第3章一阶动态电路分析63431

1、1 第三 一阶动态电路分析v 3.1 电容元件和电感元件v3.2 换路定律及初始值的确定v 3.3 零 输 入 响 应v 3.4 零 状 态 响 应v 3.5 全 响 应v 3.6 求解一阶电路三要素法返回2 学学 习习 目目 标标 理解动态元件l、c的特性，并能熟练应用于 电路分析。 深刻理解零输入响应、零状态响应、暂态响 应、稳态响应的含义，并掌握它们的分析计算 方法 。 弄懂动态电路方程的建立及解法。 熟练掌握输入为直流信号激励下的一阶电路的三要素分析法。3 3.1 电容元件和电感元件3.1.1 电容元件电容元件 电容器是一种能储存电荷的器件,电容元件是电容器的理想化模型。斜率为r0qu

2、图3-1 电容的符号、线性非时变电容的特性曲线当电容上电压与电荷为关联参考方向时，电荷q与u关系为：q(t)=cu(t)c是电容的电容量，亦即特性曲线的斜率。当u、i为关联方向时,据电流强度定义有： i=c dq/dt非关联时： i= -c dq/dt +-uci+q-q4电容的伏安还可写成：dicdictut)(1)(1)(00tdicu0)(1)0( 式中，u(0)是在 t=0 时刻电容已积累的电压，称为初始电压；而后一项是在 t=0 以后电容上形成的电压，它体现了在0t的时间内电流对电压的贡献。 由此可知：在某一时刻 t，电容电压u不仅与该时刻的电流 i有关，而且与t以前电流的全部历史状

3、况有关。因此，我们说电容是一种记忆元件，有“记忆”电流的作用。5 当电容电压和电流为关联方向时，电容吸收的瞬时功率为：dttdutcutitutp)()()()()( 瞬时功率可正可负，当 p(t)0时，说明电容是在吸收能量，处于充电状态；当 p(t) 0时，表示电感从电路吸收功率，储存磁场能量；当 p(t) 0时，表示供出能量，释放磁场能量。 对上式从到 t 进行积分，即得t 时刻电感上的储能为：)()(21)()()()(22)()(itildilidptwttiil10因为0)(lw所以)(21)(2tlitwl 由上式可知：电感在某一时刻 t 的储能仅取决于此时刻的电流值，而与电压无关

4、，只要有电流存在，就有储能，且储能0。 113.2 换路定律及初始值的确定 3.2.1 换路定律换路定律 通常，我们把电路中开关的接通、断开或电路参数的突然变化等统称为“换路”。我们研究的是换路后电路中电压或电流的变化规律，知道了电压、电流的初始值，就能掌握换路后电压、电流是从多大的初始值开始变化的。 该定律是指若电容电压、电感电流为有限值，则该定律是指若电容电压、电感电流为有限值，则uc 、 il不能跃变，即换路前后一瞬间的不能跃变，即换路前后一瞬间的uc 、il是相是相等的，可表达为：等的，可表达为： uc(0+)=uc(0-) il(0+)=il(0-)必须注意：必须注意：只有只有uc

5、、 il受换路定律的约束而保持不受换路定律的约束而保持不变，电路中其他电压、电流都可能发生跃变。变，电路中其他电压、电流都可能发生跃变。123.2.2 初初 始始 值值 的确的确 定定 换路后瞬间电容电压、电感电流的初始值，用 uc(0+)和 il(0+)来表示，它是利用换路前瞬间 t=0-电路确定uc(0-)和il(0- )，再由换路定律得到 uc(0+)和 il(0+)的值。 电路中其他变量如 ir、ur、ul、ic 的初始值不遵循换路定律的规律，它们的初始值需由t=0+电路来求得。具体求法是：具体求法是： 画出t=0+电路，在该电路中若uc (0+)= uc (0-)=us，电容用一个电

6、压源us代替，若uc (0+)= 0则电容用短路线代替。若il(0+)= il(0-)=is，电感一个电流源is 代替，若il(0+)= 0则电感作开路处理。下面举例说明初始值的求法。13例1：在图3-3(a)电路中，开关s在t=0时闭合，开关闭合 前电路已处于稳定状态。试求初始值 uc(0+)、il(0+)、i1(0+)、i2(0+)、ic(0+) 和ul(0+)。图 3-3 例 1 图14解(1) 电路在 t=0时发生换路，欲求各电压、电流的初始值，应先求uc(0+)和il(0+)。通过换路前稳定状态下t=0- 电路可求得uc(0-)和il(0-)。在直流稳态电路中，uc不再变化，duc/

7、dt=0，故ic=0，即电容c相当于开路。同理 il也不再变化，dil/dt=0，故ul=0，即电感l相当于短路。所以t=0- 时刻的等效电路如图3-3(b)）所示，由该图可知：aivulc22310)0(423210)0(（2）由换路定理得 aiivuullcc2)0()0(4)0()0(15因此，在t=0+ 瞬间，电容元件相当于一个4v的电压源，电感元件相当于一个2a的电流源。据此画出t=0+ 时刻的等效电路，如图3-3 (c) 所示。（3）在t=0+ 电路中，应用直流电阻电路的分析 方法，可求出电路中其他电流、电压的初始 值，即aiai144)0(224)0(21 ic(0+)=2-2-

8、1=-1aul(0+)=10-32-4=0 16 例2: 电路如图3-4 (a)所示，开关s闭合前电路无储能，开 关s在 t=0时闭合，试求 i1 、i2 、i3、 uc、ul的初始值。 图 3-4 例 2 图解（1）由题意知： 0)0()0(0)0(3lciiu（2）由换路定理得 0)0()0(0)0()0(llcciiuu17因此，在t=0+ 电路中，电容应该用短路线代替，电感以开路代之。得到 t=0+ 电路，如图3-4 (b)所示。（3）在t=0+ 电路中，应用直流电阻电路的分析方法求得 通过以上例题，可以归纳出求初始值的一般步通过以上例题，可以归纳出求初始值的一般步骤如下：骤如下：(1

9、) 根据t=0- 时的等效电路，求出uc(0-) 及il(0-)。(2) 作出t=0+ 时的等效电路，并在图上标出各待 求量。(3) 由t=0+ 等效电路，求出各待求量的初始值。3 . 020109)0()0(21ii i3(0+)=0 ul(0+)=20i2(0+)=200.3=6v18 当外加激励为零,仅有动态元件初始储能所产生的电流和电压,称为动态电路的零输入响应.图3- 5 rc电路的零输入1i+-ucisr0r2c(a)ur+-+-ucci(b)3.3 零零 输输 入入 响响 应应 图3-5 (a) 所示的电路中，在t0后，电路中无电源作用，电路的响应均是由电容的初始储能而产生，故属

10、于零输入响应。 3.3.1 rc电路的零输入响应电路的零输入响应19-ur+uc=0而ur=i r, dtducic，代入上式可得 0ccudtdurc上式是一阶常系数齐次微分方程，其通解形式为 uc=aept t0式式中a为待定的积分常数，可由初始条件确定。p为式对应的特征方程的根。将式代入式可得特征方程为rcp+1=0式换路后由图（b）可知，根据kvl有20从而解出特征根为 rcp1则通解 rctaeuc式将初始条件uc(0+)=r0is代入3式，求出积分常数a为 scirau0)0(将 代入式，得到满足初始值的微分方程的通解为 )0(curctsrctcceireuu0)0(式放电电流为

11、 rctrctsceierirdtduci)0(0t0 t0 式21令=rc，它具有时间的量纲，即 秒秒库仑库仑伏特库仑安培伏特/.rc故称为时间常数, 这样、两式可分别写为 tcceuu)0(t0 teii)0(t0rcp1由于为负，故uc和 i 均按指数规律衰减，它们的最大值分别为初始值 uc(0+)=r0is 及 riris0)0(当t时，uc和 i 衰减到零。 22图3-6 rc 电路零输入响应 电压电流波形图 画出uc及i的波形如图3-所示。 233.3.2 rl电路的零输入响应电路的零输入响应 一阶rl电路如图3-7(a)所示，t=0- 时开关s闭合，电路已达稳态，电感l相当于短路

12、，流过l的电流为i0。即 il(0-)=i0，故电感储存了磁能。在t=0时开关s打开，所以在t0时，电感l储存的磁能将通过电阻r放电，在电路中产生电流和电压，如图3-7 (b)所示。由于t0后，放电回路中的电流及电压均是由电感l的初始储能产生的，所以为零输入响应。图3-7 rl电路的零输入响应24由图 (b)，根据kvl有 ul+ur=0 lrllriudtdilu及将代入上式得 0llridtdil1式il=ae pt t0上式为一阶常系数齐次微分方程，其通解形式为 2式将2式代入1式，得特征方程为 lp+r=0 故特征根为 lrp25则通解为 tlrlaei若令 ，是rl电路的时间常数，仍

13、具有时间量纲，上式可写为 rltlaeit0t03式将初始条件i l(0+)= il (0-)=i 0 代入3式，求出积分常数a为 il (0+)=a=i0这样得到满足初始条件的微分方程的通解为 ttlleieii0)0(t04式26 tlreririu0trleriuu0电阻及电感的电压分别是t0t0 分别作出 il 、ur 和、ul的波形如图3-8(a)、(b)所示。 由图3-8可知，il、ur及ul的初始值（亦是最大值）分别为il(0+)=i0、 ur(0+)=ri0、ul(0+)= -ri0，它们都是从各自的初始值开始，然后按同一指数规律逐渐衰减到零。衰减的快慢取决于时间常数，这与一阶

14、rc零输入电路情况相同。 27图3-8 rl 电路零输入响应il、ur和 ul 的波形28 从以上求得的rc和rl电路零输入响应进一步分析可知，对于任意时间常数为非零有限值的一阶电路，不仅电容电压、电感电流，而且所有电压、电流的零输入响应，都是从它的初始值按指数规律衰减到零的。且同一电路中，所有的电压、电流的时间常数相同。若用f (t)表示零输入响应，用f (0+)表示其初始值，则零输入响应可用以下通式表示为 teftf)0()(t0 应该注意的是: rc电路与rl电路的时间常数是不同的，前者=rc，后者=l/r。29例 3：如图3-9 (a)所示电路，t=0- 时电路已处于稳态，t=0时开关

15、s打开。求t0时的电压uc、ur和电流ic。解 由于在t=0- 时电路已处于稳态，在直流电源作用下，电容相当于开路。图 3-9 例 3 图所以vurrrusc424122)0(212由换路定律，得 vuucc4)0()0( 作出t=0+等效电路如图(b)所示，30电容用4v电压源代替，由图(b)可知 vurrrucr6 . 13242)0()0(322arruicc8 .0324)0()0(32换路后从电容两端看进去的等效电阻如图 (c)所示，为： 52323rrrsrc1515时间常数为31ttrreeuu6 . 1)0(ttcceeii8 . 0)0(avt0t0也可以由 dtducicc

16、 求出 i c = -0.8e -t a t0 ttcceeuu4)0(vt0计算零输入响应，得32 3.4 零 状 态 响 应 在激励作用之前，电路的初始储能为零仅由激励引起在激励作用之前，电路的初始储能为零仅由激励引起的响应叫零状态响应。的响应叫零状态响应。3.4.1 rc电路的零状态响应电路的零状态响应 图3-10所示一阶rc电路，电容先未充电，t=0时开关闭合，电路与激励us 接通，试确定k闭合后电路中的响应。 图3-10 (a) r c电路的零状态响应在k闭合瞬间，电容电压不会跃变，由换路定律uc(0+)= uc(0-)= 0，t=0+ 时电容相当于短路，ur(0+)=us，故电容开

17、始充电。随着时间的推移，uc将逐渐升高，ruruisrr)0()0(33ur则逐渐降低，ir（等于ic） 逐渐减小。当t时，电路达到稳态，这时电容相当于开路，充电电流 ic()=0，ur ()=0，uc=()=us。由kvl ur+uc=us而ur=rir=ric= ，代入上式可得到以uc为变量的微分方程 t0 初始条件为 uc(0+)=0dtdurccsccuudtdurc 1式 1式为一阶常系数非齐次微分方程，其解由两部分组成：一部分是它相应的齐次微分方程的通解uch，也称为齐次解；另一部分是该非齐次微分方程的特解ucp，即 uc=uch + ucp 34rcttchaeaeu将初始条件u

18、c(0+)=0代入上式，得出积分常数a=-us，故srctcpchcuaeuuurctssrctsceuueuu1 由于1式相应的齐次微分方程与rc零输入响应式完全相同, 因此其通解应为式中a为积分常数。特解ucp取决于激励函数，当激励为常量时特解也为一常量，可设ucp=k，代入1式得1式的解（完全解）为ucp =k=us35由于稳态值 uc ()=us，故上式可写成 t0 2式由2式可知，当t=0时，uc(0)=0，当 t=时，uc() =us（1-e1）=63.2%us，即在零状态响应中，电容电压上升到稳态值uc=()=us的63.2%所需的时间是。而当t=45时，u c上升到其稳态值us

19、的98.17%99.3%，一般认为充电过程即告结束。电路中其他响应分别为)1)(rctcceuutsccerudtducitscreruiitsrreuriut0 t0t036根据uc、ic、ir及ur的表达式，画出它们的波形如3-10 (b)、(c)所示，其变化规律与前面叙述的物理过程一致。图3-10 (b)、(c) r c 电路零状态响应 uc、ic、ir及ur波形图373.4.2 rl电路的零状态响应电路的零状态响应图3-11 (a) 一阶rl电路的零状态响应 对于图3-11(a)所示的一阶rl电路，us为直流电压源，t0时，电感l中的电流为零。t=0时开关s闭合，电路与激励us接通，在

20、s闭合瞬间，电感电流不会跃变，即有il(0+)= il(0-)=0, 选择il为首先求解的变量，由kvl有： ul+ur=us 将 , ur=ril , 代入上式，可得初始条件为 il (0+)=0dtdilullslluridtdil1式38 tlrtlhaeaeirukislpruaeistl 1式也是一阶常系数非齐次微分方程，其解同样由齐次方程的通解ilh 和非齐次方程的特解ilp两部分组成，即 il=ilh+ilp其齐次方程的通解也应为式中时间常数=l/r，与电路激励无关。非齐次方程的特解与激励的形式有关，由于激励为直流电压源，故特解 ilp为常量，令ilp =k，代入1式得因此完全解

21、为39代入t=0时的初始条件 il(0+)=0得ruas于是 由于il的稳态值 ，故上式可写成： t0 电路中的其他响应分别为 t0 )1 (tsstslerurueruitlleii1)(tslleuatdiluruisl)(40tsrreuriu1tslreruii1它们的波形如图3-11 (b)、(c)所示。t0t0图3-11 (b) (c) 一阶rl电路的零状态响应波形图 41 其物理过程是，s闭合后，il(即 ir)从初始值零逐渐上升，ul从初始值 ul(0+)=us 逐渐下降，而ur从 ur(0+)=0逐渐上升，当 t=，电路达到稳态，这时l相当于短路，il()=usr，ul()=

22、 0，ur()= us。从波形图上可以直观地看出各响应的变化规律。 423.4.3 单位阶跃响应单位阶跃响应单位阶跃函数用(t)表示，其定义如下：(t) = 0 t 0-1 t 0+ (t)的波形如图3-12(a)所示，它在（0-，0+）时域内发生了单位阶跃。图 3-12 单位阶跃函数43 单位阶跃函数可以用来描述图3-12 (b)所示的开关动作，它表示在t=0时把电路接入1v直流源时 u(t)的值，即： u (t)= (t) v 如果在 t=t0时发生跳变，这相当于单位直流源接入电路的时间推迟到 t=t0，其波形如图3-13所示，它是延迟的单位阶跃函数，可表示为 (t-t0) = 0 tt

23、0- 1 tt 0+ 图 3-13 延迟的单位阶跃函数44)()1 (00tteuttc 当激励为单位阶跃函数(t)时，电路的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。对于图3-10所示电路的单位阶跃响应，只要令us=(t)就能得到，例如电容电压为 若图3-10的激励us=k(t)（k为任意常数），则根据线性电路的性质，电路中的零状态响应均应 )(1teutc 如单位阶跃不是在t=0而是在某一时刻 t0时加上的，则只要把上述表达式中的t改为t-t0，即延迟时间t0就行了。例如这种情况下的uc为45扩大k倍，对于电容有)()1 (tekutc例4： 求图3-14 (a)电路的阶跃响应 uc。 解

24、 先将电路ab左端的部分用戴维南定理化简， 得图3-14(b)所示电路。由图 (a)可得 图 3-14 例 4 图46)(2)(21443111ttuuuuoc 3u1+u1=0 u1=0 则 atisc11)(2120scociur于是)()1 (2)1 (teeuuttocc式中 =r0c=210-6s将ab端短路，设短路电流为isc（从a流向b）47 3.5 全 响 应 由电路的初始状态和外加激励共同作用而产生的响应，叫全响应。 如图3-15所示，设 uc =uc(0-)=u0，s在t=0时闭合，显然电路中的响应属于全响应。 图3-15 rc电路的全响应48对t0的电路，以uc为求解变量

25、可列出描述电路的微分方程为 0)0(uuuudtdurccscc 1式与描述零状态电路的微分方程式比较，仅只有初始条件不同，因此，其解答必具有类似的形式，即stcukeu代入初始条件 uc (0+)=u0 得 k= u0 - us1式49从而得到stscueuuu)(0 通过对1式分析可知，当us=0时，即为rc零输入电路的微分方程。而当u0=0时，即为rc零状态电路的微分方程。这一结果表明，零输入响应和零状态响应都是全响应的一种特殊情况。上式的全响应公式可以有以下两种分解方式。1、全响应分解为暂态响应和稳态响应之和。如2式中第一项为齐次微分方程的通解，是按指数规律衰减的，称暂态响应或称自由分

26、量（固有分量）。2式中第二项us = uc()受输入的制约，它是非齐次方程的特解，其解的形式一般与输入信号形式相同，称稳态响应或强制分量。这样有 全响应=暂态响应+稳态响应 2式502、全响应分解为零输入响应和零状态响应之和。将2式改写后可得：)1 (0tstceueuu 3式等号右边第一项为零输入响应，第二项为零状态响应。因为电路的激励有两种，一是外加的输入信号，一是储能元件的初始储能，根据线性电路的叠加性，电路的响应是两种激励各自所产生响应的叠加，即 全响应=零输入响应+零状态响应 3式513.6 求解一阶电路三要素法求解一阶电路三要素法 如用 f (t) 表示电路的响应，f (0+)表示

27、该电压或电流的初始值，f () 表示响应的稳定值， 表示电路的时间常数，则电路的响应可表示为：0)()0()()(teffftft 上式称为一阶电路在直流电源作用下求解电压、电流响应的三要素公式。 式中f (0+)、 f () 和 称为三要素，把按三要素公式求解响应的方法称为三要素法。 由于零输入响应和零状态响应是全响应的特殊情况，因此，三要素公式适用于求一阶电路的任一种响应，具有普遍适用性。 52 用三要素法求解直流电源作用下一阶电路的响应，其求解步骤如下： 一、 确定初始值 f (0+) 初始值f(0+)是指任一响应在换路后瞬间t=0+ 时的数值，与本章前面所讲的初始值的确定方法是一样的。

28、(1) 先作t=0- 电路。确定换路前电路的状态 uc(0-)或il(0-), 这个状态即为t0阶段的稳定状态，因此，此时电路中电容c视为开路，电感l用短路线代替。(2) 作t=0+ 电路。这是利用刚换路后一瞬间的电路确定各变量的初始值。若uc(0+)=uc(0-)=u0，il(0+)=il(0-)=i0，在此电路中c用电压源u0代替，53图3-16 电容、电感元件在t=0时的电路模型l用电流源i0代替。若uc(0+)=uc(0-)=0 或 il(0+)=il(0-)=0，则c用短路线代替，l视为开路。可用图3-16说明。作t=0+ 电路后，即可按一般电阻性电路来求解各变量的u (0+)、i (0+)。54二、确定稳态值f() 作t=电路。瞬态过程结束后，电路进入了新的稳态，用此时的电路确定各变量稳态值u()、i()。在此电路中，电容c视为开路，电感l用短路线代替，可按一般电阻性电路来求各变量的稳态值。三、求