矿大高数93三重积分

1、1三重积分第三节一、三重积分的概念一、三重积分的概念二、三重积分的计算二、三重积分的计算2一、一、 三重积分的概念三重积分的概念采用kkkkvf),( ),(kkkkv 引例：引例：设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的物质， 密度函数为,),(czyxf求分布在 内的物质的质量 m . 可得nk 10 limm“分割，近似，求和，取极限分割，近似，求和，取极限”3定义定义: 设设,),( , ),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim 10存在存在 ,),(zyxfvdzyxf),(称为称为体积元素体积元素 vdzdydxddv 若对若对 作作任意分割任意分割, 及及任意取点任意取点

2、 , 下列下列“乘积和式乘积和式”的极限的极限则称此极限为函数则称此极限为函数在在 上的上的三重积分三重积分.在直角坐标系下也常写作在直角坐标系下也常写作记作记作vdzyxf),(即即kkknkkvf),(lim 104性质性质中值定理中值定理: 设设 在有界闭域在有界闭域 上连续上连续,),(zyxf),(使得使得dvzyxf),(其中其中v为为 的体积的体积.三重积分的性质与二重积分相似三重积分的性质与二重积分相似 , 例如例如计算方法计算方法dvzyxf),(vf),(xyz),(则存在则存在一点一点.法法计计算算三三重重积积分分有有四四种种方方51、直角坐标系中将三重积分化为三次积分、

3、直角坐标系中将三重积分化为三次积分二、三重积分的计算xyzo d1z2z2s1s),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如图，如图，,dxoy面上的投影为闭区域面上的投影为闭区域在在若闭区域若闭区域 ),(:),(:2211yxzzsyxzzs ,),(作直线作直线过点过点dyx 穿出穿出穿入，从穿入，从从从21zz在直角坐标系下dxdydzdv dvzyxf),(dxdydzzyxf),(6化三重积分为三次积分化三重积分为三次积分xyzo d1z2z2s1s),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yxdxdydzzyxf

4、),(dxdydzzyxfxydyxzyxz ),(),(),(21dxdydzzyxfbaxyxyyxzyxz ),()()(),(),(2121.),()()(),(),(baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx2121.其它公式类似其它公式类似7其中为三个坐标面及平面例例1. 计算三重积分zdydxdx12zyx所围成的闭区域 . 1xyz121解解: xdxdydz)()(xydyxxdx10102121yxdz2101032241xdxxx)( )(xdy102110 xdx4818例例 2 2 化三重积分化三重积分 dxdydzzyxfi),(为三为三次积分，其中积分区域次积分

5、，其中积分区域 为由曲面为由曲面 222yxz 及及22xz 所围成的闭区域所围成的闭区域. 解解由由 22222xzyxz, 得得交交线线投投影影区区域域, 122 yx9.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxi10例例3 化三重积分化三重积分 dxdydzzyxfi),(为为三三 次积分，其中次积分，其中 积分区域积分区域 为由曲面为由曲面22yxz , 2xy ,1 y, 0 z所围所围 成的空间闭区域成的空间闭区域. 1101222),(yxxdzzyxfdydxi.解解如图，如图，11z、截面法、截面法2计算公式计算公式)(3dvzyxf),(dzdxdyzy

6、xfccdz 21),(.,),(无关时此法较简单无关时此法较简单与与当当yxzyxf12例例 1 1 计计算算三三重重积积分分 zdxdydz，其其中中 为为三三个个坐坐标标面面及及平平面面1 zyx所所围围成成的的闭闭区区域域. zdxdydz,10 zddxdyzdz0, 0,1| ),( yxzyxyxdz)1)(1(21zzdxdyzd xozy111解解13例例 2 2 计算三重积分计算三重积分dxdydzz 2，其中，其中 是由是由 椭球面椭球面1222222 czbyax所成的空间闭区域所成的空间闭区域. : ,| ),(czczyx 1222222czbyax 原式原式,2

7、zdccdxdydzzxyzozd解解14)1()1(222222czbczadxdyzd ),1(22czab ccdzzczab222)1(.1543abc | ),(yxdz 1222222czbyax 原式原式xyzozd15,0 ,20 . z3、利用柱面坐标计算三重积分的柱面坐标的柱面坐标就叫点就叫点个数个数，则这样的三，则这样的三的极坐标为的极坐标为面上的投影面上的投影在在为空间内一点，并设点为空间内一点，并设点设设mzpxoymzyxm,),( 规定：规定：xyzo),(zyxm),( p 16cos ,sin ,.xyzz 柱面坐标与直角坐柱面坐标与直角坐标的关系为标的关系为

8、为常数为常数 为常数为常数z为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxm),( p zxyzo17 dxdydzzyxf),(.),sin,cos( dzddzf d xyzodz d d如图，柱面坐标系如图，柱面坐标系中的体积元素为中的体积元素为,dzdddv 18其中其中 为由柱面为由柱面例例1. 计算三重积分计算三重积分zdydxdyxz2222 -yx x,0z所围成半圆柱体所围成半圆柱体.解解: 在柱面坐标系下在柱面坐标系下 cos202dzdydxdyxz22da2032cos34及平面及平面0, )0(yaaz c

9、os2 axyzo2zdddvd20 dazdz0zdddz 2298a 19例例2. 计算三重积分计算三重积分解解: 在柱面坐标系下在柱面坐标系下oxyhz221yxzdydxd hzd42 hdh2022)4(12 4)41ln()41(4hhh hd2021 20d,122yxzdydxdzyx422)0(hhz所围成所围成 .与平面与平面其中其中 由抛物面由抛物面zdddvd 20例例3 计算计算 zdxdydzi，其中，其中 是球面是球面 4222 zyx与抛物面与抛物面zyx322 所围的立体所围的立体. 解解 zz34222 ,3, 1 z知交线为知交线为 .,sin,coszz

10、yx 由由21 23242030 zdzddi.413 面上，如图，面上，如图，投影到投影到把闭区域把闭区域xoy 22例例 4 计算计算 dxdydzyxi)(22， 其中其中 是是曲线曲线 zy22 ，0 x 绕绕oz轴旋转一周而成轴旋转一周而成的曲的曲面面与两平面与两平面, 2 z8 z所围的立体所围的立体. 解解由由 022xzy 绕绕 oz 轴旋转得，轴旋转得，旋旋转转面面方方程程为为,222zyx 所围成的立体如图，所围成的立体如图， 23:2d, 422 yx.222020:22 z :1d,1622 yx,824020:21 z 所围成立体的投影区域如图，所围成立体的投影区域如

11、图， 2d1d24,)()(21222221 dxdydzyxdxdydzyxiii 12821dfdzddi ,345 22222dfdzddi ,625 原式原式 i 345 625 336. 82402022 dzdd 22202022 dzdd251另解另解 8220220dzddi 82422202 dzdd 3362另解另解dxdyyxdzizd)(2282 dddzz 2032082 336264、利用球面坐标计算三重积分的球面坐标的球面坐标就叫做点就叫做点，个数个数面上的投影，这样的三面上的投影，这样的三在在点点为为的角，这里的角，这里段段逆时针方向转到有向线逆时针方向转到有向

12、线轴按轴按轴来看自轴来看自为从正为从正轴正向所夹的角，轴正向所夹的角，与与为有向线段为有向线段间的距离，间的距离，与点与点点点为原为原来确定，其中来确定，其中，三个有次序的数三个有次序的数可用可用为空间内一点，则点为空间内一点，则点设设mrxoympopxzzommorrmzyxm ),(pxyzo),(zyxmr zyxa27,r 0.20 ,0 规定：规定：为常数为常数r为常数为常数 为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面28 .cos,sinsin,cossin rzryrx球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为如图

13、，如图，pxyzo),(zyxmr zyxa，轴上的投影为轴上的投影为在在点点，面上的投影为面上的投影为在在设点设点axppxoym.,zpmyapxoa 则则29 dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为,sin2 ddrdrdv drxyzodr dsinr rd d d sinr如图，如图，30例例1. 计算三重积分,)(222zdydxdzyx 其中为22yxz2222rzyx解解: 在球面坐标系下:zdydxdzyx)(222rrdr04)22(515r所围立体.40 rr 020

14、 40sin d20d锥面与球面xyzo4rr 22yxz ddrdrvdsin2 31例例 2 2 计计算算 dxdydzyxi)(22，其其中中 是是锥锥面面222zyx ， 与与平平面面az )0( a所所围围的的立立体体. 解解 1 采采用用球球面面坐坐标标az ,cos ar222zyx ,4 ,20,40,cos0: ar32 dxdydzyxi)(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(51sin255403.105a 33解解 2 采用柱面坐标采用柱面坐标 ,:222ayxd dxdydzyxi)(22 aadzdd 2020 ada03)(2 54254aaa .105a 222zyx , z34xoyzr2例例3 3. 求半径为求