高等几何试题及答案

1、试卷类型：A高等几何使用专业年级考试方式：开卷（）闭卷（，） 共6页题号* 9*三四五六1合计得分. * 填空题（每小题4分，共20分）1、设 P（1）, P2（-1） , P3（）为共线三点，则（PlP2P3）2、写出德萨格定理的对偶命题：线 3、若共点四直线 a,b,c,d 的交比为（ab,cd）=-1 ,则交比（ad,bc尸二4、平面上4个变换群，射影群，仿射群，相似群，正交群的大小关系为：5、二次曲线的点坐标方程为24x1x3 x20 ,则其线坐标方程为是一选择题（每小题2分，共10分）二1.下列哪个图形是仿射不变图形？（）A.圆 B.直角三角形封 C.矩形 D.平行四边形222. u

2、12u1u2 8u2 0 表示（）A.以-1/4为方向的无穷远点和以1/2为方向的无穷远点B.以-4为方向的无穷远点和以2为方向的无穷远点C.以4为方向的无穷远点和以-2为方向的无穷远点D.以1/4为方向的无穷远点和以-1/2为方向的无穷远点3 .两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成？（）A.一次 B.两次C.三次 D.四次4 .下面的名称或定理分别不属于仿射几何学有（）：A.三角形的垂心B.梯形C.在平面内无三线共点的四条直线有六个交点D. 椭圆5 .二次曲线按射影分类总共可分为（）A.4类 B.5类C.6类 D.8类三、判断题（每小题2分，共10分）1 .仿射对应不一定

3、保持二直线的平行性。（）2 .两直线能把射影平面分成两个区域。（）3 .当正负号任意选取时，齐次坐标（ ' < 9表示两个相异的点。（）（非自对应元素）符合对合条件，则此4 .在一维射影变换中，若已知一对对应元素 射影变换一定是对合。（）5 .配极变换是一种非奇线性对应。（）四、作图题（8分）已知线束中三直线 a,b,c ,求作直线d,使（ab,cd）=-1 。（画图，写出作法过程和根据）五、证明题（10分）如图，设FGH完全四点形 ABCD寸边三点形，过 F的两直线TQ与SP分另交AB, BC, CD DA于T, S, Q, P,试利用德萨格定理（或逆定理）证明： TS与QP的

4、交点M在直线GHLho六、计算题(42分)1. (6分)平面上经过 A (-3 , 2)和B (6, 1)两点的直线被直线 x+3y-6=0截于P点，求单比(ABP)2. (6分)已知仿射平面上直线l的非齐次坐标方程为 x-2y+1=0 ,求(1) l的齐次坐标方程；(2) l上无穷远点的坐标；(3) l上无穷远点的方程。密3. （8分）在直线上取笛氏坐标为 2,0, 3的三点作为射影坐标系的P*,P0, E , （i）求此直线上任一点P的笛氏坐标x与射影坐标 入的关系；（ii ）问有没有一点，它的两种坐标相等？4. （8分）求点列上的射影变换，它将参数为1,2,3的点分别变为参数为1,3,2

5、的点，并求出此射影变换的自对应元素的参数。0所构成的二阶曲线的方程。5. （6分）求由两个射影线束x1x30 , x2x30,36.（8分）试求二次曲线r：22x14x1x2 3x2+2xix3-4x2x3=0 的中心与渐近线。真空题(每小题 4分，共20分)1 (4 分)（4分）Z果两个三线形对应边的交点在一条直线上，则对应顶点的连线交于一点。2 (4 分)4分）时影群包含仿射群，仿射群包含相似群，相似群包含正交群(2_UlU3 u20 （4 分）选择题(每小题2分，共10分)1 .( D),2.( C),3.(B),4.( A),5.( B)切断题(每小题2分，共10分)1 .( X ),

6、2.(，),3.(X ),4.(，),5.(V)作图题(作法过程：1、设a,b,c交于点A,在c上任取一点 C, （2分）2、过C点作两直线分别与 a交于R E,与b交于F, D, （2分）3、BD与EF交于G,4、AG即为所求的d。（2分）根据：完全四点形的调和共轲性（2分）证明题（10分）证明：在三点形BTS与三点形DQ叩（4分）对应顶点的连线 BD,TQ,SP三线共点，（2分）由德萨格定理的逆定理知，（2分）对应边白交点 BT与DQ的交点G, TS与QP的交点M以及BS与DP的交点H三点共线，即 TS与QP的 交点M在直线GHLho （2分）六、计算题（42分）（6分）解：设P点的坐标为

7、（x0, yo）Q（ABP）AP AP（分割比），（2 分）而：X02y01且P在直线x+3y-6=0上,362(.)3(.)6011（2分）（2分）解得入=1, 即P是AB中点，且(ABB =- 1(6分)(1)Xi-2X2+X3=0(2分)(2) (1,1/2 , 0)(2 分)(3) u1u21/2 0(2分)（8分）解：笛氏坐标 023 x射影坐标：P* P0 E（i ）由定义入=(P*P0, EP) = (2 0 ,(3 2)(x 3x) =(x 2)(30) x0) 3x 6故:3TT，且(4分)6 ,即 3x2-7x=0,（4分）（2分）（4分）（2分）x x （ii）若有一点它

8、的两种坐标相等，即 x= X则有 3x7当x=0及x= 3时两种坐标相等。（8分）设射影变换的方程为：a b c d 0由题意知：a+b c d 0,6a 2b 3cd 0 ,6a+3b+2c+d=0得至ij： a : b : c: d 3: 5: 5:7故射影变换方程为：3 ' 55 ' 7 0-2二重元素满足：3107 0 得=7/3或=1（6分）解：由题意:X2 3 X3（2分）X2Xi由上式得:3x3X3（2分）故所求方程即为3x1 X3X2 X3（2分）6.（8 分）解：二次曲线的齐次方程为:x12+3x1x2-4x22+2x1x310x2x3=0,a aj36 0，二次曲线为常态的,设中心）,A32而：A31123A33则中心为14（一25求渐近线方程:（4分）254a11X2+2a12XY+a22Y2=Q X=x E , Y