96多元函数微分学的几何应用

1、1/16三、小结三、小结 思考题思考题一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线2/16复习复习隐函数求导隐函数求导)(),()(xfyyxf 0 1yxffxydd 0),(0),()2(zyxgzyxf )()(xzzxyy 用推导法求用推导法求，xyddxzdd空间曲线空间曲线方程形式有方程形式有 0),(0),(zyxgzyxf 一般式一般式 ，参数式参数式 )()()(tztytx 空间曲面空间曲面方程形式有方程形式有 0),( zyxf隐式隐式 ),(yxfz 显式显式复习复习复合函数求导复合函数求导 0)(),(),( tzt

2、ytxf全导数全导数0)()()( tzftyftxfzyx3/16一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面【基本情形基本情形】设设空间空间曲线曲线的的参数方程参数方程为：为：) 1)()()( tztytxozyx三函数均可导三函数均可导),(0000zzyyxxmttt ),(00000zyxmtt设设型型为为 )()()()(. 1 ttztytx割线割线m0m的方程为的方程为考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程zzzyyyxxx 0000m m 4/16t t t 上式分母同除以上式分母同除以, t,000zzzyyyxxx ,0,0时时即即当当

3、tmm曲线在曲线在m0 处的处的切线方程切线方程.)()()(000000tzztyytxx 【切向量【切向量】切线的方向向量称为曲线的切向量切线的方向向量称为曲线的切向量. . )(),(),(000tttt 【法平面【法平面】过过m0点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面点法式点法式0)()()(000000 zztyytxxt【切向量指向【切向量指向】与参数与参数 t 增大时点增大时点m移动的走向一致移动的走向一致. .5/16【解【解】, 2, 1, 0 zyx,costxte ,sincos2tty ,33tze , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z切线方程切线方程,3

4、22110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即课本课本p39例例1自阅自阅6/16转化为转化为参数方程参数方程： )()(xzxyxx,),(0000处处故在故在zyxm ,)()(100000 xzzxyyxx . 0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程为法平面方程为切线方程为切线方程为型型为为 )()(. 2xzxy切向量：切向量： )(),(, 100 xxt 【特殊情形特殊情形1】基本情形基本情形7/16一般式一般式,0),(0),( zyxgzyxf切向量为切向量为)()(xzzxyyxx )()(xzzxyy 确定隐函数

5、组确定隐函数组)(),(, 1 (00 xzxyt 其中其中)( ),(00 xzxy 由方程组确定的隐函数求导法求得由方程组确定的隐函数求导法求得,将切向量将切向量 代入代入基本情形基本情形即得即得切线方程切线方程和和法平面方程法平面方程t型型为为 0),(0),(. 3zyxgzyxf【特殊情形特殊情形2】基本情形基本情形如何转化为参数式？如何转化为参数式？8/16 1ddddddddxzxyxxzzxyy, 0)1 ,2, 1()1 ,2, 1(zyxzxydd1)3,2, 1()3,2, 1(zyyxxzdd【解【解2】曲线方程等价于曲线方程等价于， )()(xzzxyyxx)(),(

6、, 1 (xzxyt ),1, 0, 1 ()1 , 2, 1( t切线方程切线方程,110211 zyx法平面方程法平面方程, 0) 1()2(0) 1( zyx0 zx即9/161. 【曲面曲面方程为方程为隐式隐式情形情形 】0),( zyxf),(),(),(000tttt 曲线在曲线在m0处的切向量处的切向量在曲面上在曲面上任取任取一条过点一条过点m0的曲线的曲线,)()()(: tztytx二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线nt0m 偏导连续偏导连续其中其中f三个函数都可导三个函数都可导),(),(),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx 令令则则tn 证证

7、 由由0)(),(),( tttf0)(),(),(dd tttft即即0)()()(000 tftftfzyx故故tn ),(000，余同，余同其中其中zyxffxx 基本情形基本情形10/16切平面方程为切平面方程为0)()()(000 zzfyyfxxfzyx法线方程为法线方程为),(),(),(000000000000zyxfzzzyxfyyzyxfxxzyx ),(),(),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx 曲面在曲面在m0处的处的法向量法向量即即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量法向量. .ntm11/162. 特殊地特殊

8、地:【曲面曲面方程为方程为显式显式情形情形 】 ),(yxfz 故曲面在故曲面在m0 处的处的切平面方程切平面方程为为,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在m0处的处的法线方程法线方程为为.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx)( ,),(),(化化为为隐隐式式zyxfzyxf 令令) 1),(),(0000 yxfyxfnyx则则法向量法向量为为12/16)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 在点在点m 的的切平面切平面的方程：的方程： 复习复习 一元函数微分的几何意义一元函数微分的几何意义 xxfy )(d0)

9、,(yxfz yyxfxyxfyx ),(),(0000),(00),(dyxyxf 13/16,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff ),(00yxffxx ),(00yxffyy 其中其中4. 【法向量的方向余弦法向量的方向余弦】若曲面若曲面为为),(yxfz 显式显式 则法向量为则法向量为) 1),(),( 0000 yxfyxfnyx14/16【解【解】, 32e),( xyzzyxfz, 42)0, 2, 1()0, 2, 1( yfx, 22)0, 2, 1()0, 2, 1( xfy, 0e1)0, 2, 1()0, 2, 1( zzf令

10、令切平面方程切平面方程法线方程法线方程, 0)0(0)2(2) 1(4 zyx, 042 yx.001221 zyx【分析【分析】 曲面方程为曲面方程为隐式隐式情形情形课本例课本例3自阅自阅),0 2 , 4( n法向量15/16【解【解】( (2) ) 令令 【分析【分析】用用显式显式情形直接求情形直接求见课本解法见课本解法( (略略) ) 也可化为也可化为隐式隐式情形求解情形求解.zyxzyxf1),(22),(),(122 yxfffnzyx),(),(124412 n切平面方程切平面方程法线方程法线方程,)()()(041224 zyx, 0624 zyx.142142 zyx16/161.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面2.曲面的切平面与法线（曲面的切平面与法线（隐式隐式、显式显式两情形两情形） 曲面方程以曲面方程以隐式隐式情形为情形为基本情