导数的应用函数极值与最值

1、函数的极值及其求法函数的极值及其求法最大值最小值问题最大值最小值问题第五节第五节 函数的函数的极值极值与与 最大值最小值最大值最小值定义定义,0的某邻域内的某邻域内若在若在x),()(0 xfxf 或或的一个的一个为函数为函数则称则称)()(0 xfxf)()(0 xfxf 极大值极大值 (或极小值或极小值), 函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值.极值点极值点. .恒有恒有一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法1. 函数极值的定义函数极值的定义使函数取得极值的点使函数取得极值的点x0称为称为1x2x3x4x5x6x 函数的极大值、极小值函数的极大值、极小值 是是

2、局部性局部性的的. 在一个区间内在一个区间内,函数可能存在许多个极值函数可能存在许多个极值,最大值与最小值最大值与最小值,有的极小值可能大有的极小值可能大于某个极大值于某个极大值.只是只是一点附近一点附近的的 xyoab)(xfy 观察观察 极值点的切线有什么特征？极值点的切线有什么特征？平行于平行于x轴轴切线平行于切线平行于x轴是否必为极值点？轴是否必为极值点？定理定理1 1( (必要条件必要条件) )注注如如, ,3xy , 00 xy.0不是极值点不是极值点但但 x(1)处处取取得得在在点点如如果果函函数数0)(xxf,0处可导处可导且在且在x可导函数可导函数的极值点的极值点驻点却不一定

3、是极值点驻点却不一定是极值点.但函数的但函数的2. 极值的必要条件极值的必要条件必是必是驻点驻点,. 0)(0 xf则必有则必有极值极值,3xy xyo xyo32xy 极值点也可能是导数不存在的点极值点也可能是导数不存在的点.如如, ,32xy 32xy 但但 怎样从怎样从驻点驻点中中与与导数不存在导数不存在的点判断一点的点判断一点(2)不可导不可导.0 x是极小值点是极小值点.是不是极值点是不是极值点 0 x在在即：极值点可能在两类点中取到：即：极值点可能在两类点中取到：一阶导数零点；一阶导数不存在的点一阶导数零点；一阶导数不存在的点. .拐点可能在两类点中取到：拐点可能在两类点中取到：二

4、阶导数零点；二阶导数零点；二阶导数不存在的点二阶导数不存在的点. .定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件) )且在且在点连续点连续在在设设,)(0 xxf,),()1(00时时若当若当xxx 0)( xf);0( ,),(00时时当当 xxx0)( xf),0( 则则)(0 xf为为极大值极大值,)()2(0附近不变号附近不变号在在若若xxf )(0 xf则则不是极值不是极值.(极小值极小值);3. 极值的充分条件极值的充分条件xyo0 x xyo0 x .),(0o0内可导内可导的某去心邻域的某去心邻域 xux0 x0 x 一般求极值的步骤一般求极值的步骤求导数求导数; 求驻点与不可导点

5、求驻点与不可导点;求相应点两侧的导数符号求相应点两侧的导数符号,判别增减性判别增减性;求极值求极值.(1)(2)(3)(4)不是极值点不是极值点 xyoxyo例例解解.)1()1()(323的极值及单调区间的极值及单调区间求求 xxxf322)1()1(3)( xxxf313)1()1(32 xx312)1(3)711()1( xxx(1)(2)驻点驻点:, 1 x导数不存在的点导数不存在的点:.117 x. 1 x(3)列表列表.求相应区间的导数符号求相应区间的导数符号,判别增减性判别增减性,确定极值点和极值确定极值点和极值.x)(xf )(xf), 1( 1 )117, 1( 117)1

6、,117(1)1,( 0非极值非极值极小值极小值0)1( f极极小小值值2 . 2)117( f极大值极大值 0 不存在不存在极大值极大值驻点驻点:, 1 x导数不存在的点导数不存在的点:,117 x. 1 x.)1()1()(323的极值及单调区间的极值及单调区间求求 xxxf )(xf312)1(3)711()1( xxx单调增加区间单调增加区间:)., 1 ,117, 1 ,1,( 单调减少区间单调减少区间:).1 ,117(定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件) )证证, 0)(0 xf如果如果极大值极大值 (极小值极小值).为为则则)(0 xf0)(0 xf),0( 极值的二阶充

7、分条件极值的二阶充分条件 )(0 xf, 0 00)()(lim0 xxxfxfxx 0)(lim0 xxxfxx 因此因此,当当|0 xx 充分小时充分小时,由极限的保号性由极限的保号性. 0)(0 xxxf可见可见,)(xf 与与0 xx 异号异号.,0 xx 当当; 0)( xf,0 xx 当当. 0)( xf所以所以,.)(0处取极大值处取极大值在点在点xxf第一充分条件第一充分条件 对于对于驻点驻点, ,有时还可以利用函数在该点有时还可以利用函数在该点处的处的二阶导数二阶导数的正负号来判断极值点的正负号来判断极值点. .注注,0)(0时时 xf(1)定理定理3(3(第二充分条件第二充

8、分条件) )不能应用不能应用. .事实上事实上, , 0)(0 xf当当,0)(0时时 xf可能有极大值可能有极大值, , 也可能有极小值也可能有极小值, ,也可能没有极值也可能没有极值. .如如, ,)(41xxf ,)(42xxf 33)(xxf 处处在在0 x分别属于上述三种情况分别属于上述三种情况. .(2) 已经知道已经知道驻点未必是极值点驻点未必是极值点，第二充分条件实际，第二充分条件实际上指出了，上指出了，二阶导不为零的驻点一定是极值点二阶导不为零的驻点一定是极值点. .例例解解.20243)(23的极值的极值求求 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf得得驻驻点点

9、)2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f18 )4( f故极大值故极大值,60 )2(f18)2(f故极小值故极小值.48 . 2, 421 xx因为因为, 0 , 0 例例解解.)2(1)(32的极值的极值求求 xxf)2()2(32)(31 xxxf,2时时当当 x时，时，当当2 x; 0)( xf时，时，当当2 x. 0)( xf1)2( f.)(在该点连续在该点连续但函数但函数xf.)(不存在不存在xf 32)2(1)( xxf所以所以,.)(的的极极大大值值为为xf第一充分条件第一充分条件xyo12极值判别法的两个充分条件极值判别法的两个充分条件第一充分条件第一充分条件对函

10、数在点处是否可导没有要求，只要对函数在点处是否可导没有要求，只要求在点的邻域内可导求在点的邻域内可导. .第二充分条件第二充分条件则要求在该点处二阶可导则要求在该点处二阶可导. .baabab二、最大值最小值问题二、最大值最小值问题1.1.最值的求法最值的求法xyoxyoxyo已经知道，已经知道，a, b上的连续函数必定存在最值上的连续函数必定存在最值.最值可能在以下点处取到：最值可能在以下点处取到：驻点驻点端点端点不可导点不可导点(1)其中最大其中最大(小小)者者 求连续函数求连续函数 f (x)在闭区间在闭区间a, b上的最大上的最大(小小)值的方法值的方法:将闭区间将闭区间a, b内所有

11、驻点和导数不存在的内所有驻点和导数不存在的区间端点区间端点的的就是就是 f (x)点点(即为即为极值嫌疑点极值嫌疑点)处的函数值和处的函数值和函数值函数值 f (a), f (b)比较比较,在闭区间在闭区间a, b上的最大上的最大(小小)值值.上的上的在在求函数求函数4 , 3|23|)(2 xxxf解解 )2 , 1(234 , 21 , 323)(22xxxxxxxf,)4 , 3(内内在在 驻点驻点:,23 x最大值与最小值最大值与最小值. )2 , 1(32)4 , 2()1 , 3(32)(xxxxxf例例在分段点在分段点x=1，x=2是否可导？是否可导？ )2 , 1(234 ,

12、21 , 323)(22xxxxxxxf在在x=1处处1)1()(lim1 xfxfx10)23(lim21 xxxx1 1)1()(lim1 xfxfx10)23(lim21 xxxx1 所以所以x=1是不可导点是不可导点.x=2是否可导？是否可导？同理，同理，x=2也是不可导点也是不可导点,)4 , 3(内内在在 驻点驻点:,23 x2 , 1 x,20)3( f, 0)2( f, 0)1( f,41)23( f最大值最大值最小值最小值, 6)4( f不可导点：不可导点：(2) 对实际问题常常可事先断定最大对实际问题常常可事先断定最大(小小)值必在值必在区间区间内部取得内部取得, 如果连续

13、函数在区间内又仅有如果连续函数在区间内又仅有一个极值嫌疑点一个极值嫌疑点, 那末这点处的函数值就是最那末这点处的函数值就是最大大(小小)值值.ozyx例例解解hrv22 目标函数目标函数,222rhr 由由得得,)(222hhrv rh 0)3(222hrvh h2hrr2. 应用举例应用举例(1)(2) 求最大值求最大值点点半径为半径为r.求内接于球的圆柱体的最大体积求内接于球的圆柱体的最大体积,设球的设球的设圆柱体的高为设圆柱体的高为2h, 底半径为底半径为r, 体积为体积为v, 圆柱体的最大体积一定存在圆柱体的最大体积一定存在, 故故唯一驻点唯一驻点3rh 就是最大值点就是最大值点, 最

14、大体积为最大体积为3)3(222rrrv 3334r 令令, 0 hv得得3rh (舍去负值舍去负值)唯一驻点唯一驻点)3(222hrvh (1) 从实际问题中抽象出数学模型，写从实际问题中抽象出数学模型，写出其目标函数，从而转化为数学问题出其目标函数，从而转化为数学问题.具有实际问题背景的最值问题一般思路：具有实际问题背景的最值问题一般思路：注注(2) 从数学的角度分析最值可能的点，从数学的角度分析最值可能的点，并结合实际背景，判断是否是最值点并结合实际背景，判断是否是最值点.例例 某房地产公司有某房地产公司有50套公寓要出租套公寓要出租,当租金定为每月当租金定为每月720元时元时,公寓会全

15、部租出去公寓会全部租出去.当租金每月增加当租金每月增加40元时元时,就有就有一套公寓租不出去一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花费而租出去的房子每月需花费80元元的整修维护费的整修维护费.试问房租定为多少可获得最大收入试问房租定为多少可获得最大收入?解解 设房租为每月设房租为每月x 元，元，租出去的房子有租出去的房子有 每月总收入为每月总收入为)(xl)80( x 4072050 x720 x套套明显，明显，x应该大于应该大于720.40 50)(xl 2070 x 0)( xl1400 x（唯一驻点）（唯一驻点） 40140068)801400()(xl)(43560 元元 )(xl)80( x 4072050 x故每月每套租金为故每月每套租金为1400元时收入最高元时收入最高.最大收入为最大收入为课下阅读材料：教材例课下阅读材料：教材例4-例例7.是非题是非题极值点是不是驻点？满足什么条件的极值点是驻点？极