向量的概念及运算

1、 1.向量的有关概念 (1)向量向量:既有既有 ,又有又有 的量叫做向量的量叫做向量,向量的大小叫做向量的向量的大小叫做向量的 (或模或模).用有向线段表示向量。用有向线段表示向量。 (2)零向量零向量: 的向量叫做零向量的向量叫做零向量,其方向其方向是是 的的. (3)单位向量单位向量:给定一个非零向量给定一个非零向量a,与与a 且且长度等于长度等于 的向量的向量,叫做向量叫做向量a的单位向量的单位向量.大小大小 方向方向 长度长度 长度为长度为0 任意任意 同方向同方向 1 考点分析考点分析 (4)平行向量平行向量:方向方向 或或 的的 向量向量.平行向量又叫平行向量又叫 ,任一组平行向量

2、都可以任一组平行向量都可以移到同一条直线上移到同一条直线上. 规定规定:0与任一向量与任一向量 . (5)相等向量相等向量:长度长度 且方向且方向 的向量的向量. (6)相反向量相反向量:长度长度 且方向且方向 的向量的向量. 2.向量的加法和减法 (1)加法加法 法则法则:服从三角形法则、平行四边形法则服从三角形法则、平行四边形法则. 运算性质运算性质:相同相同 相反相反 非零非零 共线向量共线向量 平行平行 相等相等 相同相同 相等相等 相反相反 a+b= (交换律交换律);(a+b)+c= (结合律结合律);a+0= = .(2)减法减法减法与加法互为逆运算减法与加法互为逆运算;法则法则

3、:服从三角形法则服从三角形法则.3.实数与向量的积(数乘向量)(1)长度与方向规定如下长度与方向规定如下:|a|= ;b+a a+(b+c) 0+a a |a| 当当 时时,a与与a的方向相同的方向相同;当当 时时,a与与a的方向相反的方向相反;当当=0时时,a= . (2)运算律运算律:设设,r,则则 (a)= ;(+)a= ; (a+b)= . 4.平行向量基本定理 向量向量a与与b(b0)平行的充要条件是平行的充要条件是 .有且只有一个实有且只有一个实 0 0 0 ()a a+a a+b 数数, 使得使得a=b 例例1：给出下列命题：给出下列命题:向量向量ab的长度与向量的长度与向量ba

4、的长度相等的长度相等;向量向量a与向量与向量b平行平行,则则a与与b的方向相同或相反的方向相同或相反;两个有共同起点并且相等的向量两个有共同起点并且相等的向量,其终点必相同其终点必相同;两个有共同终点的向量两个有共同终点的向量,一定是共线向量一定是共线向量;向量向量ab与向量与向量cd是共线向量是共线向量,则点则点a,b,c,d必在同一必在同一条直线上条直线上;有向线段就是向量有向线段就是向量,向量就是有向线段向量就是有向线段.其中假命题的其中假命题的个数为个数为( )a.2 b.3 c.4 d.5c练习练习2 已知已知 abcd 的两条对角线相交于点的两条对角线相交于点 m,设设 ，aab，

5、bad试用试用 表示表示ba,.mdmcmbma，a cbdm解：因为解：因为 ，baadabac，baadabdb所以所以 ，babaacma2121)(2121，babadbmb2121)(2121，baacmc212121badbmd212121练习练习1 化简化简2.向量的直角坐标运算向量的直角坐标运算设 ， ，则),(21aaa ),(21bbb ),(),(2121bbaaba；),(2211baba),(),(2121bbaaba；),(2211baba),(),(2121aaaaa结论结论1：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐

6、标的和与差坐标的和与差.结论结论2：数乘向量积的坐标等于数乘上向量相应坐标的积数乘向量积的坐标等于数乘上向量相应坐标的积.例例2已知已知 ， , ，bababa43解：解：)12( ，a)43(，b)43()12(， ba)4132(，；，)51()43()12(， ba)4132(，；，)35()43(4)12(343，ba)1612()36(， )196(求求解：解：已知点已知点 ， , 求向量求向量 的坐标的坐标ab)(11yxa，)(22yxb，oaobab),(1212yyxx),(),(1122yxyx结论：结论：一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的一个向量的坐标等于向量终点

7、的坐标减去始点的相应坐标相应坐标平面上两点间的距离公式平面上两点间的距离公式 a(x2 ，y2)xyb(x2，y2)o设点设点 a(x1，y1)，b(x2，y2) ，则，则 212212)()(|yyxxab已知已知 a a，b b 两点的坐标两点的坐标 , 求求 坐标坐标 ，并求出他们，并求出他们之间的距离之间的距离baab ,),43(，a)36( ，b),63(，a)78(，b例例4.如图，已知如图，已知 的三个顶点的三个顶点a、b、c的坐标分别是的坐标分别是 （-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），试求顶点），试求顶点d的坐标。的坐标。abcdabcdxyo解法：设点解法：设点d的坐标为（的坐标为（x,y）( 1,3)( 2,1)(1,2)(3,4)( , )(3,4) abdcx yxyabdc 且 且(1,2)(3,4)xy1324 xy解得解得 x=2,y=2所以顶点所以顶点d的坐标为（的坐标为（2，2）例例4.如图，已知如图，已知 的三个顶点的三个顶点a、b、c的坐标分别是的坐标分别是 （-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），试求顶点），试求顶点d的坐标。的坐标。abc