多元函数的极限与连续

1、第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用第一节第一节 n维维euclid空间点集拓扑初步空间点集拓扑初步1. n维维euclideuclid空间空间rnn维实向量维实向量记记它满足加法和数乘，所以它构成一它满足加法和数乘，所以它构成一n维实向量空维实向量空间（或间（或n维实线性空间）维实线性空间）若定义内积：若定义内积：则则rn构成一构成一n维维euclideuclid空间。空间。),( ),(2121rxxxxxxxnn , | ),(2121rxxxxxxrnnn niiiyxyx1,n维空间中两点（向量又称为点）维空间中两点（向量又称为点）间的间的距离距离定义为定义为向

2、量向量x的长度定义为：的长度定义为：22221,|nxxxxxx 与与 ),(21nxxxx ),(21nyyyy 2222211)()()( |),(nnyxyxyxyxyx 2. rn中点列的极限中点列的极限。定义定义1.1 (点列的极限）点列的极限） 设设xk是是rn中的一个点列，中的一个点列，a是是rn中的一点，若当中的一点，若当k时，时， (xk,a) 0,即：即：, 0 axnknnk恒有恒有，使得，使得则称点列则称点列 xk 的的极限存在极限存在，且称，且称a为它的为它的极限极限，记作记作)( lim kaxaxkkk或或这时也称点列这时也称点列xk 收敛于收敛于a .设设 xk

3、(xk,1, xk,2, xk,n), a=(a1, a2,an)定理定理1.1 设点列设点列xk rn,点点a rn,则则.lim, 2 , 1 limiikkkkaxniax ，都有都有此为向量收敛与数列收敛之间的桥梁。此为向量收敛与数列收敛之间的桥梁。由此可得：由此可得：定理定理1.2 设设xk 是是rn中收敛点列，则：中收敛点列，则：(1)xk的极限是唯一的；的极限是唯一的；(2) xk是有界的是有界的,即即 m( r)0,使得使得 k n ,恒有恒有|xk| m;(3)若若xk a, yk b,则则xk yk a b , xk a ,其中其中r。(4)若若xk收敛于收敛于a,则它的任

4、一子列也收敛于则它的任一子列也收敛于a.由于向量不能比较大小，也不能相除，所以数列由于向量不能比较大小，也不能相除，所以数列极限中的单调性，保序性，确界，商不能推广。极限中的单调性，保序性，确界，商不能推广。但闭区间套定理，但闭区间套定理，bolzano-weierstrass定理，定理，cauchy收敛原理在收敛原理在rn中仍然成立。中仍然成立。3. rn中的开集与闭集中的开集与闭集定义定义1.21.2 设设a是是rn中的一个点集，中的一个点集，a rn .若存在若存在a中的点列中的点列xk ， xk a(k=1,2,),使得使得xk a(k),则称则称a为为a 的一个的一个聚点聚点。a 的

5、所有的聚点构成的集合称为的所有的聚点构成的集合称为a的导集，的导集，记作记作a 集合集合 aa a称为称为a的的闭包闭包。为闭集。为闭集。则称则称若若的孤立点，的孤立点，为为则称则称但但若若aaaaaaaaa, 定义定义1.31.3 设设a rn, 0,0,称点集称点集|),( axrxaun为以为以a为中心，为中心， 为半径的为半径的开球开球或点或点a的的 邻域。邻域。称：称：),(),(aauau 为点为点a去心去心 邻域。邻域。可分别简记为可分别简记为u(a), (a)u定理定理1.6 设设a是是rn中的一个点集，中的一个点集，a rn，则，则a a 的充要条件为：的充要条件为： aau

6、),(, 0 定义定义1.4 设设a rn,a rn.aaaaaaaauint,),(, 0 )1(或或的的内内部部，记记作作的的集集合合称称为为的的所所有有内内点点构构成成的的内内点点，是是集集则则称称使使得得若若 aaaaaaauext,),(, 0 )2(的外部，记作的外部，记作合称为合称为的所有内点构成的集的所有内点构成的集的外点，的外点，是集是集则称则称使得使得若若 aaaaaaaaauc ,),(, 0 )3(的边界，记作的边界，记作称为称为所有边界点构成的集合所有边界点构成的集合的的的边界点，的边界点，是集是集则称则称的余集的余集也含有也含有中的点，中的点，中既含有中既含有使得使

7、得若对若对 aaarn extint易知：易知：定理定理1.7 设设 a rn 是开集充分必要条件为是开集充分必要条件为ac是闭集。是闭集。定义定义1.5 设设a rn,若若ao=a,即即a中的点全中的点全是是a的的 内点，则称内点，则称a 为开集为开集.定理定理1.8 rn中开集有如下性质：中开集有如下性质：(1)和和rn都是开集都是开集,(2)任意多个开集的并集仍为开集任意多个开集的并集仍为开集，(3)有限多个开集的交集仍为开集。有限多个开集的交集仍为开集。4. rn中的紧集与区域中的紧集与区域几个概念：几个概念：(1) 设设a是是rn中的点集中的点集, 若若 m 0, 使得使得 x a

8、,都有都有|x| m,则称集合则称集合a为的为的有界集有界集.否则否则, 称之为称之为无界集无界集. (2) 若若a中任何点列都有收敛的子列，则称中任何点列都有收敛的子列，则称a 是是列紧的列紧的（或（或相对紧的相对紧的），若），若a是列紧闭集，是列紧闭集，则称则称a是是紧集紧集。(3)设设a是是rn中的点集中的点集, 若若a中任两点均可用一条中任两点均可用一条完全含在完全含在a中的折线相连接中的折线相连接, 则称为则称为连通集连通集.(4) rn中连通的开集称为中连通的开集称为rn中的中的区域。区域。区域连同其边界之并称为区域连同其边界之并称为闭区域。闭区域。(5)若连接若连接a中任意两点的

9、线段都属于中任意两点的线段都属于a,a,则则 称为称为凸集。凸集。第二节第二节 多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性 1.1.多元函数的概念多元函数的概念定义定义2.1 设设a rn是一个点集，是一个点集，称映射称映射f: ar是定义在是定义在a上的上的n元数量值函数。元数量值函数。简称为简称为n元函数。元函数。记为记为y = f(x) = f(x1, , xn),其中其中x = (x1, , xn) a称称为为自变量自变量, y称为称为因变量。因变量。d(f)=a称为称为f的的定义域定义域，r(f )=y|y=f(x),x d(f )称为称为f的的值域。值域。除非特别说明除非特别说明

10、, 或有实际意义或有实际意义, 凡用算式表达的凡用算式表达的多元函数多元函数, 其定义域都是指自然定义域其定义域都是指自然定义域, 即全体即全体使得算式有意义的自变量所成的点集使得算式有意义的自变量所成的点集.(x, y) r2 | |x| 1, |y| 1; 1122 xyz例如例如: 的定义域为的定义域为而而z = ln(x+y)的定义域为的定义域为(x, y) r2 |x+y0.定义定义2.2 设设a rn是一个点集，是一个点集，称映射称映射 f: arm (m 2)是定义在是定义在a上的上的n元向量值函数。元向量值函数。也可记为也可记为y = f(x) = f(x1, , xn),其中

11、其中x = (x1, , xn) a称称为为自变量自变量, y = (y1, , ym) rm 称为称为因变量。因变量。 f = (f1, , fn) 其中其中x=(x1, , xn) a为自变量为自变量, y=(y1, , xm) b为因变量为因变量. ) , , ,( ) , , ,( ) , , ,( 2121222111nmmnnxxxfyxxxfyxxxfy一个一个n元元m维向量值函数维向量值函数y = f(x) 对应于对应于m个个n元元数量值函数数量值函数 ) , , ,() , , ,() , , ,()()()(212122112121nmnnmmxxxfxxxfxxxfxfx

12、fxfyyyy若用列向量表示若用列向量表示, 即即例例1 空间空间r3中曲线的参数方程为：中曲线的参数方程为：x=x(t),y=y(t),z=z(t) t , r,为一元向量值函数，为一元向量值函数，可写成：可写成：r=r(t),),(),(00ayxuyx ,),(lim),(),(00ayxfyxyx .),(lim00ayxfyyxx 2. 多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性 定义定义 2.3 (二重极限）二重极限） 设有点集设有点集a r2,f :ar是一个二元数量值函数。是一个二元数量值函数。点点 (x0, y0)是是a的聚点的聚点, a r是一个常数是一个常数.若若 0, 0, 使得使得恒有恒有|f(x,y) a|0, 取取 = , 则当则当时时, 恒有恒有| f(x, y) 0|0, 0, 使得使得,),(),(00ayxuyx 恒有恒有|f(x,y) f (x0, y0) |2)元元数量值函数与向量值函数。数量值函数与向量值函数。3. 多元连续函数的性质多元连续函数的性质: 若函数若函数f在紧集在紧集a上连续上连续,则则f在在a上有界，上有界， 即存在即存在m 0, 使得使得 x a, 有有| f(x)| m. : 若函数若函数f在紧集在紧集a上连续上连续,则则f 在在a上必能上必能 取到最大值取到最大值m与最小值与最小值m。 若函数若