1不等式与线性规划-拔高难度-讲义

1、不等式与线性规划省Q知识讲解、不等式的定义1. 定义：用不等号（，,，）连接的式子叫不等式个不等式时，如果这两个不等式是同解不等2同解不等式变形：一个不等式变形为另3.不等式白勺性质1)abba（反身性或对称性）2)ab ,bCaC （传递性）3)abaCbC4)ab,cd则aCbd .5)ab ,C0,则ac bC ；如果 a b6)ab0 , Cd O,贝U ac bd .7)ab0 ,则n abn(n N ,n 1).8)ab0 ,则nanb(n N ,n 1)式，那么这种变形叫做同解不等式变形.C 0 ,则 ac be .、不等式的解法1一元二次不等式的解集如下表判别式A 2 =b 4

2、ac2 =b 4aC 02 = b 4ac 02 =b 4aC 0二次函数y a2 b C(a 0)的图像Jy LiV丿XQ一兀二次方程2ICa b C 0 (a 0 )有两个相异实根Xi , X2(Xi X2 )有两个相异实根Xi , X2(i 2)2a没有实数根2a b C 0(a 0)的解集X X Xi 或 X X2 IbXX2aR2a b C 0(a 0)的解集 Xi X X2 2分式不等式的解法f()0f()g()0Dg()f()0f()g()0 且 g() 02)g()f()a(a0f()ag (X)0g()f() ag() 0)3)g()g()3. 无理不等式的解法1) .f()

3、 g()f() g() f()2g()f()g()_f() 02) . f() g() g() 02f() g()4. 绝对值不等式1) 绝对值的几何意义：是指数轴上点X到原点的距离； 是指数轴上XI ,X2两点间的距离2)当 C 0 时， ax b Ca b C 或 a bC， a b CC a b C ；当 C 0 时，a b C X R， a b C X3)绝对值不等式的解法 公式法 If(X)I g(x) f(x) g(x)或 f(x) g(x)If(X)I g(x) g(x) f(x) g(x) 平方法 分情况讨论法4高次不等式(穿线法：)一般高次不等式f(x) 0用数轴穿根法(或称

4、穿线法)求解，其步骤是：1) 将f(x)最高次项的系数化为正数；2) 将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；3) 将每个因式的标在数周上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根，偶次方穿而不过，奇次方根穿又过，即所谓的奇穿偶不穿)；三、基本不等式均值定理： 、 , 2 2定理：对于任意实数a ,b， a b 2ab ,当且仅当a b时，等号成立推论：如果a ,b ,是正数，那么 Lb ,当且仅当a b时，有等号成立2四、线性规划的有关概念1约束条件：由未知数x, y的不等式(或方程)组成的不等式组成为x, y的约束条件.x y 50不等式组x y 0就是x, y的一个约束条件

5、.x232线性约束条件：关于未知数x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式组成为x,y的线2x y 3 0性约束条件，不等式组2x 3y 6 0就是x,y的一个约束条件.3x 5y 15 03. 目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量X, y的解析式.X 4y 3如：已知x,y满足约束条件3x 5y 25 ,分别确定x,y的值，使Z 2x y取到最大值和最X 1小值使Zx2 y2达到最值，其中Z 2x y和Z x2 y2均为目标函数.4. 线性目标函数：目标函数为变量x,y的一次解析式.如上例中，Z 2x y为线性目标函数，而Zx2 y2就不是线性目标函数，只是一个目标函数.5. 线性规划

6、问题：求线性目标函数在约束条件下的最值问题.6. 可行解：满足约束条件的解 x,y .7. 可行域：所有可行解组成的集合.8. 最优解：使目标函数取得最值的可行解.五、线性规划的图解法1. 画：在直角坐标平面上画出可行域和直线ax by 0 （目标函数为Z ax by ）2. 移：平行移动直线ax by O ,确定使Z ax by取得最大值或最小值的点.3. 求：求出取得最大值或最小值的坐标（解方程组）及最大值和最小值.1经典例题.选择题（共2小题）1 11.（2018春？台州期末）已知a, R, a+b=2则的最大值为（A. 1C.2. （2018春？海淀区校级期中）设a, b R,下列不等

7、式中一定成立的是（）A. a2+3> 2aB . a2+b2 > 0C. a3+b3 a2b+ab21D . a+ 2 ?二.填空题（共5小题）3. （2016秋？东湖区校级期末）已知实数x, y满足x2+y2=2x,则x2y2的取值范围 是.4 . （2018春?定州市校级期末）已知实数x, y 满足 3x- y In (x+2y- 3) +In (2x5. (2017?浙江模拟)已知 a, b R,且a - 1,则 a+b+ 內 -b|的最小值是.6. 已知函数 f (x) =x2 - | x| ,集合 P= (X, y) | f (x) +f (y) 0,则 y=f (x)的

8、最小值为 ,在平面直角坐标系内集合P所表示的区域的面积是.7. (2015?南昌模拟)若平面区域+22+p1)是一个三角形，则k的取值范围是.三.解答题(共9小题)8. (2017春？天津期中)解关于X的不等式：mx2-( m - 2) X-2>0.9. (2018?江苏)若 X, y, Z为实数，且 x+2y+2z=6,求 x2+y2+z2的最小值.1110. (2017?甘肃一模)已知函数 f(x) = ( mk) Inx+ - x,(其中常数 m >0). ?(1) 当m=2时，求f (x)的极大值；(2) 试讨论f (x)在区间(0, 1)上的单调性；(3) 当m 3, +

9、)时，曲线y=f (x)上总存在相异两点 P (x1, f (X1)、Q(x2, f (X2),使得曲线y=f (x)在点P、Q处的切线互相平行，求X1+x2的取值 范围.11. (2016?上海模拟)对于函数 f (x), g (x),记集合 Df>g=x f (x) >g (x) .(1) 设 f (x) =2xj , g (x) =x+3,求 Df>g；(2) 设 fx)=x- 1,?(?)=(扩?+?3?+ 1 ,h(x)=0,如果？?>? ?>?= ?求实数a的取值范围.12. (2017秋？腾冲县校级期中)已知函数 g (x) = (a+1) X-2+

10、1 (a>0)的图象恒过定点A,且点A又在函数?(?= ?；?+ ?的图象.(1) 求实数a的值；(2) 解不等式 f (x) VlOg 3a;(3) |g (x+2)- 2=2b有两个不等实根时，求b的取值范围.? ?13. (2018?南通一模)已知a>1 , b>1,求石硏的最小值.14. (2017秋？杨浦区校级期末)已知关于X的不等式log2 (-2x2+3x+t) V 0 ,其中 t R.(1) 当t=0时，求该不等式的解；(2) 若该不等式有解，求实数t的取值范围.15. (2017春?张家口期中)设关于X的不等式x2-(b+2) x+cv0的解集为x| 2V XV 3.(1) 设不等式bx2-( c+1) X- O0的解集为A,集合B= - 2, 2),求A B;?_?+?(2) 若x> 1,求-