北京航空航天大学材料力学材料力学总结

1、复习复习基本概念与理论 大大，如如铁铁丝丝受受压压）（载载荷荷不不大大，变变形形却却很很（保保持持原原有有平平衡衡形形式式）（抵抵抗抗变变形形）（抵抵抗抗破破坏坏）稳稳定定性性刚刚度度强强度度经经济济、减减重重矛矛盾盾安安全全基基本本要要求求合合理理设设计计 材料力学的基本假设: 连续性假设;均匀性假设;各向同性假设拉压-杆, 扭转-轴,弯曲-梁内力、应力( 正应力与切应力)、应变（正应变,切应变）应变能切应力互等定理、胡克定律、剪切胡克定律、圣维南原理、 叠加原理 材料力学的任务与研究对象 材料的力学性能材料的力学性能塑性材料塑性材料s s e弹性极限弹性极限e e e弹性应变弹性应变e e

2、 p塑性应变塑性应变冷作硬化冷作硬化000100 ll 001100 aaa s sb-强度极限强度极限s ss-屈服极限屈服极限s sp-比例极限比例极限低碳钢四个阶段：线性阶段（应力应变成正比，符低碳钢四个阶段：线性阶段（应力应变成正比，符合胡克定律，结束点称为比例极限）、屈服阶段合胡克定律，结束点称为比例极限）、屈服阶段(滑移线滑移线)（屈服极限）、强化阶段（强度极限）、（屈服极限）、强化阶段（强度极限）、局部变形局部变形(颈缩颈缩)阶段阶段(名义应力下降名义应力下降,实际应力上升实际应力上升)sp0.2名义屈服极限名义屈服极限e-e-弹性模量弹性模量m m泊松泊松比比yxzfp1 fp

3、2frmmzmymxfq yfq zfnfq 内力内力( (internal forces)internal forces)内力主矢与内力主矩内力主矢与内力主矩( (resultant force and resultant moment)resultant force and resultant moment)内力分量内力分量( (components of the internal forces)components of the internal forces) fnfnfsfs内力的正负号规则内力的正负号规则(sign convention for internal forces) 同

4、一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相同的正负号。同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相同的正负号。 内力的内力的分析方法分析方法符号：符号：1.1.f fn n: : 拉力为正拉力为正 2.t:2.t:扭矩矢量离开截面为正扭矩矢量离开截面为正 3 3.f.fs s: :使保留段顺时钟转使保留段顺时钟转 m:m:使保留段内凹为正使保留段内凹为正刚架刚架 、曲杆、曲杆m: m: 不规定正负，画在受压一侧不规定正负，画在受压一侧 截面法截面法 method of section 内力方程内力方程刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平衡，则其任何局部也必然是平衡的。衡

5、，则其任何局部也必然是平衡的。注意弹性体模型与刚体模型的区别与联系注意弹性体模型与刚体模型的区别与联系刚体模型适用刚体模型适用的概念、原理、方法，对弹性体可用性与限制性。的概念、原理、方法，对弹性体可用性与限制性。内力方程内力方程、内力图内力图危险截面危险截面qdxdfs sfdxdm qdxmd22（端值、极值、正负号（端值、极值、正负号) )内力图（内力图（ internal force diagraminternal force diagram）平衡微分方程平衡微分方程由载荷变化规律，即可推知内力由载荷变化规律，即可推知内力f fs s 、m m 的变化规律的变化规律剪力图和弯矩图剪力图

6、和弯矩图 根据平衡，可以确定控制面上根据平衡，可以确定控制面上fs、m数值数值, ,确定函数变化区间；确定函数变化区间； 根据平衡微分方程可以确定根据平衡微分方程可以确定fs 、m的变化图形的变化图形。沿梁轴线的内力分布（包括刚架）沿梁轴线的内力分布（包括刚架）：f fs s: : 跟着箭头走，段内变化看跟着箭头走，段内变化看q q面积面积m: m: 顺时针向上走，段内变化看顺时针向上走，段内变化看f fs s面积面积dxqffxxss2112dxfmmxxs2112在在 me 作用处作用处,左右横截面的左右横截面的剪力连续剪力连续,弯矩值突变弯矩值突变在在 f 作用处作用处,左右横截面上的左

7、右横截面上的剪力值突变剪力值突变,弯矩连续弯矩连续fff 左左右右ssemmm 左左右右(q : 向向上为正上为正; x : 向右为正向右为正.)fs拉压拉压：afs扭转：扭转：ppwtitmax弯曲：弯曲：zzwmimymaxss受力杆件的应力不仅与外力相关，而且与截面的几何性质相关。受力杆件的应力不仅与外力相关，而且与截面的几何性质相关。横横截面上应力截面上应力，的计算公式的计算公式与与强度条件强度条件a, ip, wp, iz, wz截面几何性质截面几何性质 iz：平行移轴定理：平行移轴定理（薄壁薄壁） tiqsszz bisfszzs ssmax ssmax max( (闭口薄壁杆闭口

8、薄壁杆) )tt2 max梁强度问题的分析步骤梁强度问题的分析步骤：1、内力分析、内力分析确定危险截面确定危险截面2、应力分析、应力分析确定危险点确定危险点3、根据强度条件进行强度校核。、根据强度条件进行强度校核。塑性材料，对称截面塑性材料，对称截面脆性材料，脆性材料，maxmaxmmmaxmminm非对称截面校核三点非对称截面校核三点ttssmax,ccssmax,例题 如图1-10所示的结构，已知各杆的面积和材料为a1=400mm2，a2=300mm2，s1=s2=160mpa，试计算该结构所能承受的最大载荷。（1）由平衡条件确定各杆轴力与载荷p之间的关系式： ma=0 n2=f/3; y

9、=0 n1=2/3fn2n1l /32l /3f要使结构安全工作应取其较小值，即f=96kn（2）由强度条件计算最大载荷杆1的强度条件； n1/a1s1 f=3/2a1s1=3/2400160=96000n=96kn杆2的强度条件； n2/a2s2 f=3a2s2=3300160=114000n=114kn（2）为使该结构安全受力，按杆1的强度取f=96kn。对杆2来说，强度是有富裕的不经济载荷可移动？ 注意：（1）最大载荷可否写为 f=a1s1+a2s2=112kn？x连接部分的强度连接部分的强度-假定计算法假定计算法破坏形式： 剪豁（当边距大于钉直径2倍时可避免剪豁）拉断（拉断可按拉压杆公

10、式计算）。s afbbsbsdfss剪断:挤压破坏:例例 铸铁梁铸铁梁， y1 = 45 mm，y2 = 95 mm，s st = 35 mpa ，s sc = 140 mpa，iz =8.8410-6 m4，校核梁的校核梁的强度强度解：解：md最大正弯矩最大正弯矩mb最大负弯矩最大负弯矩危险截面危险截面截面截面 d, b对于脆性材料梁来说，危险截面是否一定发生在 mmax 处？dabdyy,mm das ss s 危险点危险点zdaiym2 s smpa 859-. zdbiym1 s smpa 328. zbciym2 s smpa 633. mpa 859maxc,.a s ss smp

11、a 633maxt,.c s ss s cs s ts s a, b, c截面截面d截面截面b拉压：拉压：eafll 变形变形刚度刚度静不定问题静不定问题 mee 扭转：扭转：pgitl( (闭口薄壁杆闭口薄壁杆) )tgitltdsit24 微微段段变变形形eafn epgitdxd 整整体体变变形形zeim1弯曲弯曲:lxxeaxfld)()(n1.分析各杆轴力分析各杆轴力(tension) 2n1ffon)(compressi n2ffealfaelfl22111n11 222n22eaflaelfl图示桁架，图示桁架，已知已知 e1a1= e2a2=ea，l2=l。试求试求节点节点 a

12、 的水的水平与铅垂位移平与铅垂位移 2eafl2.确定各杆变形确定各杆变形(elongation)(contraction)pabc45oabc受力分析受力分析? ? 小变形小变形用原结构尺寸用原结构尺寸桁架的节点位移桁架的节点位移用切线代替圆弧，画出变形图用切线代替圆弧，画出变形图3.作小变形情况下的变形图作小变形情况下的变形图construct the displacement diagram under the condition of small deflection 4. f节点位移计算节点位移计算find displacement components of joint a by

13、geometry )( 22 laaax 5aaay an arc may be replaced by a line perpendicular to bar axis 切线代圆弧切线代圆弧)( 45cos21 ll求a点的位移2、 ab为刚性杆。pcdbapcdbaac1、pabcpabca零力杆零力杆计算总扭转角，校核强度与刚度example： to calculate the total angle of twist，and analysis the strength and stiffness of the shaft.solution：1、扭矩图torque diagramaaaa

14、ddmm=2m/a3mtxm2mab2、总扭转角total angle of twistaddgmadgmadgmadgxdxam0444443232322322总3、强度strength（a、b两危险截面） max)1 (16:162:433maxdmbdmaaaaaddtxm2mab弯曲：zeim11、变形微分方程、位移边界和连续条件挠曲线力边界条件已通过m(x)满足。 eixmy dcxxeixmw d)(位移边界条件右左ccww pin or roller support(铰支座铰支座) : wa=0interface continuum conditions(连续条件连续条件):fi

15、xed support(固定固定端端): wd=0, d =0右左bb右左bbww c,d2、挠曲线大致形状 eixmy 由由 m 图的正、负，确定挠曲轴的凹图的正、负，确定挠曲轴的凹、凸、凸由约束性质及连续光滑性确定挠曲线的大致形状及位置。由约束性质及连续光滑性确定挠曲线的大致形状及位置。 位移与变形的相依关系位移与变形的相依关系 比较二梁的受力、弯矩、变形与位移比较二梁的受力、弯矩、变形与位移r位移除与变形有关外，还与约束有关位移除与变形有关外，还与约束有关;r总体变形是微段变形累加的结果总体变形是微段变形累加的结果;r有位移不一定有变形有位移不一定有变形;r有变形不一定处处有位移。有变形

16、不一定处处有位移。叠加原理叠加原理在一定条件下，杆件所有内力分量作用的在一定条件下，杆件所有内力分量作用的效果，可以视为各个内力分量单独作用效果的叠加。效果，可以视为各个内力分量单独作用效果的叠加。3、叠加法分解载荷分解载荷分别计算位移分别计算位移求位移之和求位移之和叠加法适用范围：力与位移之间的线性关系叠加法适用范围：力与位移之间的线性关系(小变形，比例极限内小变形，比例极限内)逐段分析求和法逐段分析求和法cbqala22qam cbqa零弯矩，不变形零弯矩，不变形acbq22qam 相当于悬臂梁相当于悬臂梁刚化ab段刚化bc段cbqaacbq22qam f=qacbqawb= = wb1

17、1+ + wb2 2+ + wb3 3we 2wb=?=?we 1we = we 1+ we 2 = we 1+ wb/ 2静定结构静定结构未知力（内力或外力）个数等于独立的平未知力（内力或外力）个数等于独立的平衡方程数衡方程数静不定结构静不定结构未知力个数多于独立的平衡方程数未知力个数多于独立的平衡方程数静不定度静不定度未知力个数与独立平衡方程数之差未知力个数与独立平衡方程数之差求解静不定问题的基本方法求解静不定问题的基本方法平衡、变形协调、物理方程。平衡、变形协调、物理方程。多余约束的两种作用：增加了未知力个数，同时增加对变多余约束的两种作用：增加了未知力个数，同时增加对变形的限制与约束，

18、前者使问题变为不可解，后者使问题变形的限制与约束，前者使问题变为不可解，后者使问题变为可解。为可解。多余约束多余约束物理方程体现为力与变形关系。物理方程体现为力与变形关系。简单静不定问题（含简单静不定问题（含热应力与初应力）热应力与初应力）求解思路求解思路 建立平衡方程建立平衡方程 建立补充方程建立补充方程（变形协调方程）变形协调方程）3-3=03-3=04-3=14-3=1abqlfayfaxmaabqlfayfaxmafb 简单的静不定梁简单的静不定梁bfbxaqlfaymafbyfaxmafaxmbfbxfbyqlabfay5 53 32 26 63 33 3 应用对称性分析可以推知某些未知量：应用对