 0ax，)6)(2(xaxav 例例5 5 要做一个容积为要做一个容积为v的圆柱形罐头筒，怎样设计的圆柱形罐头筒，怎样设计才能使所用材料最省？才能使所用材料最省？hr设底半径为设底半径为r, 高为高为h，总的表面积为总的表面积为例例6 6解解即表面积最小即表面积最小. . 则则容容积积 hrv2 ，2 rvh rhrs 222 ，rvr222 ), 0( r得得惟惟一一驻驻点点 32 vr , 即高与底面

14、直径相等即高与底面直径相等. . ，令令024 2 rvrs 由实际问题由实际问题, ,此时表面积最小此时表面积最小. . ，此此时时rrvrrvh2 32 设设10 x, ,1 p, ,证证明明不不等等式式: :1)1 (211 pppxx. . 设设 ppxxxf)1()( , ,则则 比比较较得得)(xf在在 1 , 0上上的的最最大大值值为为 1 1, ,最最小小值值为为121 p, , 例例7 7解解利用最值证明不等式。利用最值证明不等式。11)1 ()( ppxppxxf，令令0.21 x,1) 1 ()0( ff,21)21(1 pf，故故1)(211 xfp.1)1(211 pppxx即即例例8解解, 0)(e0 xfx时时，, 0)(e xfx时时，之之一一，是是故故所所求求的的最最大大项项只只可可能能又又33,2,71828. 2e 是是所所求求的的最最大大项项。故故33.的的最最大大项项求求数数列列nn分析分析 数列是离散函数数列是离散函数, ,不能求导不能求导, ,应把应把n改为改为x, ,转化为连续转化为连续函数函数, ,再求导再求导. . 设设xxxxxf1)(