第一型曲线积分的计算

1、2 ： 31 3222zzyx， 1 ： 10 222zzyx， 例例 3求空间立体求空间立体的的 形心：形心： 2 , 3),(22222zyxzyxzyx 。 解解： 两两曲曲面面的的交交线线为为 2z322222yxzyx 1222zyx， 3222 zyxzxyozyx222 133222 zyxzxyozyx222 13形形心心在在轴轴上上 z，0 yx。 21dvdvdvv,3)536()3()2(31210 dzzdzz 22222331210zyxzyxdxdydzdxdydz 21zdvzdvzdv 22222331210zyxzyxdxdyzdzdxdyzdz35)3()2

2、(31210 dzzzdzzz83)536(53)536(351 zdvvz， 形心的坐标为（形心的坐标为（0，0，83)536(5 ） 。） 。 二物体的转动惯量二物体的转动惯量设设在在上上 3r有有 n 个个质质量量为为nmmm , , ,21的的质质点点组组， 它它们们的的坐坐标标分分别别为为) , , 2 , 1( ) , ,(nizyxiii ，这这个个 质质点点组组绕绕着着某某一一条条直直线线 l 旋旋转转，设设这这 n 个个质质点点到到直直线线 l 的的距距离离分分别别是是nddd , , ,21，由由力力学学可可知知，质质点点组组 对对直直线线l的的转转动动惯惯量量为为 nii

3、imdj12 当当 l 分分别别是是轴轴 x，轴轴 y，轴轴 z时时，则则质质点点组组分分别别 对对轴轴 x，轴轴 y，轴轴 z的的转转动动惯惯量量分分别别为为 niiiixmzyj122)(, niiiiymxzj122)(, niiiizmyxj122)(。 设质量连续分布的物体，占有设质量连续分布的物体，占有 空间闭区域空间闭区域，密度，密度 函数为连续函数函数为连续函数),(zyxf，求该物体对，求该物体对轴 x，轴 y， 轴轴 z的转动惯量。的转动惯量。 同理可得同理可得 dvzyxfxzjy),()(22， dvzyxfyxjz),()(22。 ),(zyxm，取包含点，取包含点m

4、的一体积微元的一体积微元dv， 则质量微元则质量微元为为dvzyxfdm),( ，点，点到到 m轴轴 x的距离的距离 为为22zy ，于是点，于是点处处 m的质量微元关于的质量微元关于轴轴 x的转的转 动惯量为动惯量为dvzyxfzydjx),()(22 ，从而，从而 dvzyxfzyjx),()(22， 若若是平面区域是平面区域 d，面密度函数为，面密度函数为),(yxf，则平面，则平面 薄片对薄片对轴轴 x、轴轴 y的转动惯量为的转动惯量为 dxdyxfyj),(2， dydyxfxj),(2。 例例 4求均匀球体对于过球心的一条轴求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量的转动惯量 （

5、设密度为（设密度为 1） 。） 。 则球体所占有的空间闭区域则球体所占有的空间闭区域为为 , ),(2222rzyxzyx 所求转动惯量就是球体所求转动惯量就是球体z 对于对于轴的转动惯量轴的转动惯量 dvyxjz)(22。 为为了了简简化化计计算算，同同时时考考虑虑球球体体轴轴对对 x 、轴轴 y的的转转动动惯惯量量 dvzyjx)(22， dvxzjy)(22， 由对称性可知由对称性可知zyxjjj ，于是，于是 )(32)(31222dvzyxjjjjzyxz .158sin32504020rdddr 例例 5一空心柱体一空心柱体 由柱面由柱面422 yx，922 yx及及 平面平面0

6、z，4 z为界面组成，为界面组成， 密度为密度为，有一质量为，有一质量为 m 的质点位于坐标原点，求空心柱体对质点的引力。的质点位于坐标原点，求空心柱体对质点的引力。 三三物体对质点的引力物体对质点的引力yoxz324解：设解：设),(zyxm为空心柱体为空心柱体内内 任一点，任一点，dv 为包含点为包含点 m 的体积微元，的体积微元，df是是 dv 对质量为对质量为 m 的质点的引力，的质点的引力， 由万有引力定律得由万有引力定律得 omfd/ ， zyxom, ， 222zyxdvkmdf （k 为引力常数）为引力常数） zyxzyxdvkmomomfdfd,)( 23222 yoxz32

7、4dvm 而而,zyxdfdfdfdf ， 23)( 222zyxdvxkmdfx ， 23)( 222zyxdvykmdfy ， 23)( 222zyxdvzkmdfz ， xxdff ， yydff ， zzdff ， 由对称性知，由对称性知，0 yxff， dvzyxzkmfz23)( 222 4022322023)(dzzzddkm).452(2 mk 故故)452(2 , 0 , 0 mkf. xaboyl9.6 9.6 第一型曲线积分的计算第一型曲线积分的计算一、第一型曲线积分的概念和性质一、第一型曲线积分的概念和性质1 1曲线形物体的质量曲线形物体的质量 设设曲线形物体曲线形物体

8、在在xoy平面上占有可求长平面上占有可求长曲线曲线 l， 其线密度为连续函数其线密度为连续函数),(yxf，求，求该物体的质量该物体的质量 m。 ),(ii1m1 imim1 nm2m（2 2）近近似似 iiis ),(，则则第第 i 小小段段的的质质量量iiiisfm ),(。 （3 3）求和）求和 iiinisfm ),(1。 （4 4）取极限）取极限 令令max1inisd ，则，则 ),(lim10 niiiidsfm。 （1 1）分割）分割 在在上l任取点列任取点列121, nmmm，把，把小小分为分为 nl段段 ) , , 2 , 1(nisi 。 2 2第一型曲线积分的定义第一型

9、曲线积分的定义 设设 l 为为xoy面内的一条光滑（或分段光滑）曲线弧，面内的一条光滑（或分段光滑）曲线弧， ),(yxf在在 l 上上有界。有界。任取点列任取点列121, nmmm，把，把 l 分分 为为小小 n段段) , , 2 , 1(nisi ， 同时也以同时也以小小表示第表示第 isi 段的弧长。段的弧长。任取任取iiis ),(，作和式，作和式 ),(1 niiiisf， 设设max1inisd ，如果当，如果当时时0d，和式的极限总存在，和式的极限总存在， 则称此极限为则称此极限为),(yxf在曲线弧在曲线弧 l 上上的的第一型曲线积分第一型曲线积分 将上述定义推广，可得空间曲线

10、将上述定义推广，可得空间曲线 l 上上的第一型曲的第一型曲 线积分：线积分： ),(lim),(10 niiiiidlsfdszyxf。 或或对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分，记作，记作 ldsyxf),(，即，即 niiiilsfdsyxf10 ),(lim ),( 被积函数被积函数弧长元素弧长元素积分弧积分弧二、第一型曲线积分的性质二、第一型曲线积分的性质1 1 llldsyxgdsyxfdsyxgyxf),(),(),(),(； 2 2)( ),(),(为为常常数数kdsyxfkdsyxkfll ； 3 3)( ,),(),(),(2121llldsyxfdsyxfdsyxflll 。

11、简记为简记为 21),(llldsyxf. 4.4. ,1),(的长度的长度等于等于时时当当ldsyxfl 若若l是闭曲线，则是闭曲线，则),(yxf在在 l 上上的第一型曲线的第一型曲线 积分记为积分记为 ldsyxf),(。 5.5.),(),( , ),(),( lldsyxgdsyxfyxgyxfl则则上上设在设在.d),(d),( llsyxfsyxf特殊地特殊地三、第一型曲线积分的计算法三、第一型曲线积分的计算法1 1设设),(yxf在曲线在曲线 l 上上连续，连续，l 的参数方程为的参数方程为)(txx ， )(tyy )( t，其中，其中)(tx，)(ty在在, 上有上有 连续

12、的一阶导数，且连续的一阶导数，且0)()(22 tytx，则，则 dttytxds)()(22 ， dttytxtytxfdsyxfl)()()(),(),(22 。 2 2若若由由 l方程方程)( )(bxaxyy 给出，则给出，则 取取为参数为参数 x，dxxyds)(12 dxxyxyxfdsyxflba)(1)(,),(2 。 若若由由 l方方程程)( )(dycyxx 给给出出，则则 取取为为参参数数 y，dyyxds)(12 dyyxyyxfdsyxfldc)(1),(),(2 。 3 3若若由由 l方程方程)(sin)(cos)( )( yx或或给出，则给出，则 取取为参数为参数

13、 ， dds)()(22 dfdsyxfl)()(sin)(,cos)(),(22。 4 4. . 若若空空间间光光滑滑曲曲线线的的l参参数数方方程程为为 )(txx ，)(tyy ，)(tzz )( t，则则 dttztytxds)()()(222 ， dttztytxtztytxfdszyxfl)()()()(),(),(),(222 。 注注： （1 1）第一型曲线积分与曲线的方向无关，化为关）第一型曲线积分与曲线的方向无关，化为关 于参数的定积分计算时，于参数的定积分计算时，上限必须大于下限上限必须大于下限。 （2 2）对对dsyxfl ),(来来说说，),(yxf是是定定义义在在 l

14、 上上的的， 被被积积函函数数中中的的 x，y 应应满满足足 l 的的方方程程，故故可可利利 用用 l 的的方方程程化化简简被被积积函函数数。 ab： 101yx，yy ，dyds ， oa： 100 xy，0 y，dxds ， oxaby1 x2xy 0 y例例 1 1计计算算 ldsy，其其中中 l 为为抛抛物物线线2xy ，直直线线 1及及 x x 轴轴所所围围成成的的曲曲边边三三角角形形的的整整个个边边界界。 bo： 102xxy，xy ，dxxds241 ， 解：解：obaboaldxxxdyydx 1 0 21 0 1 0 410).755(121)155(121320 oaabb

15、oldsy oxaby1 x2xy 0 y例例 2 2计计算算dsxelyx 22，其其中中l是是从从) 1 , 0(a沿沿圆圆周周 122 yx到到)22,22( b处处的的一一段段劣劣弧弧。 解法解法 1 1 l：21 yx ，122 y， .)221(111 222222eydyyedsxelyx 21 yyxy ，2211ydydyxdsy ， 被被积积函函数数2122yexeyx ， yoxab解解法法 2 2 l：tx cos ，ty sin ，2 4 t， 被积函数被积函数texeyxcos22 ， dtdtttds 22)(cos)sin(， etdtedsxelyx)221(

16、cos 4222 。 yoxab解法解法 3 3 l的极坐标方程为的极坐标方程为 1 ，24 ， 被积函数被积函数 cos22exeyx， ddds22， 问：能否选问：能否选 x 为为参数？参数？ ededsxelyx)221(cos 4222 。 答答：若若选选为为x参参数数，则则有有 l：21 xy ，因因为为 y 不不是是 x 的的单单值值函函数数，所所以以必必须须把把分分 l成成 ac 和和 cb 两两段段计计算算。 yoxab例例 3 3计计算算dszyxl)(222 ，其其中中 l 为为球球面面 29222 zyx与与平平面面1 zx的的交交线线。 解：解：l： .1 , 142

17、)21( 12922222xzyxzxzyx 其参数方程为：其参数方程为： .cos221 ,sin2 ,cos221zyx)20( ， 的的 l极坐标方程为极坐标方程为 2cos22a， 解解：dsyml 。 ddds2)sin2()cos2()sin2(222， 1822929)(20222ddsdszyxll. 例例 4 4求求双双纽纽线线 l： )0)()(222222 ayxayx的的 m 质质量量，各各点点处处的的密密度度为为该该点点处处纵纵坐坐标标的的绝绝对对值值 y。 yxo4 43 45 4 即即 2cosa，.4543 ,44 的的 l参数方程为参数方程为 2cossin2

18、coscosayax， 把把在在第第一一象象限限 l的的部部分分1l记记为为，则则 daaydsdsymll2cos2cossin44 401).221(4sin42420 ada,2cos)2cos2sin(2cos)()(2222 dadaadds例例 5设设 l 为椭圆为椭圆13422 yx，其周长为，其周长为 a， ldsxyyx)243(22求求的值。的值。 解：解：13422 yx，124322 yx， ldsxyyx)243(22 ldsxy)212( lldsxyds 212l关于关于y轴对称，被积函数轴对称，被积函数xy关于关于x为奇函数为奇函数 .12012aa （代入（代

19、入l的方程）的方程） 解解：2222 rzyxl 为为球球面面与与平平面面0 zyx的的交交线线， 而而平平面面0 zyx通通过过原原点点， 0 zyxl为为平平面面上上半半径径为为 r 的的圆圆，其其周周长长为为r 2。 的的曲曲线线 l方程对方程对 x，y，z 具有轮换对称性，具有轮换对称性， 例例 6设设2222 rzyxl 为球面为球面与平面与平面0 zyx的的 交线，求交线，求dsyzl )(2。 0)(31dszyxldszyxdszdsxdsyllll )(31222222 ldsr2313232231rrr 32232)(rdsydszdsyzlll 。 四、第一型曲线积分的几何意义四、第一型曲线