【人教A版】高中数学必修二：全册作业与测评 课时提升作业(二十三) 3.3.33.3.4

1、人教版高中数学必修精品教学资料课时提升作业(二十三)点到直线的距离两条平行直线间的距离(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是()a.12b.32c.322d.22【解析】选c.d=|1×1-(-1)+1|1+1=322.【补偿训练】点a(-2,1)到直线y=2x-5的距离是()a.2b.1033c.855d.25【解析】选d.d=|2×(-2)-1-5|1+22=25.2.点p(x,y)在直线x-y-4=0上,o是原点,则|op|的最小值是()a.10b.22c.6d.2【解析】选b.op垂直于直线x-y-4=0时

2、,|op|最小,此时|op|=|0-0-4|1+1=22.【补偿训练】p点在直线3x+y-5=0上,且p到直线x-y-1=0的距离为2,则p点坐标为()a.(1,2)b.(2,1)c.(1,2)或(2,-1)d.(2,1)或(-1,2)【解析】选c.设p点坐标为(a,5-3a),由题意知:|a-(5-3a)-1|2=2,解之得a=1或a=2,所以p点坐标为(1,2)或(2,-1),故选c.3.(2015·福州高一检测)直线x+3y-9=0与直线x+3y-c=0的距离为10,则c的值为()a.-1b.19c.-1或19d.无法确定【解析】选c.在x+3y-9=0上取一点(0,3),则|

3、9-c|1+9=10,解得c=-1或c=19.【补偿训练】平行于直线3x+4y-2=0,且与它的距离是1的直线方程为()a.3x+4y+3=0或3x+4y+7=0b.3x+4y-3=0或3x+4y+7=0c.3x+4y+3=0或3x+4y-7=0d.3x+4y-3=0或3x+4y-7=0【解析】选c.设所求的直线方程为3x+4y+a=0,则d=a+232+42=1,解得a=3或a=-7,故所求的直线方程为3x+4y+3=0或3x+4y-7=0.4.(2015·贵阳高一检测)已知点a(1+t,1+3t)到直线l:y=2x-1的距离为55,则点a的坐标为()a.(0,-2)b.(2,4)

4、c.(0,-2)或(2,4)d.(1,1)【解题指南】利用点到直线的距离公式,以及分类讨论思想.【解析】选c.直线l:y=2x-1可化为2x-y-1=0,依题意得|2(1+t)-(1+3t)-1|22+1=55,整理得|t|=1,所以t=1或t=-1.当t=1时,点a的坐标为(2,4);当t=-1时,点a的坐标为(0,-2).【补偿训练】与直线2x+y+1=0的距离为55的直线的方程是()a.2x+y=0b.2x+y-2=0c.2x+y-2=0或2x+y=0d.2x+y=0或2x+y+2=0【解析】选d.经验证知直线2x+y=0与2x+y+1=0的距离为55,直线2x+y+2=0与2x+y+1

5、=0的距离为55,故选d.5.两平行线分别经过(3,0),(0,4),它们之间的距离为d,则d的取值范围是()a.0<d3b.0<d<4c.0<d5d.3d5【解析】选c.分别经过(3,0),(0,4)的两平行线间的最大距离为两点(3,0),(0,4)间的距离,即d=32+42=5,故d的取值范围是(0,5.二、填空题(每小题5分,共15分)6.点p(m-n,-m)到直线xm+yn=1的距离为.【解题指南】将直线化为一般式,代入点到直线的距离公式求解.【解析】将直线化为一般式,得nx+my-mn=0,由点到直线的距离公式得d=|n(m-n)+m(-m)-nm|n2+m2

6、=n2+m2.答案:n2+m27.(2015·三亚高一检测)经过点(1,3)且与原点距离是1的直线方程是.【解析】当l的斜率不存在时,方程为x=1,满足与原点距离为1;当l的斜率存在时,设方程为y-3=k(x-1),由|-k+3|1+k2=1,解得k=43,直线方程为4x-3y+5=0.答案:4x-3y+5=0,x=1【延伸探究】将本题的“原点”改为“点(2,0)”,其他条件不变,又如何求解?【解析】当l的斜率不存在时,方程为x=1,满足与点(2,0)的距离为1;当l的斜率存在时,设方程为y-3=k(x-1),由|k+3|1+k2=1,解得k=-43,故直线方程为4x+3y-13=0

7、.综上,满足条件的直线方程为x=1,4x+3y-13=0.8.(2015·沧州高一检测)已知直线l1:2x-y+a=0,4x-2y-1=0,若直线l1,l2的距离等于7510,且直线l1不经过第四象限,则a=.【解析】由直线l1,l2的方程可知,直线l1l2.在直线l1上选取一点p(0,a),依题意得,l1与l2的距离为|-2a-1|42+(-2)2=7510,整理得|2a+1|25=7510,解得a=3或a=-4.因为直线l1不经过第四象限,所以a0,所以a=3.答案:3【补偿训练】若点o(0,0),a(4,-1)到直线ax+a2y+6=0的距离相等,则实数a=.【解析】由题意得6

8、a2+a4=|4a-a2+6|a2+a4,即4a-a2+6=±6,解得a=0,或a=-2,或a=4,或a=6.经检验得,a=0不合题意,舍去,所以a=-2,或a=4,或a=6.答案:-2或4或6三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·佛山高一检测)已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,求这两条平行线间的距离.【解题指南】先求出直线方程,然后根据两平行线间的距离公式求解.【解析】因为3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,所以32=6m,所以m=4.直线6x+4y+1=0可以化为3x+2y+12=0,由两条平行直线间的距离公式可得:d=1

9、2-(-3)32+22=7213=71326.故两平行线间的距离为71326.10.求与两平行线l1:3x+4y-10=0和l2:3x+4y-12=0距离相等的直线l的方程.【解析】由题意设所求直线l的方程为3x+4y+c=0(-12<c<-10),则由|-10-c|32+42=|c-(-12)|32+42,解得c=-11,故直线l的方程为3x+4y-11=0.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·天津高一检测)直线l经过点p(-2,1)且点a(-2,-1)到直线l的距离等于1,则直线l的方程是()a.3x-y+1+23=0b.-3x-y+1

10、-23=0c.3x-y+1+23或-3x-y+1-23=0d.x-3y+1+23=0或x+3y-1-23=0【解题指南】当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-2,不成立;当直线l的斜率存在时,设直线l;kx-y+2k+1=0,则|-2k+1+2k+1|k2+1=1,由此能求出直线l的方程.【解析】选c.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-2,不成立;当直线l的斜率存在时,设直线l:y-1=k(x+2),即kx-y+2k+1=0,因为点a(-2,-1)到直线l的距离等于1,所以|-2k+1+2k+1|k2+1=1,解得k=±3,所以直线l的方程为3x-y+1+23=0或-

11、3x-y+1-23=0.【补偿训练】已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a=()a.2b.2-2c.2-1d.2+1【解析】选c.由点到直线l的距离公式得d=a-2+32=1,且a>0,解得a=2-1.2.若动点a(x1,y1),b(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则ab的中点m到原点距离的最小值是()a.32b.23c.33d.42【解析】选a.由题意,结合图形可知点m必然在直线x+y-6=0上,故m到原点的最小距离为|-6|2=32.【方法技巧】巧用“数形结合”解题“数形结合”是数学的常用思想方法之一.数缺形时

12、少直观,形离数则难入微.借助图形做题形象直观,化难为易是一种好的转化方法.有些题目,虽然是代数问题,但通过分析其代数式的几何意义,将代数问题转化为几何问题处理更便捷.【延伸探究】本题中,求|ab|的最小值.【解析】|ab|的最小值即为两平行线间的距离,即d=|-7+5|12+12=2.【补偿训练】过点a(1,2)且与原点距离最大的直线方程是()a.x+2y-5=0b.2x+y-4=0c.x+3y-7=0d.x+3y-5=0【解析】选a.所求直线与两点a(1,2),o(0,0)连线垂直时与原点距离最大.koa=2,故所求直线的斜率为-12,方程为y-2=-12(x-1),即x+2y-5=0.二、

13、填空题(每小题5分,共10分)3.已知两点a(3,2)和b(-1,4)到直线mx+y+3=0的距离相等,则m的值等于.【解题指南】利用点到直线的距离公式,建立等式求解即可.【解析】依题意得|3m+2+3|m2+1=|-m+4+3|m2+1,所以|3m+5|=|m-7|,所以3m+5=m-7或3m+5=7-m.解得m=-6或m=12.答案:-6或12【补偿训练】到直线3x-4y-1=0距离为2的点的轨迹方程是.【解析】设所求轨迹上任意点p(x,y),由题意,得|3x-4y-1|32+(-4)2=2,化简得3x-4y-11=0或3x-4y+9=0.答案:3x-4y-11=0,3x-4y+9=04.

14、(2015·厦门高一检测)若直线l被两条平行线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0截得的线段长为22,则直线l的倾斜角可以是:15°30°45°60°75°,其中正确答案的序号是.【解题指南】利用点到直线的距离公式,直线倾斜角与斜率的概念,以及分类讨论思想.【解析】易求两条平行线l1,l2之间的距离为d=|3-1|1+1=2.画示意图可知,要使直线l被两条平行线l1,l2截得的线段长为22,必须使直线l与直线l1,l2成30°的夹角.因为直线l1,l2的倾斜角为45°,所以直线l的倾斜角等于30°+

15、45°=75°或45°-30°=15°.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知直线l经过点p(-2,5),且斜率为-34.(1)求直线l的方程.(2)若直线m与l平行,且点p到直线m的距离为3,求直线m的方程.【解析】(1)由点斜式方程得,y-5=-34(x+2),所以l的方程为3x+4y-14=0.(2)设m的方程为3x+4y+c=0,则由平行直线间的距离公式得,|c+14|5=3,c=1或-29.所以直线m的方程为3x+4y+1=0或3x+4y-29=0.6.(2015·青岛高一检测)已知a(4,-3),b(2,-1)

16、和直线l:4x+3y-2=0,求一点p,使|pa|=|pb|,且点p到l的距离等于2.【解题指南】利用中点坐标公式求出ab的中点坐标,再求得ab的垂直平分线的方程,结合点到直线的距离公式建立等式求解.【解析】ab的中点坐标为(3,-2),kab=-3+14-2=-1,所以线段的垂直平分线方程为y+2=x-3,即x-y-5=0,设点p(a,b),则p在直线x-y-5=0上,故a-b-5=0,又|4a+3b-2|42+32=2,解得a=1,b=4,或a=277,b=-87.故所求的点为p(1,-4)和p277,-87.【补偿训练】已知正方形abcd的中心m(-1,0)和一边cd所在的直线方程为x+3y-5=0,求其他三边所在的直线方程.【解析】因为abcd,所以可设ab边所在的直线方程为x+3y+m=0.又因为adcd,bc