初中数学竞赛中定方程的整数解问题定方程的整数解问题

1、 初中数学竞赛中不定方程的整数解问题 1. 利用整数分离 在解决不定方程问题时，首先逆用分式的加减法，将分式拆分成一个整数与一个分子为常数的分式的和或差的形式，然后利用整数整除的性质通过对简单分式的分析来解决问题。这种方法是处理含有分式不定方程的整数解问题的一种有效途径。例1. 方程的整数解共有几组？2. 因式分解法 当不定方程的一边容易化为两个一次因式的乘积，另一边是一个整数时，通常用分解因式法解决不定方程的整数解问题。例2. 方程的所有不同的整数解共有几组?例3. 设直角三角形的两条直角边长分别为a, b,斜边长为c. 若a,b,c均为正整数，且，求满足条件的直角三角形的个数？3. 判别式

2、法 在一个二元不定方程中，若把其中一个未知数当作参数后，该方程变为关于另一个未知数的一元二次方程，于是，可利用0，求出参数的范围，然后求解。例4 关于x,y的方程的整数解（x,y）有几组？4. 放缩法 是指根据已知条件将不定方程中某些未知数放大或缩小，从而确定某个未知数的取值范围，进而确定该未知数的整数解，然后将其代入原方程求其他未知数的整数解一种解题方法。例5 当时，求方程的正整数解。5. 利用整除和同余例6 关于x,y的方程的所有正整数解为多少？6. 参数法 在一个二元不定方程中，若把其中一个未知数当作参数后，该方程变为关于另一个未知数的一元二次方程，则可利用设参数法，即设=，然后求出方程

3、的解，再利用数论的相关知识求解，或通过因式分解，直接从=求解例7.设a为质数，b为正整数，且。求a,b的值。练习题1. 求方程的整数解。2. 求满足方程的整数对（x,y）的组数有多少？3. 方程的非负整数解（x,y）的组数为几组？4. 求方程的正整数解。5.关于m,n的方程是否存在整数解？若存在，请写出一组解；若不存在，请说明理由。初中数学竞赛中与质数有关的问题1常用知识与结论 （1）除2以外所有的质数均为奇数。 （2）因子分解唯一性定理。 （3）已知p,q均为质数，若pq,则p=q. （4）已知p为质数，a,b为整数，若pab，则pa,或pb. 推论 若p，则pa.2例题 1. 连续的n个正

4、整数，在每个数写成标准的质因数乘积分解式后，每个质因数都是奇数次幂，这样的n个连续正整数称为一个“连n奇异组”(如n=3时，则22,23,24就是一个连3奇异组)则连n奇异组中n的最大可能值是多少？2. 满足方程的质数对（a,b）的个数是几对？3. 已知a,b,c,d都是质数（允许a,b,c,d相同），且abcd是35个连续正整数的和。则求a+b+c+d的最小值。4. 求满足的所有质数p和正整数m.5. 求大于2的质数p，使得抛物线上有点满足为正整数，为质数的平方。6. 已知正整数a,b满足a-b是质数，且ab是完全平方数，当a2012时，求a的最小值。练习题1. 若a,b都是整数，方程的相异两根都是质数，则求的值。2. 能否将2010写出k个互不相等的质数的平方和?如果能，求k的最大值；如果不能，请简述理由。3设p与5p2-2同为质数。求p的值。4.设a为质数，b为正整数，且9(2a+b)2=509（4a