北师大版高中数学必修五数列求和习题课

1、1 等差数列求和公式：等差数列求和公式：（1）sn=n(a1+an)/2(2) sn=na1+n(n-1)d/22 等比数列求和公式：等比数列求和公式：(1) sn=1-qa1(1-qn)q1 q1 (2) sn=1-qa1-anq 当当q=1时时,sn=na1an是公差为d的等差数列 bn是公比为q的等比数列 性质： an=am+(n-m)d性质： 性质：若an-k,an,an+k是an中的三项， 则2an=an-k+an+k 性质2：若bn-k,bn,bn+k是bn的三项，则 =bn-kbn+k性质： 若n+m=p+q则am+an=ap+aq性质3：若n+m=p+q则bnbm=bpbq,性

2、质：从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广)性质：从原数列中取出偶数项，组成的新数列公比为 .(可推广) 性质: 若cn是公差为d的等差数列，则数列an+cn是公差为d+d的等差数列。 性质：若dn是公比为q的等比数列,则数列bndn是公比为qq的等比数列. nmmqbnb 2q2nban是公差为d的等差数列 bn是公比为q的等比数列 性质6：数列an的前n项和为n成等差数列性质6：数列an的前n项和为n成等比数列性质:数列an的前n项和为n性质：数列an的前n项和为n ,232nnnnnsssss ,232nnnnnsssssmnnmnsqssmnmnndsss练习：练习：等差

3、数列等差数列an中中, 则此数列前则此数列前20项的和等于（项的和等于（ ） a.160 b.180 c.200 d.22012318192024,78aaaaaab解：解： 24321aaa78201918aaa + 得：得：54)()()(183192201aaaaaa183192201aaaaaa54)( 3201aa18)(201aa180218*202)(2020120aas为为首首项项的的等等比比数数列列以以为为公公比比是是以以2,32)2(3)2(11 aaaannn24223311 tttaatatannnn，解解得得令令得得：）（设设：233321 nnnnaa得：得： 11

4、134 (2)nnnnaaaannna (2)在(2)在中中，求求换元法换元法 练习练习: 求和求和1. 1+2+3+n 答案答案: sn=n(n+1)/22. 2+4+8+2n 答案答案: sn=2n+1-2方法：方法：直接求和法直接求和法例1 求数列 x, 2x2,3x3, nxn， 的前n项和。 解：解：当当x=0时时 sn=0当当x=1时时 sn=1+2+3+ n=n(n+1)/2当当x 0且且x1时时 sn=x+ 2x2+3x3+ + nxn xsn= x2 +2x3+3x4 + (n-1)xn +nxn +1 得：得：(1-x)sn=x+ x2+x3+ +xn - nxn +1 化

5、简得：化简得： sn =x(1- xn )/(1-x) 2 - nxn +1 /(1-x) 0 (x=0) 综合得综合得 sn= n(n+1)/2 (x=1) x(1- xn )/(1-x) 2 - nxn +1 /(1-x) (x 0且且x1）小结小结 1:“错位相减法错位相减法”求和求和,常应用于形常应用于形如如anbn的数列求和的数列求和,其中其中an为等为等差数列差数列, bn 为等比数列为等比数列.练习练习 1求和求和: 1/2+2/4+3/8+n/2n 方法方法:可以将等式两边同时乘以可以将等式两边同时乘以2或或1/2,然后利用然后利用“错位相减法错位相减法”求和求和.例例2：求和

6、求和sn=125 +158 +181 1 + +1(3n-1) (3n+2) 解：解：数列的通项公式为数列的通项公式为an=1(3n-1) (3n+2) =13 (13n-1 -13n+2 )sn=13 (12 -15 +15 -18 +18 -111 +13n-4 - 13n-1 +13n-1 -13n+2 )=13 (12 -13n+2 )=16n+4 小结小结2：本题利用的是本题利用的是“裂项相消法裂项相消法”，此此法常用于形如法常用于形如1/f(n)g(n)的数列求和，的数列求和，其中其中f(n),g(n)是关于是关于n（nn*)的一的一次函数。次函数。把数列中的每一项都拆成两项的把数

7、列中的每一项都拆成两项的差，从而产生一些可以相消的项，差，从而产生一些可以相消的项，最后剩下有限的几项。最后剩下有限的几项。方法：方法：对裂项公式的分析，通俗地对裂项公式的分析，通俗地说，裂项，裂什么？裂通项。说，裂项，裂什么？裂通项。此方法应注意：此方法应注意：练习练习 2： 求和求和114 +147 +1710 +1(3n-2)(3n+1) 接下来可用接下来可用“裂项相消裂项相消法法”来求和。来求和。an=1(3n-2)(3n+1) =13 (13n-2 -13n+1 )分析分析：例例 3：求和：求和1+(1+12 )+(1+12 +14 )+(1+12 +14 +12n-1 )解：解：a

8、n=1+12 +14 +12n-1 =1（1-12n ）1-12 =2-12n-1 sn=(2-120 )+(2-121 )+(2-122 )+(2-12n-1 ) =2n-( 120 +121 +122 +12n-1 )=2n-1（1-12n ）1-12 =2n+12n-1 2小结小结 3：本题利用的是本题利用的是“分组求和法分组求和法”方法：方法：把数列的通项分解成几项，从把数列的通项分解成几项，从而出现而出现几个等差数列或等比数几个等差数列或等比数列，列，再根据公式进行求和。再根据公式进行求和。练习练习 3求和：求和：1+（1+2）+（1+2+22)+(1+2+22 +2n-1)分析：利

9、用分析：利用“分解转化求和分解转化求和”总结：总结： 直接求和直接求和（公式法）（公式法）等差、或等比数列用求和公等差、或等比数列用求和公式，常数列直接运算。式，常数列直接运算。倒序求和倒序求和等差数列的求和方法等差数列的求和方法错位相减错位相减数列数列 anbn的求和，其中的求和，其中an是等差数列，是等差数列，bn是等比数列。是等比数列。裂项相消裂项相消分组求和法分组求和法把通项分解成几项，从而出现把通项分解成几项，从而出现几个等差数列或等比数列进行几个等差数列或等比数列进行求和。求和。常见求和方法常见求和方法适用范围及方法适用范围及方法数列数列1/f(n)g(n)的求和，其中的求和，其中

10、 f(n),g(n)是关于是关于n的一次函数。的一次函数。巩固练习巩固练习(今日作业今日作业)：111,13 3557求的前n项和22222111312243611482nn（ ）求和9 , 9 9 , 9 9 9 , 求数列 n的前项和(4)求和求和:232 2 23 22nnsn （5）求和）求和:n+3211321121111 1111(2 13351111)(1)212122121nsnnnnn解（1）、1 0 (11 0)( 2 )11 01 0(1 01)9nnnsnn、2111 113()2(2)22nannn nnn（ ）、11111111(1)23243521111323(1)221242(1)(2)nsnnnnnnn2()1nn （5）求和）求和:n+32113211211112112()(1)(1)12