二分法求方程的根48637

1、3.1.2 用二分法用二分法 求方程的求方程的近似解近似解上节回忆2、如何判断函数、如何判断函数y=f(x)在区间在区间a,b上是否上是否有零点有零点?(1)函数函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是连上的图象是连续不断的一条曲线续不断的一条曲线(2) f(a)f(b)0 思考：区间思考：区间a,ba,b 上零点是否是唯一的？上零点是否是唯一的？ 函数函数 在下列哪个区间内在下列哪个区间内有零点有零点? ? ( )3( )1f xxx)3 , 2.() 1 , 0.()2 , 1.()0 , 1.(dcba 上节回忆练习：练习：思考：如何得到一个思考：如何得到一个更小更小的区间，使得零的

2、区间，使得零点还在里面，从而得到零点的近似值，点还在里面，从而得到零点的近似值，如何缩小零点所在的区间？如何缩小零点所在的区间？ 游戏规则：游戏规则： 给出一件商品，请你猜出给出一件商品，请你猜出它的准确价格，我们给的提示它的准确价格，我们给的提示只有只有“高了高了”和和“低了低了”。给。给出的商品价格在出的商品价格在100 200100 200之间之间的整数，如果你能在规定的次的整数，如果你能在规定的次数之内猜中价格，数之内猜中价格，这件商品就这件商品就是你的了是你的了。 这能提供求确定这能提供求确定 函数零点的思路吗函数零点的思路吗思路：用区间两个端点的中点，思路：用区间两个端点的中点，将

3、区间一分为二将区间一分为二研讨新知研讨新知我们已经知道我们已经知道,函数函数f(x)= 在区间在区间(2,3)内有零点；内有零点；进一步的问题是，如何找到这个进一步的问题是，如何找到这个零点呢？零点呢？如果能够将零点的范围尽量缩小如果能够将零点的范围尽量缩小,那么在一定精确度的要求下那么在一定精确度的要求下,我们我们可以得到零点的近似值可以得到零点的近似值.我来说我来说我要问我要说我要说122 xx 对于一个已知零点所在区间对于一个已知零点所在区间a,ba,b,取取其中点其中点 c ,c ,计算计算f(cf(c),),如果如果f(cf(c）=0=0，那么，那么 c c 就是函数的零点；如果不为

4、就是函数的零点；如果不为0 0，通过比较，通过比较中点与两个端点函数值的正负情况，即可中点与两个端点函数值的正负情况，即可判断零点是在（判断零点是在（a,ca,c) )内，还是在（内，还是在（c,bc,b) )内，内，从而将范围缩小了一半，以此方法重复进从而将范围缩小了一半，以此方法重复进行行可得：方程x2-2x-1=0 一个根x1在区间(2,3)内，另一个根x2在区间(-1,0)内问题问题3不解方程，如何求方程不解方程，如何求方程x2-2x-1=0的一个正的近似解（精确到的一个正的近似解（精确到0.1）? xy1 203y=x2-2x-1-1 由此可知：借助函数f(x)= x2-2x-1的图

5、象， 我们发现f(2)=-10，这表明此函数图象在区间(2,3)上穿过x轴一次，可得出方程在区间(2,3)上有惟一解.画出y=x2-2x-1的图象，如图四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论思考：如何进一步思考：如何进一步有效缩小根所在的区间？有效缩小根所在的区间？学生活动学生活动讨论讨论。数离形时少直观，形离数时难入微！数离形时少直观，形离数时难入微！ 四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论2-3+xy1 203y=x2-2x-1-12-3+2.5+2.25-2.375-2-3+2.25-2.5+2.375-2.4375+2-2.5+3+232.52-3+2.

6、5+2.25-22.52.25由于2.375与2.4375的差的绝对值小于0.1,所求近似解为2.4375。1简述上述求方程近似解的过程构建数学：x1(2,3) f(2)0 x1(2,2.5)f(2)0 x1(2.25,2.5) f(2.25)0 x1(2.375,2.5) f(2.375)0 x1(2.375,2.4375) f(2.375)0f(2.5)=0.250 f(2.25)= -0.43750 f(2.375)= -0.23510通过自己的语言表达，有助于对概念、方法的理解! 2.375与2.4375的近似值都是2.4, x12.4四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类

7、讨论解：设f (x)=x2-2x-1，设x1为其正的零点 思考思考: : 通过这种方法通过这种方法, ,是否可以得是否可以得到任意精确度的近似值到任意精确度的近似值? ?给给这种方法起个名字？这种方法起个名字？ 精确度精确度为为0.01,0.01,即零点值与近似值即零点值与近似值的差的绝对值要小于或等于的差的绝对值要小于或等于0.010.01 所以我们可将所以我们可将此区间内的任意一点此区间内的任意一点作为函数作为函数零点的近似值，特别地，可以将零点的近似值，特别地，可以将区间端点区间端点作为零作为零点的近似值点的近似值. ., 1 . 00625. 04375. 2375. 2ba由于由于如

8、图如图a设设函数的零点为函数的零点为 ,0 x则则.0bxa=2.375,=2.375,=2.4375=2.4375，b0 x.ab所以所以, 1 . 0, 1 . 000abbxabax所以方程的近似解为所以方程的近似解为4375. 2x 对于在区间对于在区间 上连续不断且上连续不断且 的函的函数数 ,通过不断地把函数通过不断地把函数 的零点所在的区的零点所在的区间一分为二间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到进而得到零点近似值的方法叫做二分法零点近似值的方法叫做二分法.ba, 0bfaf xfy xf二分法概念二分法概念xy0ab问题问题5:你能归纳

9、出你能归纳出“给定精确度给定精确度,用二分用二分法求函数零点近似值的步骤法求函数零点近似值的步骤”吗吗?二分法的实质二分法的实质:就是将函数零点所在的就是将函数零点所在的区间不断地一分为二，使新得到的区间区间不断地一分为二，使新得到的区间不断变小，两个端点逐步逼近零点不断变小，两个端点逐步逼近零点3.3.计算计算 ； cf（1 1）若）若 ，则，则 就是函数的零点；就是函数的零点； c 0cfba, 0bfaf1.1.确定区间确定区间 , ,验证验证 , ,给定精确度给定精确度 ; ; 2.2.求区间求区间 的中点的中点 ； ba,c 0cfafcb cax,0（2 2）若）若 ，则令，则令

10、（此时零点（此时零点 ）. . （3 3）若）若 ，则令，则令 （此时零点（此时零点 ）. . 0bfcfbcx,0ca 4.4.判断是否达到精确度判断是否达到精确度 ：即若：即若 ，则得到零点，则得到零点 近似值近似值 （或（或 ）；否则重复）；否则重复2 24.4.baab xf 给定精确度给定精确度 ,用二分法求函数用二分法求函数 零点近似零点近似值的步骤如下值的步骤如下: 2370,237,xxxfxx解：原方程令用计算器作出函数的对应值表与图像. 732xxfxx012346578-6-2310214075142273列表列表尝试尝试:借助计算器或计算机用二分法求方程借助计算器或计算

11、机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度的近似解（精确度0.1）.先确定零点的范围；再用二分法去求方程的近似解先确定零点的范围；再用二分法去求方程的近似解绘制函数图像绘制函数图像 取（取（1，1.5）的中点）的中点x2=1.25 ,f(1.25)= - -0.87，因为因为f(1.25)f(1.5)0，所以，所以x0（1.25，1.5） 同理可得，同理可得， x0（1.375，1.5），），x0(1.375，1.4375），由于），由于 |1.375-1.4375|=0.0625 0.1 0:,10,20,120,1,2.fffff xx解由图像和函数值表可知则所以在内有一个零点 101

12、,21.5,1.50.33,11.501,1.5 .xfffx 取区间的中点因为所以 所以，原方程的近似解可取为所以，原方程的近似解可取为1.4375_, 5 .23 , 2052.203那么下一个区间为取区间中点内的实根时在区间用二分法求方程xxx2,3:d1,2:c1 , 0:b1,0-:a,3log. 13可以取的初始区间是：的近似根时用二分法求方程 xx四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论练习练习2: 下列函数的图象与下列函数的图象与x轴均有交点轴均有交点,其中不能其中不能用二分法求其零点的是用二分法求其零点的是 （ ）cxy0 xy0 xy0 xy0问题问题7:根据

13、练习根据练习2，请思考利用二分法求函数，请思考利用二分法求函数 零点的条件是什么？零点的条件是什么？ 1 1、函数函数y=f (x)在在a,b上上连续不断。连续不断。2、 y=f (x)满足满足 f (a)f (b)0，则在，则在(a,b)内必有零点内必有零点思考题思考题 从上海到美国旧金山的海底电缆有从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至多理，为了尽快断定故障发生点，一般至多需要检查几个接点？需要检查几个接点？四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论123456789 10111213 14 15基本知识基本知识:1. 二分法二分