空间两直线的位置关系(二)教学设计

1、一、课题名称：异面直线二、设计思路空间中的两条直线的位置关系，是在平面中两条直线位置关系及平面的基本性质基础上来研究的， 学生对此已有一定的感性认识，但学生空间想象能力还较薄弱。故本节课要利用好模型展示，多给学生思考的时间和空间，以有助于空间想象能力的形成。坚持以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探索相结合的教学方法。设置“问题”情境，激发学生解决问题的欲望；提供“观察、探索、交流”的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取知识。三、教学目标知识与能力目标： 掌握异面直线的判定，理解异面直线所成的角的概念，会用反证法证明两条直线是异面直线。过程与方法目标：

2、通过模型的展示，使学生了解、感受异面直线所成角的概念；探究异面直线所成角的求法，提高分析与解决问题的能力，体会空间问题平面化的基本数学思想方法。情感态度与价值观目标：通过异面直线的学习，使学生逐步养成在空间考虑问题的习惯，培养学生的空间想象能力。鼓励学生大胆尝试、勇于探索，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、数学的严谨美。四、教学重点异面直线的判定、异面直线所成角的定义及计算。五、教学难点异面直线所成角的方法的探究。六、教学准备正方体、三棱锥等教具，小木棍及阅读、寻找生活中的一些关于异面直线问题。七、教学过程1 温故知新，引入课题我有针对性设置下面两个问题：回答图中两直线的位置关系：思考图中

3、表示两条直线a 、 b 异面的方法正确吗？为什么？【设计意图 】通过学生观察两组图形语言，很好的起到复习与引入的效果，激发了学生的兴趣，引发学生的思考，培养学生的观察能力。2 知识探究，形成概念引导学生回答问题2 中，三种表示方法共同特点： 就是用平面来衬托， 离开平面的衬托，不同在任何一个平面的特征则难以体现. 数学讲究严谨，如何说明两直线异面呢 ?显然，利用定义证明有难度，下面我们介绍一种立几中常用的方法：反证法 .问题：若 l， A， B， Bl ，证明：直线 AB 与 l 是异面直线。证明：假设 AB 与 l 共面，由于经过点B 和直线 l 的平面只能有一个，所以直线AB 与 l都应在

4、平面内，于是点 A 在平面内，这与点 A 在平面外矛盾。因此，直线AB 与 l 是异面直线。异面直线的判定定理： 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不A经过该点的直线是异面直线。学生练习：BD如图 ,试找出三棱锥 ABCD 中,C那些棱所在的直线互为异面直线？（结论：三棱锥中对棱互为异面直线。 ）学生总结：1 上述反证法证题的步骤：反设；归谬；结论；2 判断两直线异面的方法：定义法；判定定理；反证法。小组讨论：我们知道两条相交直线所成的角刻画了一条直线相对于另一条直线的倾斜程度，那么用什么量来刻画两条异面直线中一条直线相对于另一条直线的倾斜程度呢？然后给出如下的流程图，引导学生考虑：

5、异面直线所成的角：a 、 b 是两条异面直线，经过空间任意一点O ，作直线 a ' a ，b ' b ，我们把直线 a '和 b ' 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 、 b 所成的角。小组讨论：1 由于点 O 是任意的，大家说这样作出的角有多少个？这无数个锐角(或直角 )的大小有什么关系？2 解题时，把点 O 选在何处较好？3 请同学们举出日常生活中见到过的两条异面直线所成角的实例。学生练习：D 1C 1已知 ABCD A1B1C1 D1 是棱长为 a 的正方体，则异面直线 AA1 与 BC 所成的角为；A 1B 1异面直线 BC1 与 AC 所成的角为。D

6、C学生总结：1 异面直线所成角 的范围：0,；AB22 找异面直线所成角的关键：要作平行移动(作平行线 )，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。【设计意图】 数学教学的核心是学生的再创造。让学生自主探究，小组讨论，体验数学知识的发生、发展的过程，从而使学生更好地理解数学概念和方法，突出了重点，化解了难点。3 学以致用，提炼方法例 1 在空间四边形 ABCD 中，已知 AB CD2 ,E 、 F 分别是 BC 、 AD 的中点，且 EF2 ，AF求 AB 和 CD 所成的角。G解析：取 AC的中点 G，连结 GE、GF ，BDE、F 分别是 BC、AD的中点，E11EG AB ,

7、GF CD , EGAB 1,GFCD 1。22CEG 和 GF 所成的角FGE ，即为异面直线 AB 、 CD 所成的角。又EF2，故FGE90 。方法探究： 引导学生考虑其他解法，如：选取BD 的中点；过点 B 作 CD 的平行线；过点 D 作 AB 的平行线等，可让学生课后尝试求解。学生练习（变式演练）：例 1 中，若 EF3 ，其余条件不变，则 AB 和 CD 所成的角为。（提示：本题要注意：异面直线所成角0,。）2例 2 如图，有一块长方体的木料，P 为木料表面 A1C1D 1C 1P内的一点，其中点 P 不在对角线 B1D1 上，过点 PB 1A 1在平面 A1C1 内作一直线 l

8、 ，使 l 与直线 BD 成角，DC这样的直线有几条，应该如何作图？AB思路探究：本题直接求解， 极易出错，可先将具体化，如：；23等，给学生以思路的启发。从而再对参数的讨论，能做到不重不漏。解：在平面 A1C1 内，作 m l ，使m 与 B1D1 相交成角。BD BD,m与BD也成角，m即为所求作的直线。1 1若 m 与 BD 是异面直线：当时，这样的直线 m 有且只有一条；2当时，这样的直线 m 有两条；2若 m 与 BD 共面，这样的直线 m 只有一条。学生总结：1 求异面直线所成角步骤：作；证；计算；亦即“作平行线，构造三角形”；2 当异面直线 a 、b 所成角是直角，则称异面直线

9、a 、b 互相垂直，记作 a b 。其与平面上两直线垂直有什么区别呢？小组讨论（可用小木棍摆一摆） ：下列命题是否正确，并说明理由：1 若 a b ， ca ，则 cb ；2 若 ac ， bc ，则 a b 。【设计意图】通过例题的讲解板演， 注重培养学生的能力， 及时的归纳总结，使学生的知识得到深化。通过变式训练，有利于培养学生思维的发散性。4 归纳总结，升华提高为使学生对所学的知识有一个完整而深刻的印象，请学生从以下几方面自己小结：通过学习你对异面直线所成角有那些认识？求异面直线所成角时，应注意那些问题？本节课你还有哪些问题？作业：课本第 27 页第7 题、第 8 题。【设计意图】及时的

10、归纳，有利于学生养成良好习惯， 并将所学知识纳入已有的认知结构，同时也能培养学生数学交流和表达的能力。八、教学反思我在整节课的处理上，采取了知识、方法来源于课本，挖掘其深度、广度，符合现代教学要求。 注重发展学生的合情推理能力， 降低几何证明的难度。 同时，加强空间观念的培养，注重知识产生的过程性，具体体现在以下几个方面：1 异面直线的判定定理没有直接给出，而是让学生在对图形语言观察感知基础上，进行思考并给出证明， 这样就避免了学生死记硬背，有利于理解数学的本质。2 异面直线所成角的引入，则让学生联想初中“刻画两条平行直线位置通常用距离，两条相交直线通常用角度” ，“那么，如何刻画两条异面直线的相对位置呢？”引起学生思考，讨论交流，并给出流程图供参考。使学生更好的参与教学活动，展开思维，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。3 对于异面直线所成角的求解，本节给出了两种最常见的载体：长（正）方体、三棱锥，及其在