41二重积分174007227

1、review:条件极值:等式约束情形定义域约束情形lagrange用乘子法定义域内部相当于无条件极值问题lagrange边界上用乘子法或其它方法rank(,) 1xyzg gg一个约束条件时( , )rank2( , , )g hx y z两个约束条件时正则性条件000( , , ),( ,)0,g x y zg x y z试构造使得且000000000( ,)( ,)( ,)0 xyzg x y zgx y zg x y z chap4.chap4.重积分重积分1.1.二重积分的概念和性质二重积分的概念和性质 二重积分是三重积分的基础.只有掌握好了二重积分才能学好三重积分.而且,二重积分完全

2、体现了重积分的所有思想.二重积分的几何与物理意义 曲顶柱体的体积 平板质量二重积分的概念二重积分的性质:( , ),( , ).,v( ). s zf x yx ydds 设曲面求以 为下底 以曲面 为上顶的曲顶柱体 的体积1.1.二重积分的几何与物理背景二重积分的几何与物理背景(1)(1)曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积step1.d对 进行分划:12,.n 相应地被分成了曲顶柱体1( )max().ii ntddt 称为分划 的直径 其中,1,dnd将 分成 个小区域2,ndd1.niidtd 称之为 的一个分划()sup( ,),.iiddd p q p qd step2.取标志点( ,).

3、iiiidp 在中任取一点step3.求近似和iid以表示的面积,则v()(),iiif p11v( )v()().nniiiiif p step4.取极限,( )0,dt直观上 当 的分划越来越细 即时1()v( ).niiif p(2)(2)平板质量平板质量( , )( , ),dx ym x y薄板 上点处的密度为求薄板质量.(1,2, )idnd in将 分成 个小区域11 ()()().nniiiiim dmdm p1,()().niiidm pm d当 的分割越来越细时step1.分划:( ,).iiiidp 在中任取一点,iid用表示的面积 薄板质量step2.取标志点:step

4、3.求近似和:step4.取极限:2.2.二重积分的概念二重积分的概念2 ( , )def.,f x yd 在有界闭区域上有定义d对 的1,niitd 任意分划( ,)iiiipd 以及任意的点(1,2, ),in1( ,)niiiifriemann 若和的极限( )01lim( ,)niiitif ,都存在(),( ),fdriemannfr d则称 在 上可积记作fd并称该极限为 在 上的二重积分, 记作( )01( , ) lim( ,),niiitidf x y df 其中,df是二重积分号是积分域是被积函数,.d是面积元 (remark:,)iiriemannd 定义中,和的极限与对

5、 的分划无关,与标志点的选取无关.因此也可以用语言定义二重积分:211 ,.0,0, . .,( ,)(1,2, ),( ), ( ,),(),( , )e.d f.niiiiiniiiidfdastdtdd intfafdriemannafdf x y da 在有界闭区域上有定义若对 的任意分划以及任意只要就有则称 在 上可积 称 为 在 上的二重积分,记为( , )rema,. ( , )r.k: dddf x y dfx yf x y df只与被积函数 和积分区域有关 而与自变量的记号无关 故有时也简记为( , ),.( , )remark: ( , ).dijddf x y ddxyf

6、 x y df x y dxdy 设存在.用平行于坐标轴的网格对 作分划 则面积微元为因此也记为,.rk: remax y二重积分对变量具有轮换不变性 即同时将积分区域与被积函数中的变量交换 所得积分值不变 ( , )( , )( , )x yu vy x,( , )( , ).case1.,dddyxf x y df y x dx y特别地 若区域 关于直线对称 则 也就是说当积分区域具有轮换对称性时 将被积函数中变量交换 积分值不变.,( , )( , ), case ( , )( , ),( , ) ( ,2.).def x yf y xx yf x y df x y dex yy xd

7、同样地 若即被积函数具有轮换对称性 则将积分区域中变量交换 积分值不变 即其中2,().()th()(m). dfr dfdfc dfr d可积的必要条件可积设为有界闭区域 则)在 上有界的充分条件1),(),(), .()dddf gr dfgr dfg dfdgd 则且线性性质3.3.二重积分的性质二重积分的性质121212),()(),1,2, . ( ,(.), )inniniddddddd ddfr dfr dinf x y dxdyf x y dxdy且中任意两区域无公共内点,则 性 加且域可 区3),(), ( , )( , ).,(),0,( , )0.()dddf gr df

8、gf x y dxdyg x y dxdyfr dff x y dxdy保序性则特别地则 ,(),proof.: f gr dfg由二重积分的线性性质,0().fgr d,由二重积分的定义 0,dfg dxdy( , )( , ).ddf x y dxdyg x y dxdy再由线性性质得4)(),( , )( , ).ddfr df x y dxdyf x y dxdy则 p,roof:ff,由线性性质和保序性( , )( , ). ddf x y dxdyf x y dxdy5)(),( , ).(),()( , )().(dfr d mf x ymddmdf x y dxdymd记为 的

9、面积 则 估值定理)26),(),( , ), . . ( , )( , ) ().(ddfc dd stf x y dxdyfd 积分中值定)有界则理闭存在117)(), ( , ), ( , )0; ( , ),( , )2(), ).dddfr d doxf x yyf x y dxdyf x yyddoxf x y dxdyf x y dxdy设关于轴对称若关于 为奇函数 则若关于 为偶函数 记为 位于轴上方的部分称性,则对2 ,(),.( , ), . . ( , ) ( , )( , )( , ).1:dddf gc d gd stf x y g x y dxdyfg x y dx

10、dy 有界闭不变号则存在例,(),(),().: f gc dfgc dfgr d从而解则g不变,0.g 号 不妨设记( , )( , ) min( , ),max( , ),x ydx ydmf x y mf x y( , )( , ) ( , )( , ).mg x yf x y g x ymg x y则 ,由二重积分的保序性( , )( , ) ( , ) ( , ).dddmg x y dxdyf x y g x y dxdymg x y dxdy( , )0,dg x y dxdy若则( , ) ( , ),( , )ddf x y g x y dxdymmg x y dxdy, (

11、 , ), . . ( , ),( , ) ( , )( , )( , ).ddd st ff x y g x y dfg x y d 由连续函数的介值定理此时( , )0,( , )0. ( , ), ( , ) ( , ) ( , )( , )0. dddg x y dxdyg x ydf x y g x y dxdyfg x y dxdy 若则remark: g变号时,结论不一定成立. 1,1 1,1,( , )( , ).df x yg x yx 例如,则2( , ) ( , )0.ddf x y g x y dxdyx dxdy,事实上221122,1,1110.416dx yx y

12、x dxdyx dxdydxdy, ( , )( , )0.dddyg x yxxg x y dxdyxdxdy 而区域 关于 轴对称关于 为奇函数,所以( , ), 0( , ) ( , ) ( , )( , )0. dddf x y g x y dxdyfg x y dxdy 故2 , ,0, , , ,( ) 2: () .( )dfca bfda ba bf xdxdybaf y则例p ,( )( ).roof(:)( )dddf xf yddf yf x由于区域 是轮换对称的 因此 ( )( )( )( ).( )( )dddf xf uf ydddf yf vf x( , )( , )( , )x yu vy x于是( )1( )( )( )2( )( )ddf xf xf ydxdydxdyf yf yf x221( )( )2( ) ( )dfxfydxdyf x f y212() .2ddxdyba22222201 limcos().:rxyrxyxy dxdyre求例3,(0 ,: 0)将被积函数看成薄板点密度 则所求为原点处的点密度 即被积函数在点分的值析1结果应为 .222, (,), . .:,rrrrstr 由积中定解分值理且2222221cos()xyrxyxy dxdyre22cos()rrrre1,0. r当时二重积分的基本性质二