44泰勒公式的余项

1、 定理定理 1 设函数f(x)在(a b)内有(n1)的阶导数,则对(a b) 中任意取定的一点x0及任意的x(a, b) 有200000)(! 21)()()(xxxfxxxfxfxf )()(!100)(xrxxxfnnnn 其中10) 1()()!1()()(nnnxxnfxr(介于 x0与 x 之间) 其中(介于x0与x之间)4-4 关于泰勒公式的余项关于泰勒公式的余项而rn(x)的表达式称为拉格朗日型余项拉格朗日型余项 )()(0nnxxoxr注意在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为带皮皮亚诺亚诺(peano) 余项余项 的泰勒公式.上页下页铃结束返回首页证证.0，则上述公

2、式显然成立假如xx .0 xx 因此，不妨设我们令)(tf)(0 xf)(! 1)(00 xtxf,)(!)(00)(nnxtnxf ,)()(10nxttg)(tf容易验证或其中.00 xtxxtx, 0)(0 xg)(0 xf, 0)(0)(xgk)(0)(xfk., 2 , 1nk 由柯西中值定理)()(xgxf)()()()(00 xgxgxfxf,)()(11xgxf.01之间的一点与是介于其中xxx上页下页铃结束返回首页)()(11xgxf)()()()(0101xgxgxfxf,)()(22xgxf .102之间的一点与是介于其中xxx.0之间的一点与也即是介于xx得到次柯西中值

3、定理，最后如此下去，共使用1n)()(xgxf,)()(1)1(1)1(nnnnxgxf.101n之间的一点与是介于其中xxx另一方面，不难看出),()()1()1(tftfnn,)!1()()1(ntgn故得到)()(xgxf,)!1()(1)1(nxfnn即)(xf.)()!1()(101)1(nnnxxnxf.,1就是要证的公式上式换成将nx上页下页铃结束返回首页)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之间与在xx特例特例:(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为)(xf)(0 x

4、f)(0 xxf(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理)(xf)(0 xf)(00 xxxf20)(!2)(xxf 可见)(xf)(0 xf)(00 xxxf201)(!2)()(xxfxr 误差fd)0(之间与在xx)0(之间与在xx)0(之间与在xx误差估计1010) 1(|)!1( |)()!1()(| | )(|nnnnxxnmxxnfxr1010) 1(|)!1( |)()!1()(| | )(|nnnnxxnmxxnfxr 上的一个上界，那么或，在是设,| )(|m00)1(xxxxxfn泰勒公式的误差)()(xfxrn)(!)(00)(nnxxnxf)(0

5、 xf)(00 xxxfnnxxnxf)(!)(00)(有下列估计公式：上页下页铃结束返回首页, ) 10(,00 xx则马克劳林为：马克劳林为：)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()(在泰勒公式中若取)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之间与在xx)(xf)0(fxf)0( ,)()1(mxfn则有误差估计式1! ) 1()(nnxnmxr2!2)0(xf nnxnf!)0()(若在公式成立的区间上由此得近似公式211

6、321113!21 !cos1;21 !nnnnxxxxnxxn 2. sin 2211112!2!cos122 !nnnxxxnxn 3. cos xe. 11x!33x!nxn!22x).(! ) 1(1xxnen初等函数带拉格朗日余项的几个泰勒公式: 11111 1nnnxxn . 1231111;23nnnxxxxxo xn 5. ln 1+211112!ana aa aanxaxxxn 4. 1+111111 !a nna aanxxn 习题 4-3 1. (2),(5);2.(1);3.(1);4.(1),(2);6.上页下页铃结束返回首页已知补例补例 计算无理数 e 的近似值 ,

7、 使误差不超过.106解解:xe! ) 1( nxe1nx令 x = 1 , 得e) 10(! ) 1(!1!2111nen) 10(由于, 30ee欲使) 1 (nr!) 1(3n610由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,因此e718281. 2xe1x!33x!nxn!22x的麦克劳林公式为!91!2111上页下页铃结束返回首页)()(xfn解解),2sin(nxxsinx!33x!55x!) 12(12nxn1) 1(n)sin(212mx其误差|)!12(cos) 1( | )(|122nnnxnxr)!12(|12nxn例例1的泰勒公式在使用带拉格朗日余项设,44x取多少项？。应在泰勒公式中时，为使公式误差小于计算7105sinx)!12()4(12nn.)!12(1n.)!12(cos) 1(12 nnxn,1057为使公式误差小于.103!1118因为即可取,5n上页下页铃结束返回首页需解问题的类型:1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ;2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差;3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.上页下页铃结束返回首页补例补例 用近似公式!21cos2xx计算 co