31复数项级数

1、第三章第三章 幂级数展开幂级数展开级数是研究解析函数的一个级数是研究解析函数的一个重要工具重要工具，一个函数，一个函数的解析性与是否能展开成幂级数是等价的，在展的解析性与是否能展开成幂级数是等价的，在展开中又可以发现解析函数的一些重要性质。因此开中又可以发现解析函数的一些重要性质。因此把解析函数表成级数具有理论意义和实用价值。把解析函数表成级数具有理论意义和实用价值。要点要点：理解复数项级数的定义以及柯西收敛判据。理解理解复数项级数的定义以及柯西收敛判据。理解幂级数收敛圆的基本概念。掌握在一定条件下将幂级数收敛圆的基本概念。掌握在一定条件下将复变函数展开成泰勒级数及洛朗级数。理解孤立复变函数展

2、开成泰勒级数及洛朗级数。理解孤立奇点的分类方法，特别是留数的概念。奇点的分类方法，特别是留数的概念。3.1 复数项级数复数项级数一、复数项级数：一、复数项级数： 1. 基本概念基本概念： 对各项均为复数的无穷级数对各项均为复数的无穷级数 如果它的部分和如果它的部分和w1+w2+.+wk在在k时为有限时为有限 值值w，则称级数收敛，并称，则称级数收敛，并称w为它的和，记为为它的和，记为 不收敛的级数称为发散级数。不收敛的级数称为发散级数。.211kkkwwww1kkww设设 ， ，则，则级数级数 收敛的收敛的充分必要条件充分必要条件是：是：所以，复数项级数收敛的实质是两个实数项级数所以，复数项级

3、数收敛的实质是两个实数项级数的收敛问题，可直接用实数项级数的性质和规律的收敛问题，可直接用实数项级数的性质和规律2. 绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛若若 收敛收敛，则称则称 绝对收敛绝对收敛；若；若 绝对收敛，则它必收敛；收敛而非绝对收敛的级绝对收敛，则它必收敛；收敛而非绝对收敛的级数数 称为称为条件收敛条件收敛。1kkww11 kkkkvuiwivuwkkk 1|kkw1kkw1kkw1kkw推论：推论：( (1) )绝对收敛的复数项级数可以重排而不至改变绝对收敛的复数项级数可以重排而不至改变其绝对收敛性，亦不至改变其和；其绝对收敛性，亦不至改变其和；( (2) )两绝对收敛的复数项级

4、数两绝对收敛的复数项级数 与与 逐项相乘后所得级数也绝对收敛。逐项相乘后所得级数也绝对收敛。1kkpa1kkqbabcqpqpqpqpqpqpqpnnkkkk113222112211111.)( )()( 新级数收敛于新级数收敛于ab3. . 柯西收敛判据柯西收敛判据复数项级数收敛的充要条件复数项级数收敛的充要条件是：对于任一给定的是：对于任一给定的小正数小正数，必存在，必存在n，使得，使得nn时，有时，有成立，其中成立，其中p为任意正整数。为任意正整数。如蛇形，头大尾细等。如蛇形，头大尾细等。对于有限项，只要每一项值有限，则必收敛；对于有限项，只要每一项值有限，则必收敛；对于无限项，每一项值

5、有限也不一定收敛对于无限项，每一项值有限也不一定收敛( (前后一前后一样粗，头小尾大等样粗，头小尾大等) )。pnnkkw1例：下列级数是否收敛，是否绝对收敛？例：下列级数是否收敛，是否绝对收敛？1)1 (1) 1 (nnin原级数发散发散而111211 )11()1 (1nnnnnnainnnin1!)8()2(nnni原级数绝对收敛收敛11 !8!)8(nnnnnni121) 1()3(nnnin原级数条件收敛发散收敛，而收敛，111) 1(21) 1(nnnnnnnn二、一致收敛的函数项级数：二、一致收敛的函数项级数： 1. 1. 定义：定义：若函数项级数若函数项级数 对区域对区域b(

6、(或曲线或曲线l) )上每一点均收敛，则称为上每一点均收敛，则称为 在区域在区域b( (或曲线或曲线l) )上收敛，记作：上收敛，记作：.)(.)()()(211zwzwzwzwkkk1)()(kkzwzw实际上，它定义了区域实际上，它定义了区域b( (或曲线或曲线l) )上的一个函数上的一个函数w( (z z) )，该函数可表为无穷级数的形式。，该函数可表为无穷级数的形式。2. . 复变函数项级数收敛的充要条件复变函数项级数收敛的充要条件( (柯西判据柯西判据) )：在在b上各点上各点z z，对任给的小正数，对任给的小正数0，必存在，必存在n( (z z) )，使得当使得当nn时，有时，有成

7、立，成立，p为任意正整数，若为任意正整数，若n与与z z无关，则称级数无关，则称级数在在b上上一致收敛一致收敛。pnnkkzw1)(用用- -n语言表述：语言表述：给定的给定的z zb( (或或l) )，对于任意给，对于任意给定的定的0，必有，必有n( (z z) )存在存在，使得当，使得当nn时，有时，有| |w( (z z)-)-sn( (z z)|)|，式，式 ，则级数收，则级数收敛。若敛。若n不依赖于不依赖于z z，则称为，则称为一致收敛一致收敛。3. 一致收敛的函数项级数性质：一致收敛的函数项级数性质：定理定理1( (连续性连续性) )：若若 在在b上一致收敛于上一致收敛于w( (z

8、 z) )，且各项均在，且各项均在b上连续，则上连续，则w( (z z) )在在b上连续。上连续。1)(kkzw1)()(kknzwzs定理定理2( (可积性可积性) )：若若 在曲线在曲线l上一致收敛于上一致收敛于w( (z z) )，且各项均在，且各项均在l上连续，则上连续，则w( (z z) )也在也在l上连续，上连续，且级数可沿且级数可沿l逐项积分逐项积分定理定理3( (解析性解析性) )： 各项均在各项均在b上解析，且级上解析，且级数在数在b上任一闭子域上任一闭子域 上一致收敛于上一致收敛于w( (z z) )，则：，则： 在在b内解析；内解析； 在在b内级数可逐项求任意阶导数，且内级数可逐项求任意阶导数，且1)(kkzw1)()(klkldzzwdzzw1)(kkzwb1)()(kkzwzw1)()()()(kpkpzwzw在在b上任一闭子域上任一闭子域 上，上， 一致收敛一致收敛于于