ch27,8函数的连续性

1、 2.7 函数的连续性函数的连续性一一. 连续函数的概念连续函数的概念二二. 函数的间断点函数的间断点三三.初等函数的连续性初等函数的连续性 2.8 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质一一. .最大值最小值定理最大值最小值定理二二. .有界性有界性 三三. .零点存在定理零点存在定理四四. .介值定理介值定理 2.7 函数的连续性函数的连续性1连续函数的概念连续函数的概念二二. 函数的间断点函数的间断点三三. 初等函数的连续性初等函数的连续性oooooxxxxxyyyyy0 x0 x0 x0 x0 x连续反映在连续反映在函数的图形上是一条连续不断曲线函数的图形上是一条连续不断曲线.x

2、y0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 定义定义2.7.1:函数的改变量（增量）函数的改变量（增量）设函数设函数 f(x) 在在 内有定义内有定义, 对对 x , (1)自变量自变量 x 在在 处的改变量处的改变量(增量增量)： (2)函数函数f(x)在在 处相应于处相应于 x的改变量的改变量(增量增量)： 0(, )u x 0 xxx 0 x000( )()()()yf xf xf xxf x 0(, )u x 0 x一、连续的定义一、连续的定义( (函数在一点连续函数在一点连续) )oxy xfy 0 xxx0 xymn定义定义2.7.2 设函数设

3、函数(x)在在 x0 的某邻域内有定义的某邻域内有定义, 若若00lim( )()xxf xf x 则称函数则称函数(x)在在 x0 处连续处连续. 称称 x0为连续点为连续点.从而有函数在一点连续的等价定义从而有函数在一点连续的等价定义:注注000lim ()( ) 0 xf xxf x 因因 0 , 0 xxxx 令令当当时时, ,000lim0lim( )()xxxyf xf x 000lim()()xf xxf x 0 xx有有, , 从从而而处处连连续续的的三三要要素素：在在点点0)(xxf处处有有定定义义；在在点点0)()1(xxf存在；存在；)(lim)2(0 xfxx)()(l

4、im)3(00 xfxfxx 定理定理2.7.1.)()(00点点既既左左连连续续又又右右连连续续在在点点连连续续在在xxfxxf定义定义2.10（左、右连续）（左、右连续）.)(),()(lim000点右连续点右连续在在则称则称若若xxfxfxfxx .)(),()(lim000点左连续点左连续在在则称则称若若xxfxfxfxx ?)1()(lim1fxfx 2)3(lim)(lim11 xxfxx231)1(f处连续。处连续。在在于是由定义知，于是由定义知，1)( xxf).1(2)(lim1fxfx 由此可知，由此可知，处的连续性。处的连续性。和和在在讨论讨论010, 20, 3)( x

5、xxxxxxf例：例：分段函数某点连续性的讨论分段函数某点连续性的讨论解解处有处有在在1 x处呢？处呢？在在0 x )3(lim)(lim00 xxfxx)0(2)2(lim)(lim00fxxfxx 右连续右连续不左连续不左连续处不连续。处不连续。在在0)( xxf)0(3f 1 1判断判断 是否连续。是否连续。 1sin,0,( )00,0,xxf xxxx 在在证证, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf),0()(lim0fxfx 练习：练习：2 222,0,( )01,0,.xxf xxxx 讨讨论论函函数数在在处处连连续续解：解：(

6、0)0,f 200(00)lim( )lim 20,xxff xx 00(00)lim( )lim(1)1,xxff xx( )0f xx 于于是是在在处处不不连连续续。左左连连续续不右连续不右连续 例例 已知函数已知函数21,0( )2,0 xxf xxbx 在点在点x = 0处连续，求处连续，求b的值的值. 解解由于由于且且0lim( )xf x 20lim(1)1xx 又因为又因为f(x)在点在点 x = 0处连续，故处连续，故00lim( )lim(2)xxf xx bb 00lim( )lim( )(0)xxf xf xf 即即1b 例：例：.0, 0, 0,cos)(,处连续处连续

7、在在函数函数取何值时取何值时当当 xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要使要使,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf, 1 a(1)( )( , ),( )( , ).f xa bf xa b若若函函数数在在开开区区间间的的每每一一点点处处都都连连续续 则则称称在在开开区区间间内内连连续续(2)( ) , ( , ),f xa ba bab 函函数数在在闭闭区区间间上上连连续续在在开开区区间间内内连连续续 且且在在点点右右连连续续 在在

8、点点 左左连连续续定义定义3： （ 函数在区间上的连续性函数在区间上的连续性）a(b)aboyxoyx0 xoyx0 xoyx0 x二、函数的间断点二、函数的间断点处处连连续续的的三三要要素素：在在点点0)(xxf处处有有定定义义；在在点点0)()1(xxf存在；存在；)(lim)2(0 xfxx)()(lim)3(00 xfxfxx 回顾连续定义回顾连续定义处处不不连连续续，在在点点若若函函数数0)(:xxfdef。间断点间断点的的为为则称则称)(0 xfx间断点类型：间断点类型：（标准：左右极限是否存在）（标准：左右极限是否存在）间断点间断点左右极限左右极限是否存在是否存在第一类间断点第一

9、类间断点第二类间断点第二类间断点都存在都存在至少有一至少有一个不存在个不存在是否是否相等相等相等相等可去间断可去间断不相等不相等跳跃间断跳跃间断可能出现间断的地方：可能出现间断的地方：1)使函数无意义的点；使函数无意义的点；2)分段函数的分界点分段函数的分界点例：下列函数是否有间断点，属于第几类间断点例：下列函数是否有间断点，属于第几类间断点解：解：sin1) ( )xf xx 因为因为f(0)无意义，无意义，所以所以x=0是间断点是间断点12) ( )arctanf xx 0sin1;limxxx 所以所以x=0是是第一类第一类间断中的可去间断间断中的可去间断点点解：解：因为因为f(0)无意

10、义，无意义，所以所以x=0是间断点是间断点001arctan;21arctan2limlimxxxx 所以所以x=0是是第一类第一类间断中的跳跃间断间断中的跳跃间断点点13) ( )(1)(2)f xxx 121;(1)(2)1(1)(2)limlimxxxxxx 解：解：因为因为f(1)f(2)无意义，所以无意义，所以x=1, x=2是间断点是间断点所以所以x=1，x=2是是第二类间断点第二类间断点2)(lim1 xfx),1(f oxy1122)1(lim)(lim11xxfxx, 22lim)(lim11xxfxx, 1)1(f(1)2,1.fx改改则则为为连连续续点点解解.1, 1,1

11、1, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxf例例1.x 为为函函数数的的可可去去间间断断点点可去间断点可去间断点可去间断不是本质性的间断可去间断不是本质性的间断, ,可重新定义可重新定义, ,使其连续使其连续. . 跳跃间断点跳跃间断点, 0)(lim)(lim00 xxfxx, 1)1(lim)(lim00 xxfxx),(lim)(lim00 xfxfxx oxy, 0)0(f.0, 0,1, 0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf例例解解.0跳跳跃跃间间断断点点为为函函数数的的 x.1跳跳跃跃度度为为, 0lim)(lim0

12、0 xxfxx,1lim)(lim00 xxfxxoxy, 0)0(f.0, 0, 0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf第二类间断点第二类间断点-例例解解.1为函数的第二类间断点为函数的第二类间断点 x无穷间断点无穷间断点xy1sin ,0处处没没有有定定义义在在 x.0为为非非无无穷穷第第二二类类间间断断点点 x.01sin)(处的连续性处的连续性在在例、讨论函数例、讨论函数 xxxf不存在并不为无穷大，不存在并不为无穷大，且且xx1sinlim0解解第二类间断点第二类间断点-振荡间断点振荡间断点可去间断点可去间断点第一类间断点第一类间断点oyx跳跃间断点跳跃间

13、断点无穷间断点无穷间断点振荡型（非无穷型）振荡型（非无穷型）第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x三三. .连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性1. 连续函数的运算连续函数的运算0( ) ( ()0)( )f xg xg x ( )( ),f xg x ( )( ),f xg x 在在 处也连续处也连续0 x由连续函数的定义和极限的四则运算法则由连续函数的定义和极限的四则运算法则, 有有 定理定理2.7.2 若函数若函数 与与 在同一个区间在同一个区间i上有定义且上有定义且均在点均在点 处连续，则函数处连续，则函数0 x i( )f x( )g

14、 x2.7.3连连续续函函数数的的复复合合函函数数( (若若存存在在的的话话) )仍仍是是定定理理 连连续续函函数数. .定理定理2.7.4: : 严格单调的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数. .1).基本初等函数在其基本初等函数在其定义域定义域内处处连续内处处连续.2). 初等函数在其初等函数在其定义区间定义区间（含在定义域内的最大区间（含在定义域内的最大区间) )内处处连续，其中内处处连续，其中区间端点处的连续性是指相应的单侧区间端点处的连续性是指相应的单侧连续性连续性. .注注: 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, , 在

15、其定义域内在其定义域内不一定连续不一定连续; ;cos1,yx如如：,4,2, 0: xd这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义, ,因此不连续因此不连续. .2 . 初等函数的连续性初等函数的连续性归纳求极限的常见方法归纳求极限的常见方法:2. 利用重要极限利用重要极限0sinlim1,xxx 过程过程, 常常需要因式分解、约分、通分或分子分母同乘以函常常需要因式分解、约分、通分或分子分母同乘以函数数. 来化简来化简. 101lim(1)lim(1)xtxttex型的求极限型的求极限3. 利用函数的连续性利用函数的连续性00lim( )()xxf xf x 1. 利用极限的四则

16、运算法则利用极限的四则运算法则, 以及对于以及对于1. 利用极限的四则运算法则利用极限的四则运算法则, 以及对于以及对于4. 利用无穷小量与无穷大量的关系及无穷小的等价代换利用无穷小量与无穷大量的关系及无穷小的等价代换.00, 1.1.函数在某点连续的定义；函数在某点连续的定义；3.3.函数间断点的分类与判别函数间断点的分类与判别; ;2.2.区间上的连续函数的定义；区间上的连续函数的定义；第一类间断点第一类间断点: :可去间断点可去间断点, ,跳跃间断点跳跃间断点. .第二类间断点第二类间断点: :无穷无穷间断点间断点, ,振荡振荡间断点间断点. .间断点间断点小结小结作业：作业：p46：1

17、 (4) 2 (1)(2)(4) 3 2.8 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质一一. .最大值最小值定理最大值最小值定理二二. .有界性定理有界性定理 三三. .零点存在定理零点存在定理四四. .介值定理介值定理最值定理最值定理.,)(,)(,)(,)(,)(2121baxmxfmmxfmxfbaxxmmbaxfbaxf 且且使得使得即存在即存在和最小值和最小值上必有最大值上必有最大值在在那么那么上连续上连续在在设设.,)(侧侧连连续续性性的的连连续续性性是是指指相相应应的的单单在在端端点点这这里里baxf有界定理有界定理: :.,)(,)(上有界上有界在在那么那么上连续上连续在在

18、设设baxfbaxfxyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 若条件不满足，则结论不一定成立若条件不满足，则结论不一定成立.；和和最最大大值值上上有有最最小小值值在在例例如如：101 , 0)1(xy 值值。上上既既无无最最大大值值亦亦无无最最小小但但在在)1 , 0(非闭区间上的连续函数非闭区间上的连续函数, ,定理的结论不一定成立定理的结论不一定成立; ;函数有最大、最小值。函数有最大、最小值。有界函数有界函数 上上不不连连续续，在在1 , 11)2( xy.没没有有最最大大、最最小小值值闭区间上的不连续函数闭区间上的不连续函数, 定理的结论不一定成立定理的结论不一定成立;零点定理零点

19、定理. 0)(),(, 0)()(,)(00 xfbaxbfafbaxf使得使得则一定存在则一定存在且且上连续，上连续，在在（零点存在定理）设（零点存在定理）设.)(0)(0的零点的零点为为的的称使得称使得xfxxf ,)(,()(,(轴轴的的两两侧侧分分别别位位于于与与点点如如果果点点xbfbafa.轴有一个交点轴有一个交点少与少与那么连接两点的曲线至那么连接两点的曲线至x0)(.)1 , 0(:00 xftsx至至少少由由零零值值定定理理可可得得,3)(xexfx设设.03)1 , 0(0 xxex至至少少存存在在一一个个实实根根内内，即即在在 内内至至少少有有一一个个实实根根。在在证证明

20、明方方程程)1 , 0(03 xex001( ),f且且有有 上连续，上连续，在在则则1 , 0)(xf310( )ef例例证明证明练习：证练习：证 在在(0,2)(0,2)内至少存在一个点内至少存在一个点 使得使得 。( )2xf xe ( )f 证明：证明：令令( )( )2,xf xf xx ex 因为因为f(x)在在0,2上连续上连续2102040(),)(ffe由零值定理可得，至少存在一个由零值定理可得，至少存在一个 使得使得(0,2) ( )0( )ff介值定理介值定理00( ) , ,( )( , ),(,)( , ),(),设设在在上上连连续续 且且设设分分别别为为在在上上的的

21、最最小小值值和和最最大大值值 则则对对任任何何，一一定定存存在在使使得得f xa bm mf xa bcm mxa bf xc b0 x1xammc.)()(,至至少少相相交交于于一一点点之之间间和和介介于于与与水水平平直直线线上上的的连连续续曲曲线线闭闭区区间间mmccyxfyba 练习练习( ) , ,( ),( ).( , ),( ).1.1.设设函函数数在在区区间间上上连连续续 且且证证明明使使得得f xa bf aaf bba bf 22.2( 1,1).证证明明方方程程在在内内必必有有实实根根xx1 1.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得证明证明且且上

22、连续上连续在区间在区间设函数设函数证证,)()(xxfxf 令令,)(上连续上连续在在则则baxfaafaf )()(而而, 0 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)()( ffbbfbf )()(, 0 .)( f即即作业：作业：p48：1、3、4 第二章第二章 复习复习一、数列极限一、数列极限2.数列极限存在定理：数列极限存在定理：1.极限四则运算法则极限四则运算法则单调有界原理单调有界原理夹逼定理夹逼定理二、函数极限二、函数极限1.函数极限的六种记法函数极限的六种记法2.函数极限的夹逼定理函数极限的夹逼定理1sinlim0 xxx3.函数极限四则运算法则函数极限四则运算法则(1

23、). 用直接代入法用直接代入法( 满足四则运算法则条件满足四则运算法则条件 )(2). 对对00型型 , 约去零因子约去零因子(根式有理化法等根式有理化法等)(3).对对 型型,分子分母分子分母(均为多项式均为多项式)同除以最高次幂同除以最高次幂 三、无穷小量三、无穷小量1、无穷小量概念无穷小量概念2、无穷小量的有关性质、无穷小量的有关性质（无穷小量与有界变量（无穷小量与有界变量(常数常数)之积仍为无穷小量）之积仍为无穷小量）3、无穷小量阶的比较、无穷小量阶的比较(1).高阶高阶,低阶低阶,同阶同阶,等价的无穷小量的定义等价的无穷小量的定义(2).等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理(常见的等

24、价无穷小常见的等价无穷小)应用原则：应用原则：(1)只能对分子或分母的只能对分子或分母的乘积因子乘积因子作等价无穷小代换作等价无穷小代换,(2)只能在变量趋于只能在变量趋于0时可用常用的等价无穷小代换时可用常用的等价无穷小代换.201 sin2)tan13)1cos2xxxxxxx ）x4)ln(1) 5)e1 xxx 6)arcsin arctanxxx4、幂指函数幂指函数( ) 11lim(1)xxex 10lim 1xxxe四、函数的连续性四、函数的连续性1、函数在一点连续定义、函数在一点连续定义:).()(lim00 xfxfxx 2、基本初等函数与初等函数的连续性、基本初等函数与初等

25、函数的连续性(1).三要素三要素(2).)(0既既左左连连续续又又右右连连续续点点连连续续在在xxf分段函数分界点处分段函数分界点处3、函数的间断点、函数的间断点(找出间断点并判断类型找出间断点并判断类型)第一类间断点第一类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右极限都存在 第二类间断点第二类间断点左右极限至少有一个不存在左右极限至少有一个不存在五、闭区间上的连续函数性质五、闭区间上的连续函数性质1、有界定理、最值定理、介值定理、零值定理、有界定理、最值定理、介值定理、零值定理2、零值定理的应用、零值定理的应用利用零值定理证明方程利用零值定理证明方程f(x)=0实根的存在性：实根的存在性：(1)构造函数构造函数f(x)(2)构造闭区间构造闭区间a,b(3)验证验证f(x)在闭区间在闭区间a,b上满足零值定理条件上满足零值定理条件第二章第二章 练练 习习1. 求下列极限求下列极限11( ) lim()xxxx 321sin( )limxxxx323( )lim ln()ln()nnnn21 0 1 答案答案11( ) lim()xxxx 111()()l(m)ixxxxxxxx 1(lim)xxxx